2025年高考数学一轮复习-10.2-用样本估计总体-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-10.2-用样本估计总体-专项训练【含答案】，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：
396 275 268 225 168 166 176 173 188
168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是( )
A．极差 B．中位数
C．众数 D．平均数
2．某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是( )
A．8.5 B．9
C．9.5 D．10
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13，若该组数据的中位数是极差的58，则该组数据的第60百分位数是( )
A．7.5 B．8
C．9 D．9.5
4．)为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计错误的是( )
A．众数为82.5
B．中位数为85
C．平均数为86
D．有一半以上干部的成绩在80～90分
5．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6．若一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为10，另一组样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为( )
A．17，54 B．17，48
C．15，54 D．15，48
二、多项选择题
7．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
8．病毒研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图(如图所示)，则下列结论正确的是( )
A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数
B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数
C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数
D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数
三、填空题
9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：
如果甲、乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是 ________．
10．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________(写出一个满足条件的m值即可)．
四、解答题
11．某地旅游主管部门为了更好地为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，绘制如图所示频率分布直方图．
(1)已知样本中分数在[80，85)的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；
(2)已知样本中男游客与女游客比例为3∶2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本的平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．
12．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数，做前期的市场调查来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约．以下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位：万人)的频数分布表．
(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示)，并求出a的值和这组数据的65%分位数；
(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X(单位：个)为进入该沙滩的人数(X为10的整倍数．如有8 006人，则X取8 000)．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1 000杯饮品，记Y为该店每日的利润(单位：元)，求Y和X的函数关系式；
(3)以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7 000元的概率．
13．某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的范围值内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量(单位：%)．已知其产品的碳含量服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的次数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是在一天中，检测员进行10次碳含量(单位：%)检测得到的测量结果：
经计算得，x＝＝0.317，s＝＝0.011，其中xi为抽取的第 i次的碳含量百分比(i＝1，2，…，10)．
①用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
②若去掉x1，剩下的数的平均数和标准差分别记为μ1，σ1，试写出σ1的算式(用x，s，x1，μ1表示σ1)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 310≈0.973 3.
参考答案
1．C [根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，会发生改变，加入数据前，中位数为173+1762＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变，众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，平均数体现数据的整体水平，会发生改变．故选C.]
2．C [抽取的工人总数为20，20×75%＝15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102＝9.5.
故选C.]
3．C [这组数据一共8个数，中位数是6+m2，极差为13－1＝12，所以6+m2＝12×58，解得m＝9，又8×60%＝4.8，则第60百分位数是第5个数据9.故选C.]
4．C [由频率分布直方图知，众数为82.5，A正确；
由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位数为85，B正确；
由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C错误；
由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，则有一半以上干部的成绩在80～90分之间，D正确．
故选C.]
5．B [讲座前中位数为70%+75%2>70%，A错误；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，B正确；
讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，C错误；
讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，D错误．
故选B.]
6．A [由题意可知，数据x1，x2，…，xn的平均数为10，则＝10n，所以数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为
x'＝1ni=1n2xi+4＝2ni=1nxi+4＝2×10＋4＝24，
方差为s'2＝1ni=1n2xi+4−2x＋42＝4ni=1nxi−102＝4n i=1nxi2−4n×n
×102＝＝102n，将两组数据合并后，新数据x1，x2，…，xn，2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为
x″＝12ni=1nxi+i=1n2xi+4＝12×1ni=1n3xi+4
＝123ni=1nxi+4＝12(3×10＋4)＝17，
方差为s″2＝12ni=1nxi−172+i=1n2xi+4−172
＝12n5i=1nxi2−86i=1nxi+458n
＝12n(5×102n－860n＋458n)＝54.故选A.]
7．BD [取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，故选BD.]
8．BCD [根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知，甲组的平均数大于中位数，且都小于7，
同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，
故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，A错误；
甲组数据平均数小于乙组数据平均数，B正确；
甲组数据平均数大于甲组数据中位数，C正确；
乙组数据平均数小于乙组数据中位数，D正确．
故选BCD.]
9．甲 [甲的平均数为x甲＝15(10＋8＋9＋9＋9)＝9，
乙的平均数为x乙＝15(10＋10＋7＋9＋9)＝9，
甲的方差为s甲2＝15[(10－9)2＋(8－9)2]＝25，
乙的方差为s乙2＝15[(10－9)2×2＋(7－9)2]＝65，
∵x甲＝x乙，∴甲、乙的平均水平相同，
∵s甲2＜s乙2，∴甲的成绩稳定，故甲入选．]
10．7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可) [7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]
11．解：(1)由频率分布直方图，可得分数在[85，100]内的频率为(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，
所以分数在[85，100]内的人数为100×0.75＝75，
所以分数小于80分的人数为100－75－15＝10，
由题意可设第75百分位数为x，其中x∈[90，95)，则1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94，
故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94.
(2)由已知可得总样本平均值为z＝nm+nx+mm+ny＝32+3×90＋22+3×85＝88，
又由s2＝nn+msx2+z−x2+mn+m[sy2＋(z−y)2]
＝32+3[10＋(88－90)2]＋22+3[12＋(88－85)2]＝425+425＝845，
所以用样本估计总体，总体的方差为845.
12．解：(1)由题意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24.
因为8+8+16+24+24160＝0.5，8+8+16+24+24+48160＝0.8，
所以65%分位数在区间[1.0，1.2)上，
则65%分位数为1.0＋0.2×0.65−0.50.8−0.5＝1.1.
画出频率分布直方图如图所示．
(2)由题意知，当X≥10 000时，Y＝10×1 000＝10 000元，
当X＜10 000时，Y＝X10×10－1 000−X10×5＝1.5X－5 000，
所以Y＝10 000X≥10 000，1.5X−5 0000≤X＜10 000．
(3)记销售的利润不少于7 000元的事件为A，则人数X≥8 000，
此时P(A)＝24+48+32160＝0.65.
13．解：(1)由已知得，抽取一次碳含量在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3，
所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)≈1－0.997 310≈1－0.973 3＝0.026 7.
又碳含量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 7，
故X～B(10，0.002 7)，
因此E(X)＝0.027.
(2)①由x＝0.317，s＝0.011，得μ，σ的估计值为μ＝0.317，σ＝0.011，
所以(μ－3σ，μ＋3σ)＝(0.284，0.350)，
由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在(μ－3σ，μ＋3σ)之内，
因此不需要对当天的生产过程进行检查．
②若去掉x1，剩下的数据的标准差σ1＝19i=210xi−μ12＝19i=210xi−x+x−μ12.
＝19i=210xi−x2+x−μ12+2x−μ1xi−x.
＝1910s2−x1−x2+x−μ12+29x−μ1i=210xi−9x.
＝109s2−19 x1−x2+x−μ12−2x−μ12
＝109s2−19 x12+x2−2x1x−x2+μ12−2xμ1
＝109s2+x2−μ12−19x12+x−209x+29x1+2μ1.
又注意到－209x+29x1＋2μ1＝－29(9μ1＋x1)＋29x1＋2μ1＝0，
所以σ1＝19i=210xi−μ12＝109×s2+x2−x129−μ12
件数
7
8
9
10
11
人数
3
7
5
4
1
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
人数/万
[0，0.2)
[0.2，0.4)
[0.4，0.6)
[0.6，0.8)
[0.8，1.0)
[1.0，1.2)
[1.2，1.4]
频数/天
8
8
16
24
a
48
32
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
碳含量(%)
0.31
0.32
0.34
0.31
0.30
0.31
0.32
0.31
0.33
0.32