2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设复数z=3+i1+i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为( )
A. (2,−1)B. (2,−2)C. (2,1)D. (2,2)
2.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则( )
A. 男生投篮水平比女生投篮水平高
B. 女生投篮水平比男生投篮水平高
C. 男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D. 男女同学投篮命中数的极差相同
3.若|a|=2，|b|=4，向量a与b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. −34bB. −14bC. 12bD. −12b
4.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为( )
A. 415B. 715C. 815D. 1115
5.设D为△ABC所在平面内一点，BD=2DC，M为AD的中点，则MB=( )
A. 56AB−13ACB. 13AB−56ACC. 56AB+13ACD. 13AB+56AC
6.如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光.某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且AB=30 7米，∠AOB=150°，则雁鸣塔的高度OP=( )
A. 30米B. 30 2米C. 30 3米D. 30 5米
7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2−a2=8，则△ABC的面积为( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 34
8.足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中AB=AA1=2，A1B1=4，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为( )
A. 16π
B. 32 3π
C. 48π
D. 40π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是( )
A. 当α⊥β时，若β//γ，则α⊥γ
B. 当m⊥α，n⊥β时，若α//β，则m//n
C. 当m⊂α，n⊂β时，α//β，则m，n是异面直线
D. 当m//n，n⊥β时，若m⊂α，则α⊥β
10.《数术记遗》记述了积算(即筹算)、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间(单位：min)分别为93，93，88，81，94，91，90.则这组时间数据( )
A. 极差为13B. 中位数为81C. 平均数为90D. 方差为25
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=2 3，且b2+c2−12=bc，则下列说法正确的是( )
A. A=π3
B. △ABC面积的最大值为3 32
C. 若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D. 若△ABC为锐角三角形，则其周长的取值范围为(6+2 3,6 3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩分别为85，93，99，101，103，130，90，116，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为______．
13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−bc−a=sinAsinC+sinB，则B= ______．
14.已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别是边BC，AC上的动点，且CN=BM，则AM⋅MN的最大值是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，
(1)求a⋅b的值；
(2)求向量a−b与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，PD=AD=BD=2，∠ADB=90°．
(1)PA//平面BDE；
(2)求三棱锥P−BDE的体积．
17.(本小题15分)
某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
(2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率．
18.(本小题17分)
在①asinB=bsin(A−π3)；②(a+b)(sinA−sinB)=(b+c)sinC；③ 3bsinB+C2=asinB三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____．
(1)求角A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且b+c=6，求sinBsinC的值．
19.(本小题17分)
如图，正四棱锥S−ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
(Ⅰ)求证：AC⊥SD；
(Ⅱ)求二面角P−AC−D的大小；
(Ⅲ)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．
若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.AC
11.ACD
12.109.5
13.π3
14.−43
15.解：(1)已知|a|=2,|b|=6，且a与b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=2×6×12=6；
(2)设向量a−b与b的夹角为θ，
因为|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 4−2×2×6×12+36=2 7，
又(a−b)⋅b=a⋅b−b2=2×6×12−36=−30，
所以csθ=(a−b)⋅b|a−b||b|=−302 7×6=−5 714，
故向量a−b与b的夹角的余弦值为−5 714．
16.解：(1)证明：连接AC∩BD=F，连接EF，
∵底面ABCD是平行四边形，∴F为AC的中点，又E为PC的中点，
∴PA/​/EF，又PA⊄平面BDE，且EF⊂平面BDE，
∴PA/​/平面BDE；
(2)∵PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PC的中点，
又PD=AD=BD=2，∠ADB=90°，
∴三棱锥P−BDE的体积为VP−BDE=VC−BDE=VE−BCD=12VP−BCD=12×13×12×2×2×2=23．
17.解：(1)成绩落在[70,80)的频率为：
1−(0.3+0.15+0.10+0.05)=0.40，
补全频率分布图如下：

∴这800名学生的平均成绩为：
55×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分)；
(2)抽取的40名学生在，成绩在[80,90)内的有800×0.1×40800=4(人)，记为a，b，c，d，
成绩在[90,100]内有800×0.05×40800=2(人)，记为e，f，
从这6人中任选2人，不同的取法有15种，分别为：
(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，
设事件A表示“至少有1名学生成绩不低于90分”，
则事件A包含的基本事件有9个，分别为：
(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，
∴至少有1名学生成绩不低于90分的概率P(A)=915=35．
18.解：(1)若选①，因为asinB=bsin(A−π3)，所以sinAsinB=sinBsin(A−π3)，
因为sinB≠0，所以sinA=sin(A−π3)，
所以A=A−π3，(舍去)或A+A−π3=π，
可得A=2π3．
若选②，因为(a+b)(sinA−sinB)=(b+c)sinC，
所以(a+b)(a−b)=(b+c)c，整理可得b2+c2−a2=−bc，
可得csA=b2+c2−a22bc=−12，
又A∈(0,π)，
所以A=2π3．
若选③，因为 3bsinB+C2=asinB，可得 3sinBsinB+C2=sinAsinB，
因为sinB≠0，可得 3sinB+C2=sinA，即 3csA2=2sinA2csA2，
因为csA2≠0，可得sinA2= 32，
又A∈(0,π)，
所以A=2π3．
(2)由S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得 34(b+c)= 34bc，可得bc=b+c=6，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−bc=36−6=30，解得a= 30，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=2 10，可得sinBsinC=bc4R2=640=320，所以sinBsinC的值为320．
19.解：
(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于O，连接SO；
∵四棱锥S−ABCD是正四棱锥，且底面是正方形；
∴OB，OC，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系；
设OB=1，由已知可得：A(0,−1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(−1,0,0)，S(0,0, 3)，P(−34,0, 34)；
∴AC⋅SD=(0,2,0)⋅(−1,0,− 3)=0；
∴AC⊥SD；
∴AC⊥SD；
(Ⅱ)SO⊥底面ABCD；
∴OS=(0,0, 3)为平面DAC的一条法向量；
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则：n⊥AP,n⊥AC；
∴n⋅AP=−34x+y+ 34z=0n⋅AC=2y=0；
∴z= 3xy=0，取x=1，则n=(1,0, 3)；
设二面角P−AC−D的大小为θ，则：
csθ=cs= 3⋅ 32⋅ 3= 32；
∴θ=π6；
即二面角P−AC−D的大小为π6；
(Ⅲ)假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE//平面PAC，则：
BE和平面PAC的法向量n垂直；
E在棱SC上，∴设E(0,1− 33z0,z0)；
∴BE⋅n=(−1,1− 33z0,z0)⋅(1,0, 3)=−1+ 3z0=0；
∴z0= 33；
∴存在点E(0,23, 33)使BE//平面PAC；
此时，SEEC= 49+129 19+39=2．