2023-2024学年北京市第一中学高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市第一中学高一下学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z=i(1−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(1,2)，b=(2,t)，若a//b，则t=( )
A. −4B. 1C. 2D. 4
3.设a，b为非零向量，且满足a−b=a+b，则a与b的关系是( )
A. 既不共线也不垂直B. 垂直C. 同向D. 反向
4.(2015新课标全国Ⅰ文科)已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC⇀=(−4,−3)，则向量BC⇀=
A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)
5.▵ABC中，AB=3，BC=2，∠B=60∘，AB⋅BC=( )
A. −3 3B. −3C. 3D. 3 3
6.已知A,B,C,D是平面内四个不同的点，则“AB//DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.等边▵ABC的边长为2，则AB在BC上的投影向量为( )
A. −12BCB. BCC. 2BCD. −2BC
8.为了得到函数y=sin2x+π3的图象，需要把函数y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度
C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度
9.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有▵ABC满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D是CB延长线上的一点，则AC⋅AD=( )
A. 3B. 4C. 9D. 不能确定
10.在▵ABC中，AB=2，AC=3，且AB⋅AC=−3 3，则AC−λABλ∈R的最小值是( )
A. 32B. 3C. 3 32D. 2 3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量a=1,m，b=3,−2，且a+b⊥b，则m= ．
12.已知复数z满足z=2i1+i，那么z= ，|z|= ．
13.已知向量a=1，b=2，a与b的夹角为π3，则求a+b= ．
14.已知非零平面向量a，b，c，
①若a⋅c=c⋅b，则a=b；②若a+b=a+b，则a//b；
③若a+b=a−b，则a⊥b；④若a+b⋅a−b=0，则a=b或a=−b．
其中正确命题的序号是 ．
15.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧(不超出正方形)上的任一点，设向量AP=λAB+μAE，则λ+μ的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知a=2，b=3，a与b的夹角为2π3．
(1)求a⋅b；
(2)求a+b；
(3)当k为何值时，a+2b⊥ka−b？
17.（12分）在▵ABC中，AB=2，BC=3，∠B=60∘，且BC=3AD，AC与BD交于点O，设AB=a，BC=b．
(1)用向量a，b表示OC，OB；
(2)求cs∠COD的值．
18.（12分）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 6nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 3n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
19.（12分）已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n
(1)求角A
(2)若a= 7，b=2，求▵ABC的面积
20.（12分）已知函数fx=sin2xcsφ−cs2xsinφ，其中φ0，函数fx在区间0,m上最小值为−12，求实数m的取值范围．
条件①：对任意的x∈R，都有fx≤fπ3成立；
条件②：fπ4=−12；
条件③：fπ3−f−π6=2．
21.（15分）对于任意实数a，b，c，d，表达式ad−bc称为二阶行列式，记作a&bc&d．
(1)求下列行列式的值：
①0&1−1&0；②1&32&6
(2)求证：向量p=(a,b)与向量q=(c,d)共线的充要条件是a&bc&d=0；
(3)讨论关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2(a1a2b1b2≠0)有唯一解的条件，并求出解．(结果用二阶行列式的记号表示)
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.C
10.A
11.8
12.1−i ； ； ； ； ；； 2
13. 7
14.②③
15.1, 5
16.(1)a⋅b=abcs2π3=2×3×−12=−3；
(2)a+b= a2+2a⋅b+b2= 4−2×3+9= 7；
(3)由a+2b⊥ka−b得a+2b⋅ka−b=0，
即a+2b⋅ka−b=ka2−a⋅b+2ka⋅b−2b2=0，
可得4k+3−6k−2×9=0，解得k=−152

17.解：(1)因为BC=3AD，AC与BD交于点O，
所以OC=34AC=34(AB+BC)=34(a+b)，
OB=OC+CB=34a−14b；
(2)由(1)得，OD=−13OB=−14a+112b，
所以OC⋅OD=34(a+b)⋅(−14a+112b)
=−316(22+23×2×3cs120∘−13×32)=316，
又|OC|=34 22+32+2×2×3cs120∘=3 74，
|OD|=14 22−23×2×3cs120∘+19×32= 74，
所以cs∠COD=3163 74× 74=17．

18.(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得AD=ABsinBsinADB=12 6× 22 32=24

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcs30°，解得CD=8 3．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8 3nmile．

19.解：(1)因为m/​/n，所以asinB− 3bcsA=0．
由正弦定理，得sinAsinB− 3sinBcsA=0，
因为sin B≠0，所以tanA= 3．
又A为△ABC的内角，
所以A=π3．
(2)由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccs A，即7=4+c2−2c，
解得c=3或−1(舍去)，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=3 32．
20.(1)由fx=sin2xcsφ−cs2xsinφ=sin2x−φ，
若选条件①：可知当x=π3时，fπ3=sin2π3−φ=1，因为φ