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    2025年高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含答案】

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    这是一份2025年高考数学一轮复习-8.1-直线的方程-专项训练【含答案】,共7页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。

    一、单项选择题
    1.过点(1,2)且直线的方向向量为(-1,2)的直线方程为( )
    A.2x+y-4=0 B.x+y-3=0
    C.x-2y+3=0 D.2x-y+4=0
    2.已知A(m,0),B(0,1),C(3,-1),且A,B,C三点共线,则m=( )
    A.32 B.23
    C.-32 D.-23
    3.过点A(-1,1)的直线l的倾斜角是直线l1:3x-y+1=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程是( )
    A.3x-y+3+1=0
    B.3x+y+3-1=0
    C.3x-3y+3+3=0
    D.3x+3y+3-3=0
    4.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( )
    A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
    C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
    5.已知直线l1:3x+y=0与直线l2:kx-y+1=0,若直线l1与直线l2的夹角为60°,则实数k的值为( )
    A.3 B.-3
    C.3或0 D.-2或-3
    6.如图,在矩形ABCD中,|BC|=3|AB|,直线AC的斜率为33,则直线BC的斜率为( )
    A.3 B.32
    C.233 D.23
    7.已知点A(2,3),B(-3,-2),与直线l:kx-y-k+1=0,且直线l与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为( )
    A.k≥2或k≤34 B.k≥34或k≤-14
    C.-4≤k≤34 D.34≤k≤2
    8.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    二、多项选择题
    9.已知直线l:x=my+1,则( )
    A.直线l恒过定点(1,0)
    B.直线l的斜率必定存在
    C.m=3时,直线l的倾斜角为60°
    D.m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为14
    10.若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程为( )
    A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
    C.2x-y=0 D.x-y-1=0
    三、填空题
    11.对于任意实数λ,直线x+y-3+λ(x-2y)=0恒过定点A,且点B(1,0),则直线AB的一个方向向量为 ________.
    12.已知点M是直线l:y=3x+3与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30°,则所得到的直线l′的方程为________.
    13.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥,它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜拉索大桥,共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)约为4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为18 m.最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=84 m,|OA1|=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为( )
    A.±13 B.±12
    C.±4239 D.±62129
    14.设m∈R,过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值为( )
    A.25 B.32
    C.3 D.6
    15.已知直线l的倾斜角为α,sin α=35,且这条直线l经过点P(3,5),则直线l的一般式方程为________.
    16.直线l1:y=2x和l2:y=kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形,写出满足条件的k的两个可能取值:________和 ________
    参考答案
    1.A [由题意可知直线的斜率k=-2,由点斜式方程得,所求直线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.故选A.]
    2.A [由A(m,0),B(0,1),C(3,-1),
    可得AB=(-m,1),BC=(3,-2),
    因为A,B,C三点共线,
    所以AB∥BC,即(-m)×(-2)-1×3=0,
    解得m=32.故选A.]
    3.B [因为k1=tan α=3,所以α=60°,
    所以k=tan 120°=-3,
    所以直线l的方程是y-1=-3(x+1),
    即3x+y+3-1=0.故选B.]
    4.A [易知A(-1,0).
    ∵|PA|=|PB|,
    ∴点P在AB的垂直平分线,即x=2上,
    ∴B(5,0).
    ∵PA,PB关于直线x=2对称,
    ∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),
    即x+y-5=0.故选A.]
    5.C [因为l1:3x+y=0的斜率为k=-3,
    所以其倾斜角为120°.直线l2:kx-y+1=0恒过点(0,1),
    如图,若直线l1与直线l2的夹角为60°,
    则l2的倾斜角为60°或0°,所以k=3或k=0.故选C.]
    6.A [由题意,在Rt△BCD中,∠BCD=π2,|BC|=3|AB|=3|CD|,
    ∴tan ∠CBD=33,∴∠CBD=π6,∴直线BC的倾斜角为π3,故kBC=tan π3=3.故选A.]
    7.A [已知点A(2,3),B(-3,-2)与直线l:kx-y-k+1=0,且直线l与线段AB相交,
    直线l:kx-y-k+1=0,即直线l:k(x-1)-y+1=0,它经过定点M(1,1),
    所以直线MA的斜率为3−12−1=2,直线MB的斜率为−2−1−3−1=34,
    则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤34.故选A.]
    8.D [因为直线ax+by=ab过点(1,1),所以a+b=ab,
    又因为a>0,b>0,所以1b+1a=1,
    所以直线xb+ya=1在x轴与y轴上的截距之和为
    b+a=(b+a)1b+1a=2+ab+ba≥2+2ab·ba=4,当且仅当a=b=2时取“=”,
    所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
    故选D.]
    9.AD [由直线方程知,直线恒过定点(1,0),A正确;
    当m=0时,直线斜率不存在,B错误;
    m=3时,直线l:y=33(x-1),
    则直线l的斜率为33,倾斜角为30°,C错误;
    m=2时,直线l:x=2y+1,则直线l与x轴、y轴的交点分别为(1,0),0,−12,所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为14,D正确.
    故选AD.]
    10.ABC [当直线经过原点时,斜率为k=2−01−0=2,
    所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
    当直线不过原点时,
    设所求的直线方程为x±y=a,
    把点A(1,2)代入可得1-2=a或1+2=a,
    求得a=-1或a=3,故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0.
    综上知,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0,x+y-3=0.故选ABC.]
    11.(-1,-1)(答案不唯一) [由x+y-3+λ(x-2y)=0,得x+y−3=0,x−2y=0, 解得x=2,y=1,则A(2,1).
    又B(1,0),则AB=(-1,-1).
    即直线AB的一个方向向量为(-1,-1).]
    12.x=-3或y=33(x+3) [在y=3x+3中,令y=0,得x=-3,即M(-3,0).因为直线l的斜率为3,所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°,则得到的直线l′的倾斜角为90°,此时直线l′的斜率不存在,故其方程为x=-3;若直线l绕点M顺时针旋转30°,则得到的直线l′的倾斜角为30°,此时直线l′的斜率为tan 30°=33,故其方程为y=33(x+3).]
    13.B [由题意可知,{OPi},{OBi}(i=1,2,3,…,10)分别是公差为4和18的等差数列,则|OP10|=|OP1|+9×4=84+9×4=120,|OB10|=|OB1|+9×18=78+9×18=240,
    故kB10P10=120−00+240=12,kA10P10=120−00−240=-12,
    所以最长拉索所在直线的斜率为±12.故选B.]
    14.D [由题意知,动直线x+my+1=0过定点A(-1,0),动直线mx-y-2m+3=0可化为(x-2)m+3-y=0,令x−2=0,3−y=0,可得B(2,3),又1×m+m×(-1)=0,所以两动直线互相垂直,且交点为P,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-2)2+(0-3)2=18,因为PA2+PB22≥PA+PB22,所以|PA|+|PB|≤2PA2+PB2=2×18=6,当且仅当|PA|=|PB|=3时取等号.故选D.]
    15.3x-4y+11=0或3x+4y-29=0 [因为sin α=35,所以cs α=±1−sin2α=±45,所以直线l的斜率为k=tanα=±34,又因为直线l经过点P(3,5),所以直线l的方程为y-5=34(x-3)或y-5=-34(x-3),所以直线l的一般式方程为3x-4y+11=0或3x+4y-29=0.]
    16.−1±52或-2或-43(任选2个即可) [令直线l1,l2的倾斜角分别为α,θ,则tan α=2,tan θ=k,
    当围成的等腰三角形底边在x轴上时,θ=π-α,k=tan (π-α)=-tan α=-2;
    当围成的等腰三角形底边在直线l2上时,α=2θ,θ∈0,π2,tan α=tan 2θ=2k1−k2=2,
    整理得k2+k-1=0,而k>0,解得k=5−12;
    当围成的等腰三角形底边在直线l2上,θ∈π2,π,可解得k=-5+12;当围成的等腰三角形底边在直线l1上时,可解得k=-43.
    所以k的取值为−1±52或-2或-43.
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