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2023-2024学年福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）高二下学期7月期末联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▵ABC中，BC=1,A=30∘，则▵ABC的外接圆的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知集合A=x−1A. A∪B=BB. A∩B=⌀C. C∩B=⌀D. A∪C=C
3.已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则m+n=( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
4.已知向量a=n,2，b=−1,2n−4，则“n=1”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若tanα+π4=−3，则sin2α=( )
A. −43B. 45C. 35D. 25
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AF⋅AB=3，则AE⋅AF的值为( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
7.设a为实数，则关于x的不等式ax−1x+2>0的解集不可能是( )
A. −∞,−2 B. −∞,1a∪−2,+∞ C. 1a,−2 D. −2,1a
8.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是棱A1D1､A1B1的中点，过直线BD的平面α//平面AEF，则平面α截该正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为( )
A. 16
B. 16 2
C. 18
D. 18 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足1−iz=4+6i，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为5iB. 复数z在复平面中对应的点在第三象限
C. z+26z=−2D. z>z
10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”.事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是线段BC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A. D1M⊥DA1
B. A1M//平面ACD1
C. 异面直线A1M与AD1所成的角的取值范围是π6,π2
D. 二面角M−AD1−C的正弦值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据5.5，6.1，7.2，8.0，8.5，8.6，8.8，9.0，9.2，9.8的第80百分位数为 ．
13.已知函数fx=12−x2+2x，则fx的单调递减区间为 ．
14.已知fx=lnx+x，gx=ex+x，若fa=gb，则e2b+4+aa+1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足sinB+CsinC⋅csB+2ac=0．
(1)求B的大小
(2)若a=1，b= 3，求▵ABC的面积
16.(本小题12分)
某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩(所得分数均在40,100)，将所得数据按照40,50,50,60，60,70,70,80，80,90,90,100分成6组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并求出测试成绩在80,100内的学生人数；
(2)试估计本次测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)从测试成绩在80,90和90,100内
学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在90,100内的概率．
17.(本小题12分)
已知函数fx= 2sin2x+ 6sinx⋅csx− 22．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)求函数fx在区间−π24,π2上的值域．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA=2AB=2AC=4，▵ABC的外接圆的圆心在线段BC上，PA⊥平面ABC，D为PC上一点，且PC=5CD．
(1)证明：PC⊥平面ABD；
(2)求三棱锥A−PDB的体积．
19.(本小题12分)
设函数fx的定义域为D，对于区间I=a,ba(1)分别判断说明区间2,3是否为下列两函数的“Ω区间”；
①y=5−x；
②y=8x．
(2)若0,mm>0是函数fx=−2x2+x的“Ω区间”，求m的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.BC
10.BCD
11.ABD
12.9.1
13.−∞,1
14.3
15.(1)
因为sinB+CsinC⋅csB+2ac=0，且在▵ABC中，sinA,sinC>0，
所以sinAsinC⋅csB+2ac=0，由正弦定理得sinAsinC⋅csB+2sinAsinC=0，
所以sinAsinC⋅csB=−2sinAsinC，1csB=−2，
故csB=−12，B∈0,π，所以B=2π3．
(2)
在▵ABC中，由余弦定理得−12=1+c2−32×1×c，解得c=1(负根舍去)，
所以S▵ABC=12×1×1× 32= 34．
16.(1)
由题意得(0.005+a+0.030+0.025+a+0.010)×10=1，
解得a=0.015，
所以测试成绩在80,100内学生的人数为400×(0.015+0.010)×10=100；
(2)
由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为
45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71；
(3)
抽取的成绩在80,90内的人数为5×+0.010=3，记为a,b,c，
抽取的成绩在90,100内的人数为5×+0.010=2，记为A,B，
则从5人中随机抽取2人的情况有：ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB，共10种，
其中恰有一人的成绩在90,100内的有aA,aB,bA,bB,cA,cB，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在90,100内的概率为610=35．
17.(1)
因为fx= 2sin2x+ 6sinx⋅csx− 22
= 21−cs2x2+ 62sin2x− 22
= 62sin2x− 22cs2x= 2 22sin2x−12cs2x= 2sin2x−π6，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以fx的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z；
(2)
因为x∈−π24,π2，则2x−π6∈−π4,5π6，
所以sin2x−π6∈− 22,1，
所以fx∈−1, 2，所以函数fx在区间−π24,π2上的值域为−1, 2．
18.(1)
因为PA⊥平面ABC，AC,AB⊂平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，
又PA=2AB=2AC=4，所以PC= 22+42=2 5，
又PC=5CD，所以CD=2 55，所以CDAC=ACPC，
所以▵PAC∽▵ADC，所以∠ADC=∠PAC=90∘，即AD⊥PC，
因为▵ABC的外接圆的圆心在线段BC上，所以∠BAC=90∘，所以AB⊥AC，
又AP∩AC=A，AP,AC⊂平面APC，
所以AB⊥平面APC，又PC⊂平面APC，所以AB⊥PC，
又AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABD，
所以PC⊥平面ABD；
(2)
因为VA−PDB=VP−ADB=PDPCVP−ABC=45VP−ABC，
又VP−ABC=13S▵ABC⋅PA=13×12×2×2×4=83，
所以VA−PDB=45VP−ABC=45×83=3215．
19.(1)
①对于y=5−x，由一次函数性质得它在2,3上单调递减，
所以当x∈2,3时，y∈2,3，故区间2,3是y=5−x的“Ω区间”，
②对于y=8x，由反比例函数性质得它在2,3上单调递减，
所以当x∈2,3时，y∈83,4，此时不满足y∈2,3，
也不满足y∉2,3，故区间2,3不是y=8x的“Ω区间”，
(2)
若0,m是函数fx=−2x2+x的“Ω区间”，
而f0=0，不满足性质2，必然满足性质1，
由二次函数性质得fx在0,14上单调递增，在14,+∞上单调递减，
当m∈(0,14)时，fx0,m上单调递增，
且fm−m=−2m2+m−m=−2m2<0，
即fm满足0,fm⊆0,m，符合题意，
当m∈14,12时，fx在14,12上单调递减，
所以fx∈0,18，而0,18⊆0,m，符合题意，
当m∈(12,+∞)时，fx在(12,+∞)上单调递减，
fm综上可得m的取值范围为0,12．
1.在▵ABC中，BC=1,A=30∘，则▵ABC的外接圆的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知集合A=x−1
3.已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则m+n=( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
4.已知向量a=n,2，b=−1,2n−4，则“n=1”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若tanα+π4=−3，则sin2α=( )
A. −43B. 45C. 35D. 25
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AF⋅AB=3，则AE⋅AF的值为( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
7.设a为实数，则关于x的不等式ax−1x+2>0的解集不可能是( )
A. −∞,−2 B. −∞,1a∪−2,+∞ C. 1a,−2 D. −2,1a
8.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是棱A1D1､A1B1的中点，过直线BD的平面α//平面AEF，则平面α截该正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为( )
A. 16
B. 16 2
C. 18
D. 18 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足1−iz=4+6i，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为5iB. 复数z在复平面中对应的点在第三象限
C. z+26z=−2D. z>z
10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”.事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是线段BC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A. D1M⊥DA1
B. A1M//平面ACD1
C. 异面直线A1M与AD1所成的角的取值范围是π6,π2
D. 二面角M−AD1−C的正弦值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据5.5，6.1，7.2，8.0，8.5，8.6，8.8，9.0，9.2，9.8的第80百分位数为 ．
13.已知函数fx=12−x2+2x，则fx的单调递减区间为 ．
14.已知fx=lnx+x，gx=ex+x，若fa=gb，则e2b+4+aa+1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足sinB+CsinC⋅csB+2ac=0．
(1)求B的大小
(2)若a=1，b= 3，求▵ABC的面积
16.(本小题12分)
某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩(所得分数均在40,100)，将所得数据按照40,50,50,60，60,70,70,80，80,90,90,100分成6组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并求出测试成绩在80,100内的学生人数；
(2)试估计本次测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)从测试成绩在80,90和90,100内
学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在90,100内的概率．
17.(本小题12分)
已知函数fx= 2sin2x+ 6sinx⋅csx− 22．
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)求函数fx在区间−π24,π2上的值域．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA=2AB=2AC=4，▵ABC的外接圆的圆心在线段BC上，PA⊥平面ABC，D为PC上一点，且PC=5CD．
(1)证明：PC⊥平面ABD；
(2)求三棱锥A−PDB的体积．
19.(本小题12分)
设函数fx的定义域为D，对于区间I=a,ba
①y=5−x；
②y=8x．
(2)若0,mm>0是函数fx=−2x2+x的“Ω区间”，求m的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.BC
10.BCD
11.ABD
12.9.1
13.−∞,1
14.3
15.(1)
因为sinB+CsinC⋅csB+2ac=0，且在▵ABC中，sinA,sinC>0，
所以sinAsinC⋅csB+2ac=0，由正弦定理得sinAsinC⋅csB+2sinAsinC=0，
所以sinAsinC⋅csB=−2sinAsinC，1csB=−2，
故csB=−12，B∈0,π，所以B=2π3．
(2)
在▵ABC中，由余弦定理得−12=1+c2−32×1×c，解得c=1(负根舍去)，
所以S▵ABC=12×1×1× 32= 34．
16.(1)
由题意得(0.005+a+0.030+0.025+a+0.010)×10=1，
解得a=0.015，
所以测试成绩在80,100内学生的人数为400×(0.015+0.010)×10=100；
(2)
由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为
45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.15+95×0.1=71；
(3)
抽取的成绩在80,90内的人数为5×+0.010=3，记为a,b,c，
抽取的成绩在90,100内的人数为5×+0.010=2，记为A,B，
则从5人中随机抽取2人的情况有：ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB，共10种，
其中恰有一人的成绩在90,100内的有aA,aB,bA,bB,cA,cB，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在90,100内的概率为610=35．
17.(1)
因为fx= 2sin2x+ 6sinx⋅csx− 22
= 21−cs2x2+ 62sin2x− 22
= 62sin2x− 22cs2x= 2 22sin2x−12cs2x= 2sin2x−π6，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以fx的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ,k∈Z；
(2)
因为x∈−π24,π2，则2x−π6∈−π4,5π6，
所以sin2x−π6∈− 22,1，
所以fx∈−1, 2，所以函数fx在区间−π24,π2上的值域为−1, 2．
18.(1)
因为PA⊥平面ABC，AC,AB⊂平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，
又PA=2AB=2AC=4，所以PC= 22+42=2 5，
又PC=5CD，所以CD=2 55，所以CDAC=ACPC，
所以▵PAC∽▵ADC，所以∠ADC=∠PAC=90∘，即AD⊥PC，
因为▵ABC的外接圆的圆心在线段BC上，所以∠BAC=90∘，所以AB⊥AC，
又AP∩AC=A，AP,AC⊂平面APC，
所以AB⊥平面APC，又PC⊂平面APC，所以AB⊥PC，
又AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABD，
所以PC⊥平面ABD；
(2)
因为VA−PDB=VP−ADB=PDPCVP−ABC=45VP−ABC，
又VP−ABC=13S▵ABC⋅PA=13×12×2×2×4=83，
所以VA−PDB=45VP−ABC=45×83=3215．
19.(1)
①对于y=5−x，由一次函数性质得它在2,3上单调递减，
所以当x∈2,3时，y∈2,3，故区间2,3是y=5−x的“Ω区间”，
②对于y=8x，由反比例函数性质得它在2,3上单调递减，
所以当x∈2,3时，y∈83,4，此时不满足y∈2,3，
也不满足y∉2,3，故区间2,3不是y=8x的“Ω区间”，
(2)
若0,m是函数fx=−2x2+x的“Ω区间”，
而f0=0，不满足性质2，必然满足性质1，
由二次函数性质得fx在0,14上单调递增，在14,+∞上单调递减，
当m∈(0,14)时，fx0,m上单调递增，
且fm−m=−2m2+m−m=−2m2<0，
即fm
当m∈14,12时，fx在14,12上单调递减，
所以fx∈0,18，而0,18⊆0,m，符合题意，
当m∈(12,+∞)时，fx在(12,+∞)上单调递减，
fm
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