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福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题
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这是一份福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在平行四边形ABCD中，点E满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C），P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
4．（5分）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．1：1B．3：2C．π：3D．4：π
5．（5分）欧拉恒等式eiπ+1＝0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式eix＝csx+isinx的特例：当自变量x＝π时，eix＝csπ+isinπ＝﹣1，得eiπ+1＝0根据欧拉公式，复数z＝e3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（5分）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班：36.1，36.2，36.4，36.5，36.7，36.8，37.0（单位：℃），
高三（二）班：36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.7，37.1（单位：℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8
C．36.25，36.7D．36.25，36.8
7．（5分）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
（多选）10．（6分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（ ）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
D．若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c（ ）
A．若ccsC＝bcsB，则△ABC是等腰三角形
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是钝角三角形
D．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i3（i为虚数单位），则|z|＝ ．
13．（5分）在△ABC中，，AB＝8，若此三角形恰有两解 ．
14．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，球O的表面积为100π，则三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（1，0），＝（m，﹣1），﹣2＝（﹣3，2）．
（1）求|+|；
（2）设向量，的夹角为θ，求csθ的值．
16．（15分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
（1）求乙通过考核的概率；
（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），90），[90，[100，110），120），[120，[130，140），150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，150]中的概率．
18．（17分）如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是，M是线段OA上的一点，且．
（1）若，求PM的长；
（2）求△OMP的面积最大值．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，AB∥CD，是棱PA上的一点．
（1）若PE＝2EA，求证：PC∥平面EBD；
（2）若PA⊥平面EBD，且PA＝4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．
2023-2024学年福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念即可得答案．
【解答】解：，其虚部为．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）在平行四边形ABCD中，点E满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算计算即可求得．
【解答】解：因为平行四边形ABCD中，，
所以，，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
3．（5分）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C），P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【分析】根据题意，由对立事件的性质求出P（A）＝0.2，进而由互斥事件的概率性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由A和C对立，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝6.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.4+0.3＝4.5．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的概率性质，注意随机事件的性质，属于基础题．
4．（5分）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．1：1B．3：2C．π：3D．4：π
【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，然后表示出圆柱的表面积和球的表面积，相比即可．
【解答】解：设球的半径为R，则由题意得圆柱的底面半径为R，
所以圆柱的表面积为2πR2+3πR•2R＝6πR6，
球的表面积为4πR2，
所以圆柱与球的表面积之比为，
故选：B．
【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，是基础题．
5．（5分）欧拉恒等式eiπ+1＝0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式eix＝csx+isinx的特例：当自变量x＝π时，eix＝csπ+isinπ＝﹣1，得eiπ+1＝0根据欧拉公式，复数z＝e3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合欧拉公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝e3i＝cs3+isin8，
，
则cs3＜0，sin3＞2，
故复数z＝e3i在复平面内对应的点（cs3，sin6）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查欧拉公式，以及复数的几何意义，是基础题．
6．（5分）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班：36.1，36.2，36.4，36.5，36.7，36.8，37.0（单位：℃），
高三（二）班：36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.7，37.1（单位：℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8
C．36.25，36.7D．36.25，36.8
【分析】利用百分位数的定义进行求解．
【解答】解：因为10×0.25＝2.6，
故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，
因为10×0.5＝8，
故从小到大，选取第8个和第8个数据的平均数作为第80百分位数，即．
故选：B．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
7．（5分）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意先求出m的值，再利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，数据1，2，4，5倍，
当m≥5时，，得（舍），
当5＜m＜5时，，得m＝4，
当m≤1时，，得（舍），
所以m＝4，
从1，7，3，5，6中任取2个数结果：（1，（4，（1，（1，（8，（2，（2，（7，（3，（4，
符合题意（5，5），4），6），5），
所以概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据数量积的几何意义，结合正八边形的性质进行分析计算即可．
【解答】解：延长BA，GH交于点M，DC交于点N，
根据正八边形的特征，可知，
因为，所以，
所以，
，
则的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
【分析】根据题意，由互斥事件、对立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故A错误；
对于B，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“
至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，
即“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，故B正确；
对于C，“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，不同时发生，
还有可能都是红球，不是对立事件；
对于D，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，不同时发生，
但一定会有一个发生，是对立事件．
故选：BD．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的不同，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（ ）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
D．若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可逐项求解．
【解答】解：对于A，由题意m∥α，可得m∥β或m⊂β；
对于B，由题意m⊥n，n⊥β，故正确；
对于C，由题意α∥β，可得α∥γ；
对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C4D1中，平面ABCD⊥平面ADD1A8，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，平面ADD4A1∩平面A1BCD3＝A1D1，
但BC∥A4D1，故错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，属于中档题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c（ ）
A．若ccsC＝bcsB，则△ABC是等腰三角形
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是钝角三角形
D．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
【分析】对于A，由正弦定理，二倍角公式化简已知等式得到sin2C＝sin2B，可得2C＝2B或2C+2B＝π，可求△ABC是等腰三角形或直角三角形，即可判断；
对于B，由正弦定理即可判断；
对于C，由正弦定理得a2+b2＜c2，利用余弦定理可求，可得，即可判断；
对于D，由△ABC不是直角三角形且A＝π﹣（B+C），进而利用两角和的正切公式即可求解．
【解答】解：对于A，因为ccsC＝bcsB，
所以sinCcsC＝sinBcsB，
可得sin2C＝sin2B，
所以4C＝2B或2C+6B＝π，即C＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，因为由正弦定理得a＝2RsinA，R为三角形外接圆半径，
因为a＞b，
所以5RsinA＞2RsinB，
所以sinA＞sinB，故B正确；
对于C，因为asinA+bsinB＜csinC，
所以得a2+b6＜c2，
所以，
所以，
所以△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D，若△ABC不是直角三角形，
可得，
所以tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i3（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可．
【解答】解：由（1﹣i）z＝i3，得，则．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
13．（5分）在△ABC中，，AB＝8，若此三角形恰有两解 ．
【分析】由题意，若△ABC恰有两解，则，即可得解．
【解答】解：因为，AB＝8，
若△ABC恰有两解，则，解得，
即边BC长度的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与三角形解的存在性和个数，属于基础题．
14．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，球O的表面积为100π，则三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为 12 ．
【分析】先求出球的半径，再设AB＝a，BC＝b，则a2+b2＝36，再根据重要不等式，即可求解．
【解答】解：设球O的半径为R，
则球O的表面积为4πR2＝100π，∴R＝3，
∵AB⊥BC，AC＝6，
∴△ABC 的外接圆的半径为．
∴点O到平面ABC的距离为，
设AB＝a，BC＝b2+b2＝36，
∴ab≤18，当且仅当时，
∴三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查三棱锥的体积的最值的求解，重要不等式的应用，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（1，0），＝（m，﹣1），﹣2＝（﹣3，2）．
（1）求|+|；
（2）设向量，的夹角为θ，求csθ的值．
【分析】（1）结合向量的坐标运算法则，以及向量模公式，即可求解；
（2）结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1）向量＝（1，＝（m，
则，
﹣2＝（﹣3，
则，解得m＝2，
故＝（2，
，
所以；
（2）＝（3，﹣1）＝1×4﹣0×1＝6，|，||＝√5，
则csθ＝＝．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16．（15分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
（1）求乙通过考核的概率；
（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
【分析】（1）分别计算出乙第一次、第二次考核通过的概率相加即可；
（2）分甲考核1次，乙考核2次、甲考核2次，乙考核1次两种情况即可解．
【解答】解：（1）∵乙第一次考核通过的概率，
乙第二次考核通过的概率为，
∴乙通过考核的概率为；
（2）∵甲考核2次，乙考核4次的概率，
甲考核2次，乙考核2次的概率，
∴甲乙两人的考核次数和为3的概率．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），90），[90，[100，110），120），[120，[130，140），150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，150]中的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，即可求解出a；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标；
（2）分别求出在区间[130，140），[140，150]内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意知（0.012+0.028+5.022+0.018+0.010+a+7.002）×10＝1，
解得a＝0.008，
数学成绩的平均数为：
＝85×3.12+95×0.22+105×0.28+115×2.18+125×0.10+135×0.08+145×7.02＝107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80、[80，0.62，
所以该校数学成绩的中位数m∈[100，110），
则（m﹣100）×7.028+0.34＝0.8，解得；
（2）抽取的5人中，分数在[130，
在[140，150]内的有1人，
记在[130，140）内的6人为a，b，c，d，150]内的1人为A，
从5人中任取8人，有（a，b，（a，b，（a，b，（a，c，（a，c，（a，d，（b，c，（b，c，（b，d，（c，d，
选出的3人中恰有一人成绩在[140，150]中，b，A），c，A），d，A），c，A），d，A），d，A），
故所求概率为．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型的应用，属于中档题．
18．（17分）如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是，M是线段OA上的一点，且．
（1）若，求PM的长；
（2）求△OMP的面积最大值．
【分析】（1）在△OBP中，利用余弦定理求出cs∠BOP的值，从而知sin∠BOP，再由∠POM＝∠AOB﹣∠BOP，利用两角差的正弦公式，求出sin∠POM的值，然后在△OPM中，利用正弦定理，求解即可；
（2）在△OMP中，结合余弦定理与基本不等式，求得OM•MP≤，再由三角形的面积公式，求解即可．
【解答】解：（1）在△OBP中，由余弦定理，得＞，
所以，
所以，
所以sin∠POM＝sin（∠AOB﹣∠BOP）＝sin∠AOBcs∠BOP﹣cs∠AOBsin∠BOP＝×﹣×＝，
在△OPM中，由正弦定理，得，
所以．
（2）设OM＝x，MP＝y，
在△OMP中，由余弦定理3＝OM2+MP2﹣6OM•MP•cs∠OMP，
所以4＝x2+y5+xy≥2xy+xy＝3xy，
所以，当且仅当，
所以S△OMP＝OM•MP•sin∠OMP＝≤•＝，
即△OMP的面积最大值为．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角差的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，AB∥CD，是棱PA上的一点．
（1）若PE＝2EA，求证：PC∥平面EBD；
（2）若PA⊥平面EBD，且PA＝4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．
【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，利用三角形相似可得OC＝2OA，结合PE＝2EA，可得OE∥PC，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取CD中点M，连接AM，交BD于点N，连接EN，先证四边形ABCM是矩形，可得AM∥BC，再由PA⊥平面EBD，知∠ANE即为所求，过点A作AG⊥BD，垂足为G，连接AG，GP，由面面垂直的性质定理知AG⊥平面PBD，然后结合射影定理与锐角三角函数，求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示，
因为AB∥CD，所以△OAB∼△OCD，
又PE＝6EA，所以OE∥PC，
因为OE⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，
所以PC∥平面EBD．
（2）解：取CD中点M，连接AM，连接EN，且AB＝CM，
所以四边形ABCM是平行四边形，所以AM∥BC，
因为BC⊥CD，所以四边形ABCM是矩形，
因为AB∥DM，AB＝DM，
所以N为BD中点，，所以△ABN是等腰直角三角形，
因为PA⊥平面EBD，
所以∠ANE是直线AM与平面EBD所成的角，也是直线BC与平面EBD所成的角，
过点A作AG⊥BD，垂足为G，GP，
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
所以AG⊥平面PBD，
又PG⊂平面PBD，所以AG⊥PG，
由射影定理知，AG2＝AE•AP，
所以AE＝，
在Rt△ANE中，，
所以直线BC与平面EBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面、面面垂直的性质定理，线面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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1．（5分）若i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）在平行四边形ABCD中，点E满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C），P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
4．（5分）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．1：1B．3：2C．π：3D．4：π
5．（5分）欧拉恒等式eiπ+1＝0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式eix＝csx+isinx的特例：当自变量x＝π时，eix＝csπ+isinπ＝﹣1，得eiπ+1＝0根据欧拉公式，复数z＝e3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（5分）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班：36.1，36.2，36.4，36.5，36.7，36.8，37.0（单位：℃），
高三（二）班：36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.7，37.1（单位：℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8
C．36.25，36.7D．36.25，36.8
7．（5分）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
（多选）10．（6分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（ ）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
D．若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c（ ）
A．若ccsC＝bcsB，则△ABC是等腰三角形
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是钝角三角形
D．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i3（i为虚数单位），则|z|＝ ．
13．（5分）在△ABC中，，AB＝8，若此三角形恰有两解 ．
14．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，球O的表面积为100π，则三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（1，0），＝（m，﹣1），﹣2＝（﹣3，2）．
（1）求|+|；
（2）设向量，的夹角为θ，求csθ的值．
16．（15分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
（1）求乙通过考核的概率；
（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），90），[90，[100，110），120），[120，[130，140），150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，150]中的概率．
18．（17分）如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是，M是线段OA上的一点，且．
（1）若，求PM的长；
（2）求△OMP的面积最大值．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，AB∥CD，是棱PA上的一点．
（1）若PE＝2EA，求证：PC∥平面EBD；
（2）若PA⊥平面EBD，且PA＝4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．
2023-2024学年福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的概念即可得答案．
【解答】解：，其虚部为．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2．（5分）在平行四边形ABCD中，点E满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算计算即可求得．
【解答】解：因为平行四边形ABCD中，，
所以，，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
3．（5分）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C），P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【分析】根据题意，由对立事件的性质求出P（A）＝0.2，进而由互斥事件的概率性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由A和C对立，
又由P（C）＝0.8，则P（A）＝6.2，
又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.4+0.3＝4.5．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的概率性质，注意随机事件的性质，属于基础题．
4．（5分）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．1：1B．3：2C．π：3D．4：π
【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，然后表示出圆柱的表面积和球的表面积，相比即可．
【解答】解：设球的半径为R，则由题意得圆柱的底面半径为R，
所以圆柱的表面积为2πR2+3πR•2R＝6πR6，
球的表面积为4πR2，
所以圆柱与球的表面积之比为，
故选：B．
【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，是基础题．
5．（5分）欧拉恒等式eiπ+1＝0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式eix＝csx+isinx的特例：当自变量x＝π时，eix＝csπ+isinπ＝﹣1，得eiπ+1＝0根据欧拉公式，复数z＝e3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合欧拉公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝e3i＝cs3+isin8，
，
则cs3＜0，sin3＞2，
故复数z＝e3i在复平面内对应的点（cs3，sin6）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查欧拉公式，以及复数的几何意义，是基础题．
6．（5分）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）班（二）班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班：36.1，36.2，36.4，36.5，36.7，36.8，37.0（单位：℃），
高三（二）班：36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.7，37.1（单位：℃）
则高三（一）班这组数据的第25百分位数和高三（二）班第80百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7B．36.3，36.8
C．36.25，36.7D．36.25，36.8
【分析】利用百分位数的定义进行求解．
【解答】解：因为10×0.25＝2.6，
故从小到大，选取第3个数据作为高三（一）班这组数据的第25百分位数，
因为10×0.5＝8，
故从小到大，选取第8个和第8个数据的平均数作为第80百分位数，即．
故选：B．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
7．（5分）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意先求出m的值，再利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，数据1，2，4，5倍，
当m≥5时，，得（舍），
当5＜m＜5时，，得m＝4，
当m≤1时，，得（舍），
所以m＝4，
从1，7，3，5，6中任取2个数结果：（1，（4，（1，（1，（8，（2，（2，（7，（3，（4，
符合题意（5，5），4），6），5），
所以概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8．（5分）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据数量积的几何意义，结合正八边形的性质进行分析计算即可．
【解答】解：延长BA，GH交于点M，DC交于点N，
根据正八边形的特征，可知，
因为，所以，
所以，
，
则的取值范围是．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
【分析】根据题意，由互斥事件、对立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故A错误；
对于B，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“
至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，
即“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，故B正确；
对于C，“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，不同时发生，
还有可能都是红球，不是对立事件；
对于D，“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，不同时发生，
但一定会有一个发生，是对立事件．
故选：BD．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的不同，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面（ ）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
D．若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可逐项求解．
【解答】解：对于A，由题意m∥α，可得m∥β或m⊂β；
对于B，由题意m⊥n，n⊥β，故正确；
对于C，由题意α∥β，可得α∥γ；
对于D，在正方体ABCD﹣A1B1C4D1中，平面ABCD⊥平面ADD1A8，平面ABCD∩平面A1BCD1＝BC，平面ADD4A1∩平面A1BCD3＝A1D1，
但BC∥A4D1，故错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，属于中档题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c（ ）
A．若ccsC＝bcsB，则△ABC是等腰三角形
B．若a＞b，则sinA＞sinB
C．若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是钝角三角形
D．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
【分析】对于A，由正弦定理，二倍角公式化简已知等式得到sin2C＝sin2B，可得2C＝2B或2C+2B＝π，可求△ABC是等腰三角形或直角三角形，即可判断；
对于B，由正弦定理即可判断；
对于C，由正弦定理得a2+b2＜c2，利用余弦定理可求，可得，即可判断；
对于D，由△ABC不是直角三角形且A＝π﹣（B+C），进而利用两角和的正切公式即可求解．
【解答】解：对于A，因为ccsC＝bcsB，
所以sinCcsC＝sinBcsB，
可得sin2C＝sin2B，
所以4C＝2B或2C+6B＝π，即C＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，因为由正弦定理得a＝2RsinA，R为三角形外接圆半径，
因为a＞b，
所以5RsinA＞2RsinB，
所以sinA＞sinB，故B正确；
对于C，因为asinA+bsinB＜csinC，
所以得a2+b6＜c2，
所以，
所以，
所以△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D，若△ABC不是直角三角形，
可得，
所以tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝i3（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解即可．
【解答】解：由（1﹣i）z＝i3，得，则．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
13．（5分）在△ABC中，，AB＝8，若此三角形恰有两解 ．
【分析】由题意，若△ABC恰有两解，则，即可得解．
【解答】解：因为，AB＝8，
若△ABC恰有两解，则，解得，
即边BC长度的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理与三角形解的存在性和个数，属于基础题．
14．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若AB⊥BC，球O的表面积为100π，则三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为 12 ．
【分析】先求出球的半径，再设AB＝a，BC＝b，则a2+b2＝36，再根据重要不等式，即可求解．
【解答】解：设球O的半径为R，
则球O的表面积为4πR2＝100π，∴R＝3，
∵AB⊥BC，AC＝6，
∴△ABC 的外接圆的半径为．
∴点O到平面ABC的距离为，
设AB＝a，BC＝b2+b2＝36，
∴ab≤18，当且仅当时，
∴三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查三棱锥的体积的最值的求解，重要不等式的应用，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（1，0），＝（m，﹣1），﹣2＝（﹣3，2）．
（1）求|+|；
（2）设向量，的夹角为θ，求csθ的值．
【分析】（1）结合向量的坐标运算法则，以及向量模公式，即可求解；
（2）结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：（1）向量＝（1，＝（m，
则，
﹣2＝（﹣3，
则，解得m＝2，
故＝（2，
，
所以；
（2）＝（3，﹣1）＝1×4﹣0×1＝6，|，||＝√5，
则csθ＝＝．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16．（15分）近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分．已知教师甲每次考核通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立．
（1）求乙通过考核的概率；
（2）求甲乙两人考核的次数和为3的概率．
【分析】（1）分别计算出乙第一次、第二次考核通过的概率相加即可；
（2）分甲考核1次，乙考核2次、甲考核2次，乙考核1次两种情况即可解．
【解答】解：（1）∵乙第一次考核通过的概率，
乙第二次考核通过的概率为，
∴乙通过考核的概率为；
（2）∵甲考核2次，乙考核4次的概率，
甲考核2次，乙考核2次的概率，
∴甲乙两人的考核次数和为3的概率．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），90），[90，[100，110），120），[120，[130，140），150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，150]中的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，即可求解出a；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标；
（2）分别求出在区间[130，140），[140，150]内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意知（0.012+0.028+5.022+0.018+0.010+a+7.002）×10＝1，
解得a＝0.008，
数学成绩的平均数为：
＝85×3.12+95×0.22+105×0.28+115×2.18+125×0.10+135×0.08+145×7.02＝107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80、[80，0.62，
所以该校数学成绩的中位数m∈[100，110），
则（m﹣100）×7.028+0.34＝0.8，解得；
（2）抽取的5人中，分数在[130，
在[140，150]内的有1人，
记在[130，140）内的6人为a，b，c，d，150]内的1人为A，
从5人中任取8人，有（a，b，（a，b，（a，b，（a，c，（a，c，（a，d，（b，c，（b，c，（b，d，（c，d，
选出的3人中恰有一人成绩在[140，150]中，b，A），c，A），d，A），c，A），d，A），d，A），
故所求概率为．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型的应用，属于中档题．
18．（17分）如图，已知扇形OAB的半径为2，，P是，M是线段OA上的一点，且．
（1）若，求PM的长；
（2）求△OMP的面积最大值．
【分析】（1）在△OBP中，利用余弦定理求出cs∠BOP的值，从而知sin∠BOP，再由∠POM＝∠AOB﹣∠BOP，利用两角差的正弦公式，求出sin∠POM的值，然后在△OPM中，利用正弦定理，求解即可；
（2）在△OMP中，结合余弦定理与基本不等式，求得OM•MP≤，再由三角形的面积公式，求解即可．
【解答】解：（1）在△OBP中，由余弦定理，得＞，
所以，
所以，
所以sin∠POM＝sin（∠AOB﹣∠BOP）＝sin∠AOBcs∠BOP﹣cs∠AOBsin∠BOP＝×﹣×＝，
在△OPM中，由正弦定理，得，
所以．
（2）设OM＝x，MP＝y，
在△OMP中，由余弦定理3＝OM2+MP2﹣6OM•MP•cs∠OMP，
所以4＝x2+y5+xy≥2xy+xy＝3xy，
所以，当且仅当，
所以S△OMP＝OM•MP•sin∠OMP＝≤•＝，
即△OMP的面积最大值为．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，两角差的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，AB∥CD，是棱PA上的一点．
（1）若PE＝2EA，求证：PC∥平面EBD；
（2）若PA⊥平面EBD，且PA＝4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．
【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，利用三角形相似可得OC＝2OA，结合PE＝2EA，可得OE∥PC，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取CD中点M，连接AM，交BD于点N，连接EN，先证四边形ABCM是矩形，可得AM∥BC，再由PA⊥平面EBD，知∠ANE即为所求，过点A作AG⊥BD，垂足为G，连接AG，GP，由面面垂直的性质定理知AG⊥平面PBD，然后结合射影定理与锐角三角函数，求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示，
因为AB∥CD，所以△OAB∼△OCD，
又PE＝6EA，所以OE∥PC，
因为OE⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，
所以PC∥平面EBD．
（2）解：取CD中点M，连接AM，连接EN，且AB＝CM，
所以四边形ABCM是平行四边形，所以AM∥BC，
因为BC⊥CD，所以四边形ABCM是矩形，
因为AB∥DM，AB＝DM，
所以N为BD中点，，所以△ABN是等腰直角三角形，
因为PA⊥平面EBD，
所以∠ANE是直线AM与平面EBD所成的角，也是直线BC与平面EBD所成的角，
过点A作AG⊥BD，垂足为G，GP，
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
所以AG⊥平面PBD，
又PG⊂平面PBD，所以AG⊥PG，
由射影定理知，AG2＝AE•AP，
所以AE＝，
在Rt△ANE中，，
所以直线BC与平面EBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面、面面垂直的性质定理，线面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:14:34；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359
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