2025年高考数学一轮复习-9.6-离散型随机变量的数字特征-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.6-离散型随机变量的数字特征-专项训练【含解析】，共12页。

已知ξ 的数学期望Eξ=8.9 ，则y 的值为( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
2. 已知随机变量X 满足E2−2X=4 ，D2−2X=4 ，下列说法正确的是( )
A. EX=−1 ,DX=−1 B. EX=1 ,DX=1
C. EX=−1 ,DX=4 D. EX=−1 ,DX=1
3. 签盒中有编号为1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )
A. 5 B. 5.25 C. 5.8 D. 4.6
4. [2023·吉林长春模拟]某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p01.39 ，则p 的取值范围是( )
A. 0,0.6 B. 0,0.7 C. 0.6,1 D. 0.7,1
5. [2023·广东广州模拟]（多选）若随机变量X 服从两点分布，且PX=0=13 ，则( )
A. PX=1=EX B. DX=29
C. E4X+1=73 D. D4X+1=329
6. [2023·山东烟台模拟]随机变量X 的分布列如下表，则D5X+EX= .
7. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300 ，700 ，900 的概率分别为0.3,0.7 ,0.9 ,则工期延误天数Y 的均值为 .
8. [2022·高考浙江卷]现有7张卡片，分别写上数字1 ，2 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 .从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ ，则Pξ=2= ，Eξ= .
9. [2023·江苏靖江模拟]假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为13 .现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）.设耗用篮球数为X ，求：
（1） X 的分布列；
（2） 均值EX .
[B级 综合运用]
10. [2023·海南琼海模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23 ，乙在每局中获胜的概率为13 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望EX 为( )
A. 172 B. 26681 C. 25681 D. 670243
11. （多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. PX=1=12 B. X+Y=4 C. EX>EY D. EZ=285
12. [2023·河北保定模拟]袋中装有大小与质地相同的5个红球、m 个白球，现从中任取2个球.若取出的两球都是红球的概率为514 ，记取出的红球个数为X ，则EX= .
13. 某校准备成立一个环境保护兴趣小组，该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1） 设事件A 为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A 发生的概率;
（2） 设X 表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X 的分布列及方差.
[C级 素养提升]
14. [2023·辽宁抚顺模拟]（多选）已知随机变量ξ 满足Pξ=0=13 ，Pξ=1=x ，Pξ=2=23−x ，若0A. Eξ 有最大值B. Eξ 无最小值C. Dξ 有最大值D. Dξ 无最小值
15. [2023·湖北丹江口一中模拟]某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分.若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为p0（1） 若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为fp ，求fp 的最大值和最大值点p0 的值；
（2） 以（1）中确定的p0 作为p 的值，求“领航队”积分成绩X 的数学期望.
2025年高考数学一轮复习-9.6-离散型随机变量的数字特征-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 某射手射击所得环数ξ 的分布列如下表：
已知ξ 的数学期望Eξ=8.9 ，则y 的值为( C )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
[解析]选C.由题中表格可知x+0.1+0.3+y=1 ,7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9 ,解得y=0.4 .故选C.
2. 已知随机变量X 满足E2−2X=4 ，D2−2X=4 ，下列说法正确的是( D )
A. EX=−1 ,DX=−1 B. EX=1 ,DX=1
C. EX=−1 ,DX=4 D. EX=−1 ,DX=1
[解析]选D.根据方差和期望的性质可得，
E2−2X=−2EX+2=4⇒EX=−1 ,D2−2X=4DX=4⇒DX=1 .故选D.
3. 签盒中有编号为1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( B )
A. 5 B. 5.25 C. 5.8 D. 4.6
[解析]选B.由题意可知，X 的可能取值为3，4 ，5 ，6 ，PX=3=1C63=120 ，PX=4=C32C63=320 ,PX=5=C42C63=310 ,PX=6=C52C63=12 .
由数学期望的定义可求得EX=3×120+4×320+5×310+6×12=5.25 .故选B.
4. [2023·吉林长春模拟]某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p01.39 ，则p 的取值范围是( B )
A. 0,0.6 B. 0,0.7 C. 0.6,1 D. 0.7,1
[解析]选B.由题意得，X 的所有可能取值为1,2 ,3 ，
PX=1=p ,PX=2=1−pp ,PX=3=1−p−1−pp=1−p2 ,
所以EX=1×p+2×1−pp+3×1−p2=p2−3p+3 ，令EX=p2−3p+3>1.39 ，解得p<0.7 或p>2.3 ，又因为0即p 的取值范围是0,0.7 .故选B.
5. [2023·广东广州模拟]（多选）若随机变量X 服从两点分布，且PX=0=13 ，则( ABD )
A. PX=1=EX B. DX=29
C. E4X+1=73 D. D4X+1=329
[解析]选ABD.因为随机变量X 服从两点分布且PX=0=13 ,所以PX=1=1−13=23 .
对于A，EX=0×13+1×23=23 ，
所以PX=1=EX ，A正确；
对于B，DX=0−232×13+1−232×23=29 ,B正确；
对于C，E4X+1=4EX+1=4×23+1=113 ，C错误；
对于D，D4X+1=16DX=16×29=329 ，D正确.故选ABD.
6. [2023·山东烟台模拟]随机变量X 的分布列如下表，则D5X+EX= 20.
[解析]由0.4+0.2+a=1 ，得a=0.4 ，所以EX=1×0.2+2×0.4=1 ，DX=0−12×0.4+1−12×0.2+2−12×0.4=0.8 ,所以D5X+1=25DX=25×0.8=20 .
7. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300 ，700 ，900 的概率分别为0.3,0.7 ,0.9 ,则工期延误天数Y 的均值为3.
[解析]由题意可知PX<300=0.3 ,P300≤X<700=PX<700−PX<300=0.7−0.3=0.4 ,P700≤X<900=PX<900−PX<700=0.9−0.7=0.2 ,PX≥900=1−PX<900=1−0.9=0.1 .
所以随机变量Y 的分布列如下表所示：
所以EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3 ，所以工期延误天数Y 的均值为3.
8. [2022·高考浙江卷]现有7张卡片，分别写上数字1 ，2 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 .从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ ，则Pξ=2= 1635 ，Eξ= 127 .
[解析]由题意知Pξ=2=C21C42+C22C41C73=1635 .
ξ 的可能取值为1，2 ，3 ，4 ，Pξ=1=C62C73=1535=37 ，
Pξ=3=C32C73=335 ，Pξ=4=1C73=135 ，
所以ξ 的分布列为：
Eξ=1×37+2×1635+3×335+4×135=127 .
9. [2023·江苏靖江模拟]假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为13 .现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）.设耗用篮球数为X ，求：
（1） X 的分布列；
[答案]解：随机变量X 的所有可能取值是1,2 ,3 ，
PX=1=13 ,PX=2=23×13=29 ,PX=3=23×23×13+23=49 .
所以X 的分布列为：
（2） 均值EX .
[答案]EX=1×13+2×29+3×49=199 .
[B级 综合运用]
10. [2023·海南琼海模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23 ，乙在每局中获胜的概率为13 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望EX 为( B )
A. 172 B. 26681 C. 25681 D. 670243
[解析]选B.由题意，随机变量X 的可能取值是2，4 ，6 ，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为232+132=59 ,若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以PX=2=59 ，PX=4=49×59=2081 ,PX=6=492=1681 ,所以期望为EX=2×59+4×2081+6×1681=26681 .故选B.
11. （多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( BD )
A. PX=1=12 B. X+Y=4 C. EX>EY D. EZ=285
[解析]选BD.由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以X+Y=4 ，故B正确；
X 的可能取值为0,1 ,2 ,3 ,4 ，
PX=0=C64C104=15210 ,PX=1=C41C63C104=80210 ,
PX=2=C42C62C104=90210 ,PX=3=C43C61C104=24210 ,
PX=4=C44C104=1210 ，故A错误；
Y 的可能取值为0,1 ,2 ,3 ,4 ，且PY=0=PX=4 ，PY=1=PX=3 ，PY=2=PX=2 ，PY=3=PX=1 ，PY=4=PX=0 ，
则EX=80+180+72+4210=85 ，EY=24+180+240+60210=125 ,所以EXZ 的可能取值为4,5 ,6 ,7 ,8 ，且PZ=4=PX=0 ，PZ=5=PX=1 ，PZ=6=PX=2 ，PZ=7=PX=3 ，PZ=8=PX=4 ，
所以EZ=15×4+80×5+90×6+24×7+1×8210=1176210=285 ,故D正确.故选BD.
12. [2023·河北保定模拟]袋中装有大小与质地相同的5个红球、m 个白球，现从中任取2个球.若取出的两球都是红球的概率为514 ，记取出的红球个数为X ，则EX= 54 .
[解析]由题意知，C52Cm+52=514 ，整理得m2+9m−36=m+12m−3=0m>0 ，所以m=3 .
X 的可能取值为0，1 ，2 ，则PX=0=C32C82=328 ,
PX=1=C51C31C82=1528 ,PX=2=C52C82=514 ,所以EX=0×328+1×1528+2×514=0+1528+57=54 .
13. 某校准备成立一个环境保护兴趣小组，该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1） 设事件A 为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A 发生的概率;
[答案]解：由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人.
所以PA=C41C11C52C104=40210=421 .
（2） 设X 表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X 的分布列及方差.
[答案]X 的可能取值为0,1 ,2 ,3 ,
PX=0=C74C30C104=16 ,PX=1=C73C31C104=12 ,
PX=2=C72C32C104=310 ,PX=3=C71C33C104=130 ,
所以X 的分布列为：
所以EX=0×16+1×12+2×310+3×130=65 ，所以DX=0−652×16+1−652×12+2−652×310+3−652×130=1425 .
[C级 素养提升]
14. [2023·辽宁抚顺模拟]（多选）已知随机变量ξ 满足Pξ=0=13 ，Pξ=1=x ，Pξ=2=23−x ，若0A. Eξ 有最大值B. Eξ 无最小值C. Dξ 有最大值D. Dξ 无最小值
[解析]选BD.由题意可得，Eξ=0×13+1×x+2×23−x=43−x ，因为fx=43−x 在0,23 上单调递减，所以当0Dξ=43−x−02⋅13+43−x−12⋅x+43−x−22⋅23−x=−x2−13x+89 ,因为gx=−x2−13x+89=−x+162+1112 在0,23 上单调递减，所以当015. [2023·湖北丹江口一中模拟]某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分.若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为p0（1） 若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为fp ，求fp 的最大值和最大值点p0 的值；
[答案]解：fp=C53p31−p2=10p31−p2 ,f′p=10p21−p3−5p ,
当00 ，fp 在区间0,35 上单调递增；
当35故fp 在p0=35 处取得最大值，最大值f35=216625 .
（2） 以（1）中确定的p0 作为p 的值，求“领航队”积分成绩X 的数学期望.
[答案]“领航队”的每个成员积分成绩为Y ，则X=5Y ，所以“领航队”积分成绩X 的数学期望EX=5EY .
每个成员积分成绩Y 的可能取值为−1 ，1 ，5 ，9 ，
记第i 道题目答对为事件Aii=1,2,3 ，
则PY=−1=PA1=25 ，
PY=1=PA1A2A3=35×252=12125 ,
PY=5=PA1A2A3+PA1A2A3=2×352×25=36125 ,
PY=9=PA1A2A3=353=27125 ，
Y 的分布列为：
则EY=−1×25+1×12125+5×36125+9×27125=7725 ，
故EX=5EY=775 .
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
0
1
2
P
0.4
0.2
a
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
X
0
1
2
P
0.4
0.2
a
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
ξ
1
2
3
4
P
37
1635
335
135
X
1
2
3
P
13
29
49
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
Y
-1
1
5
9
P
25
12125
36125
27125