2025年高考数学一轮复习-1.5.1-全称量词与存在量词-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-1.5.1-全称量词与存在量词-专项训练【含解析】，共8页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

1．命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为( )
A．∃x∉Q，x2－5＝0B．∀x∈Q，x2－5＝0
C．∀x∉Q，x2－5＝0D．∃x∈Q，x2－5＝0
2．命题“∃x＞1，x2＋2x－1≤0”的否定是( )
A．∀x＞1，x2＋2x－1≤0
B．不存在x＞1，x2＋2x－1≤0
C．∃x≤1，x2＋2x－1＞0
D．∀x＞1，x2＋2x－1＞0
3．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球. 下列说法正确的为( )
A．丙参加了铅球B．乙参加了铅球
C．丙参加了标枪D．甲参加了标枪
4．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0；q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．(－2，1)
5．已知命题“∃x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪[3，＋∞)B．[－1，3]
C．(－∞，0]∪[1，＋∞)D．(－1，3)
二、 多项选择题
6．下列说法正确的有( )
A．∀x∈R， eq \f(1,x2＋1)＜1
B．∃x∈R， eq \f(1,x)＜x＋1
C．若p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n
D．若p：∀n＞4，2n＞n2，则¬p：∃n≤4，2n≤n2
7．已知命题p：∀m∈[－1，1]，a2－5a＋3≥m＋2，若p是真命题，则实数a的取值可以是( )
A．0B．5
C．－2D．4
8．若“∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的可能取值是( )
A． eq \f(3,2)B．2 eq \r(2)
C．3D． eq \f(9,2)
三、 填空题
9．甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名．已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是_______校选手，他获得的是第_______名．
10．已知“∃x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是_________
11．已知命题p：∀x∈R，a＜3x2 024＋1，若p为假命题，则实数a的取值范围是___________．
四、 解答题
12．已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2≥0，命题q：∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))，x2－ax＋1＝0.
(1) 若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
13．已知m∈R，命题p：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q：∃x∈[－1，1]，使得m≤x成立．
(1) 若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2) 若q和p一真一假，求实数m的取值范围．
14．已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋x2＋ax.
(1) 若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2) 若函数g(x)＝ eq \f(x,ex)，∀x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．
全称量词与存在量词-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1．命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为( D )
A．∃x∉Q，x2－5＝0B．∀x∈Q，x2－5＝0
C．∀x∉Q，x2－5＝0D．∃x∈Q，x2－5＝0
2．命题“∃x＞1，x2＋2x－1≤0”的否定是( D )
A．∀x＞1，x2＋2x－1≤0
B．不存在x＞1，x2＋2x－1≤0
C．∃x≤1，x2＋2x－1＞0
D．∀x＞1，x2＋2x－1＞0
3．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球. 下列说法正确的为( A )
A．丙参加了铅球B．乙参加了铅球
C．丙参加了标枪D．甲参加了标枪
【解析】由①乙没有参加跑步，知乙参加铅球或标枪．若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪．显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步．综上可得，甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球．
4．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0；q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为( A )
A．(－2，＋∞)B．[1，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．(－2，1)
【解析】若p为真，则Δ1＝4－4a≤0，解得a≥1.若q为真，则Δ2＝4a2－4(2－a)＜0，解得－2＜a＜1.若p真q假，则a≥1；若p假q真，则－2＜a＜1.综上所述，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(－2，＋∞).
5．已知命题“∃x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是( A )
A．(－∞，－1)∪[3，＋∞)B．[－1，3]
C．(－∞，0]∪[1，＋∞)D．(－1，3)
【解析】若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则有①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式显然成立；②当m＋1＞0时，Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＜0，解得－1＜m＜3；③当m＋1＜0时，不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R显然不恒成立，舍去．综上①②③可知，若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则－1≤m＜3，所以当“∀x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0”是假命题时，m∈(－∞，－1)∪[3，＋∞).
二、 多项选择题
6．下列说法正确的有( BC )
A．∀x∈R， eq \f(1,x2＋1)＜1
B．∃x∈R， eq \f(1,x)＜x＋1
C．若p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n
D．若p：∀n＞4，2n＞n2，则¬p：∃n≤4，2n≤n2
【解析】当x＝0时， eq \f(1,x2＋1)＝1，A错误．当x＝－1时， eq \f(1,x)＜x＋1，B正确．命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是命题“∀n∈N，n2≤2n”，C正确．命题“∀n＞4，2n＞n2”的否定是命题“∃n＞4，2n≤n2”，D错误．
7．已知命题p：∀m∈[－1，1]，a2－5a＋3≥m＋2，若p是真命题，则实数a的取值可以是( ABC )
A．0B．5
C．－2D．4
【解析】由题意可得a2－5a＋3≥3，即a2－5a≥0，解得a≤0或a≥5.
8．若“∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的可能取值是( AB )
A． eq \f(3,2)B．2 eq \r(2)
C．3D． eq \f(9,2)
【解析】由条件可知∀x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，2x2－λx＋1≥0是真命题，即λ≤ eq \f(2x2＋1,x)＝2x＋ eq \f(1,x)，即λ≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x))) eq \s\d7(min)，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).设f(x)＝2x＋ eq \f(1,x)≥2 eq \r(2x·\f(1,x))＝2 eq \r(2)，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，等号成立的条件是2x＝ eq \f(1,x)，即x＝ eq \f(\r(2),2)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，所以f(x)的最小值是2 eq \r(2)，即λ≤2 eq \r(2).满足条件的是AB.
三、 填空题
9．甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名．已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是__A__校选手，他获得的是第__三__名．
【解析】因为乙不是B校选手且B校选手获得第二名，所以乙不是第二名．又因为乙不是第三名，所以乙是第一名．因为乙不是B校选手且A校选手不是第一名，所以乙是C校选手．因为甲不是A校选手，所以甲是B校选手，故丙是A校选手．因为B校选手获得第二名，所以甲是第二名，故丙是第三名．
10．已知“∃x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是__[0，＋∞)__．
【解析】因为命题“∃x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题．当a＝0时，1≥0恒成立，则a＝0；当a≠0时，必有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝－4a≤0，))解得a＞0.综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).
11．已知命题p：∀x∈R，a＜3x2 024＋1，若p为假命题，则实数a的取值范围是__[1，＋∞)__．
【解析】由题知命题“∃x∈R，a≥3x2 024＋1”为真命题，等价于a≥(3x2 024＋1)min.因为x2 024≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以3x2 024＋1≥1，即(3x2 024＋1)min＝1，可得a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).
四、 解答题
12．已知命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2≥0，命题q：∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))，x2－ax＋1＝0.
(1) 若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
【解答】因为命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，所以Δ＝a2－4×1×2≤0，解得－2 eq \r(2)≤a≤2 eq \r(2)，所以实数a的取值范围为[－2 eq \r(2)，2 eq \r(2)].
(2) 若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】 因为命题q：∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))，x2－ax＋1＝0为真命题，所以a＝ eq \f(x2＋1,x)＝x＋ eq \f(1,x).又y＝x＋ eq \f(1,x)在[－3，－1]上单调递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))上单调递减，所以当x＝－1时，a取最大值－2.当x＝－3时，a＝－ eq \f(10,3)；当x＝－ eq \f(1,2)时，a＝－ eq \f(5,2).所以实数a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，－2)).
13．已知m∈R，命题p：∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q：∃x∈[－1，1]，使得m≤x成立．
(1) 若p为真命题，求实数m的取值范围；
【解答】∀x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立，令f(x)＝－3x＋1(－1≤x≤1)，则f(x)min≥m2－3m，当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(1)＝－2，则m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，实数m的取值范围是[1，2].
(2) 若q和p一真一假，求实数m的取值范围．
【解答】 若q为真命题，则m≤xmax，即m≤1.又因为p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤m≤2，,m＞1，))得1＜m≤2；当p假q真时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜1或m＞2，,m≤1，))得m＜1.综上所述，实数m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2].
14．已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋x2＋ax.
(1) 若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
【解答】由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3，所以实数a的最小值为－3.
(2) 若函数g(x)＝ eq \f(x,ex)，∀x1∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【解答】 由题可知，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，f′(x)max≤g(x)max.因为f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递增，所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.而g′(x)＝ eq \f(1－x,ex)，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，g(x)max＝g(1)＝ eq \f(1,e).由8＋a≤ eq \f(1,e)，得a≤ eq \f(1,e)－8，所以实数a的取值范围为a≤ eq \f(1,e)－8