2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题【课件】

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【命题分析】函数零点问题在高考中占有很重要的地位,主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查基本初等函数、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交汇问题,一般作为解答题的压轴题出现.
解题技法利用导数确定函数零点或方程的根的个数的方法(1)构造函数:构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)应用定理:利用零点存在定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
对点训练(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;【解析】(1)f(x)=ex-ax+2a,定义域为R,且f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)在R上单调递增;当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln a,当xln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2023·郑州质检)已知函数f(x)=ex-ax+2a,a∈R.(2)求函数f(x)的零点个数.
【加练备选】　　 已知函数f(x)=xex+ex.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
　　 已知函数f(x)=xex+ex.(2)讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数.
考点二利用函数零点问题求参数范围[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2). (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【解析】(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意;当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
解题技法由函数零点求参数范围的策略(1)涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围.(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.(3)含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数图象,根据图象特征求参数的范围.
对点训练　已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a∈R).(1)当a=4时,求曲线y=g(x)在x=0处的切线方程;【解析】(1)当a=4时,g(x)=(-x2+4x-3)ex,g(0)=-3,g'(x)=(-x2+2x+1)ex,g'(0)=1,所以所求的切线方程为y+3=x-0,即y=x-3.
【加练备选】　　 (一题多法)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),f'(x)=ex-1,令f'(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
　　 (一题多法)(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
考点三与函数零点相关的综合问题[例3](2024·锦州模拟)设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;
解题技法1.证明与零点有关的不等式,函数的零点本身就是一个条件,即零点对应的函数值为0;2.证明的思路一般对条件等价转化,构造合适的新函数,利用导数知识探讨该函数的性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来解决.
　已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.(2)求证:f(x)有且仅有两个不同的零点.