2025年高考数学一轮复习-8.1直线的方程-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.1直线的方程-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
2．已知A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，且A，B，C三点共线，则m＝( )
A．32 B．23
C．－32 D．－23
3．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：3x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是( )
A．3x－y＋3＋1＝0
B．3x＋y＋3－1＝0
C．3x－3y＋3＋3＝0
D．3x＋3y＋3－3＝0
4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
5．已知直线l1：3x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为( )
A．3 B．－3
C．3或0 D．－2或－3
6．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝3|AB|，直线AC的斜率为33，则直线BC的斜率为( )
A．3 B．32
C．233 D．23
7．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为( )
A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤－14
C．－4≤k≤34 D．34≤k≤2
8．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多项选择题
9．已知直线l：x＝my＋1，则( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l的斜率必定存在
C．m＝3时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为14
10．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
三、填空题
11．对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________．
12．已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
13．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)约为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A．±13 B．±12
C．±4239 D．±62129
14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．25 B．32
C．3 D．6
15．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝35，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________．
16．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________
参考答案
1．A [由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.]
2．A [由A(m，0)，B(0，1)，C(3，－1)，
可得AB＝(－m，1)，BC＝(3，－2)，
因为A，B，C三点共线，
所以AB∥BC，即(－m)×(－2)－1×3＝0，
解得m＝32.故选A.]
3．B [因为k1＝tan α＝3，所以α＝60°，
所以k＝tan 120°＝－3，
所以直线l的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋3－1＝0.故选B.]
4．A [易知A(－1，0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0.故选A.]
5．C [因为l1：3x＋y＝0的斜率为k＝－3，
所以其倾斜角为120°.直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝3或k＝0.故选C.]
6．A [由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝π2，|BC|＝3|AB|＝3|CD|，
∴tan ∠CBD＝33，∴∠CBD＝π6，∴直线BC的倾斜角为π3，故kBC＝tan π3＝3.故选A.]
7．A [已知点A(2，3)，B(－3，－2)与直线l：kx－y－k＋1＝0，且直线l与线段AB相交，
直线l：kx－y－k＋1＝0，即直线l：k(x－1)－y＋1＝0，它经过定点M(1，1)，
所以直线MA的斜率为3−12−1＝2，直线MB的斜率为−2−1−3−1＝34，
则直线l的斜率k的取值范围为k≥2或k≤34.故选A.]
8．D [因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab，
又因为a＞0，b＞0，所以1b+1a＝1，
所以直线xb+ya＝1在x轴与y轴上的截距之和为
b＋a＝(b＋a)1b+1a＝2＋ab+ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
故选D.]
9．AD [由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，A正确；
当m＝0时，直线斜率不存在，B错误；
m＝3时，直线l：y＝33(x－1)，
则直线l的斜率为33，倾斜角为30°，C错误；
m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，0，−12，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为14，D正确．
故选AD.]
10．ABC [当直线经过原点时，斜率为k＝2−01−0＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0.故选ABC.]
11．(－1，－1)(答案不唯一) [由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得x+y−3=0，x−2y=0， 解得x=2，y=1，则A(2，1)．
又B(1，0)，则AB＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
12．x＝－3或y＝33(x＋3) [在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y＝33(x＋3)．]
13．B [由题意可知，{OPi}，{OBi}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，则|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OB10|＝|OB1|＋9×18＝78＋9×18＝240，
故kB10P10＝120−00+240＝12，kA10P10＝120−00−240＝－12，
所以最长拉索所在直线的斜率为±12.故选B.]
14．D [由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令x−2=0，3−y=0，可得B(2，3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为PA2+PB22≥PA+PB22，所以|PA|＋|PB|≤2PA2+PB2＝2×18＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D.]
15．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0 [因为sin α＝35，所以cs α＝±1−sin2α＝±45，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±34，又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝34(x－3)或y－5＝－34(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．]
16．−1±52或－2或－43(任选2个即可) [令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈0，π2，tan α＝tan 2θ＝2k1−k2＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝5−12；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈π2，π，可解得k＝－5+12；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－43.
所以k的取值为−1±52或－2或－43.