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2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−33nC. −14m>−14nD. n−m>0
3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2+x−6=(x+3)(x−2)B. 2(2x−3y)=4x−6y
C. (x+3)2=x2+6x+9D. ax+bx+c=x(a+b)+c
4.已知代数式x+21−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−2B. x≠2C. x≠−1D. x≠1
5.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. OB=ODB. AB=CDC. AC=BDD. AD=BC
6.以下说法错误的是( )
A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B. 六边形内角和为1080°
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
7.关于x的方程kx+1=2有增根，则k的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0,3)，D(1,0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为( )
A. ( 10,3)B. (−3,3)C. (3,3)D. ( 10−1,3)
9.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 3(x−1)=6210xB. 6210x−1=3C. 3x−1=6210xD. 6210x=3
10.如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB=6，AC=3，则DF长为( )
A. 2.5
B. 2
C. 1.5
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：ab2−ab= ______．
12.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为______．
13.如图，直线y=kx+b(k≠0)与y=−x相交于点P，其纵坐标为3，则关于x的不等式kx+b<−x的解集是______．
14.如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D，当∠DBC=30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为______cm．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AD=4，DC=8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解不等式组：2x−3≤x−13x−12≤2x+13．
17.(本小题7分)
先化简，后求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x2−4，其中x=1．
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标分别为A(−1,0)，B(−2,−2)，C(−4,−1)，请在图中按要求画图并解答下列问题：
(1)将△ABC先向上平移5个单位长，再向右平移3个单位长，得到△A1B1C1(A,B,C的对应点分别为A1，B1，C1)，画出△A1B1C1(要求在图上标好三角形顶点字母)；
(2)直接写出C1的坐标______；
(3)若将△ABC绕点M顺时针旋转90°后，点A，B，C的对应点分别为A2(5,0)，B2(3,1)，C2(4,3)，则旋转中心M的坐标为______．
19.(本小题8分)
某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书.其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．
(1)求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？
(2)若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE=EF，AF//BC．
(1)求证：四边形ADCF为平行四边形；
(2)若DA=DC=3，AC=4，求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
22.(本小题10分)
综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”(注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角).如图1，将等边△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△ADE，则线段BC与线段DE的夹角∠BMD=15°.如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，则线段BC与线段DE所在直线的夹角∠BMD=80°．
【特例分析】
(1)如图1，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹
角度数为______度.
【类比分析】
(2)如图3，已知△ABC是等边三角形，分别在边AB和AC上截取AD和AE，使得AD=AE，连接DE.如图4，将△ADE绕点A逆时针旋转θ(0°≤θ≤180°)，连接CE，当BC和DE所在直线互相垂直时，线段AE，AC，CE之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
(3)在(2)的条件下，如图3，若AB=4，AD=AE=2 3，将△ADE绕点A逆时针旋转θ(0°≤θ≤360°).当BC和DE所在直线互相垂直时，请直接写出此时CD的长．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.A
10.C
11.ab(b−1)
12.12
13.x<−3
14.32 3
15.4 73
16.解：2x−3≤x−1①3x−12≤2x+13②，
由不等式①得x≤2，
由不等式②得x≤1，
所以不等式组的解集为x≤1．
17.解：原式=(x−2x−2−1x−2)÷(x−3)2(x+2)(x−2)
=x−3x−2⋅(x+2)(x−2)(x−3)2
=x+2x−3，
当x=1时，原式=1+21−3=−32．
18.(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)(−1,4)．
(3)(2,−3)．
19.解：(1)设去年文学书单价为x元，则科技书单价为(x+4)元，根据题意得：
1800x+4=1200x，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解，当x=8时x+4=12，
答：去年文学书单价为8元，则科技书单价为12元；
(2)设这所学校今年购买y本文学书，
根据题意得：10×y+12(280−y)≤3000，
y≥180，
∴y最小值是180；
答：该校今年至少要购买180本文学书．
20.(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
又∵FE=BE，∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=DB，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
(2)解：∵DA=DC=3，DB=DC，
∴DA=DC=DB=12BC，BC=6，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB= BC2−AC2= 62−42=2 5，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×2 5×4=4 5．
【答案】(1)420；
(2)根据题意得：45n+30=60(n−2)，
解得：n=10，
∴60(n−2)=60×(10−2)=480．
答：参加此次活动的八年级师生共有480人；
(3)设租用y辆45座客车，则租用420+480−45y60=(15−34y)辆60座客车，
根据题意得：y≤2515−34y≤14250y+300(15−34y)≤4800，
解得：43≤y≤12，
又∵y，(15−34y)均为自然数，
∴y可以为4，8，12，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车；
方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车；
方案3：租用12辆45座客车，6辆60座客车．
22.(1)30，70；
(2)如图2，
AE2+AC2=CE2，理由如下：
由(1)知，
∠ADM+∠ABM=180°，
∴∠DAB+∠DMB=180°，
∵DM⊥BC，
∴∠DMB=90°，
∴∠DAB=90°，
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴AE2+AC2=CE2；
(3)如图3−1，
由(2)知，
∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠AFD=90°，
∴DF=12AD= 3，AF= 32AD=3，
∴CF=AF+AC=7，
∴CD= DF2+CF2= ( 3)2+72=2 13，
如图3−2，
由上可知，
AF=3，DF= 3，
∴CF=AC−AF=1，
∴CD= DF2+CF2= ( 3)2+12=2，
综上所述：CD=2 13或2．
生活中的数学
某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案.经学生会调查，得到以下信息．
信息1
某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用
45座客车
60座客车
载客量(人/辆)
45
60
租金(元/辆)
250
300
信息2
七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3
八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
任务2
(2)求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3
(3)学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
1.如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−3
3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2+x−6=(x+3)(x−2)B. 2(2x−3y)=4x−6y
C. (x+3)2=x2+6x+9D. ax+bx+c=x(a+b)+c
4.已知代数式x+21−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−2B. x≠2C. x≠−1D. x≠1
5.如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. OB=ODB. AB=CDC. AC=BDD. AD=BC
6.以下说法错误的是( )
A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B. 六边形内角和为1080°
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于60°
7.关于x的方程kx+1=2有增根，则k的值为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0,3)，D(1,0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为( )
A. ( 10,3)B. (−3,3)C. (3,3)D. ( 10−1,3)
9.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 3(x−1)=6210xB. 6210x−1=3C. 3x−1=6210xD. 6210x=3
10.如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB=6，AC=3，则DF长为( )
A. 2.5
B. 2
C. 1.5
D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：ab2−ab= ______．
12.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为______．
13.如图，直线y=kx+b(k≠0)与y=−x相交于点P，其纵坐标为3，则关于x的不等式kx+b<−x的解集是______．
14.如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D，当∠DBC=30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为______cm．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AD=4，DC=8，点E为BC的中点，将平行四边形ABCD沿折痕MN翻折，使点D落在点E处，则线段MN的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解不等式组：2x−3≤x−13x−12≤2x+13．
17.(本小题7分)
先化简，后求值：(1−1x−2)÷x2−6x+9x2−4，其中x=1．
18.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标分别为A(−1,0)，B(−2,−2)，C(−4,−1)，请在图中按要求画图并解答下列问题：
(1)将△ABC先向上平移5个单位长，再向右平移3个单位长，得到△A1B1C1(A,B,C的对应点分别为A1，B1，C1)，画出△A1B1C1(要求在图上标好三角形顶点字母)；
(2)直接写出C1的坐标______；
(3)若将△ABC绕点M顺时针旋转90°后，点A，B，C的对应点分别为A2(5,0)，B2(3,1)，C2(4,3)，则旋转中心M的坐标为______．
19.(本小题8分)
某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书.其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．
(1)求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？
(2)若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE=EF，AF//BC．
(1)求证：四边形ADCF为平行四边形；
(2)若DA=DC=3，AC=4，求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
22.(本小题10分)
综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”(注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角).如图1，将等边△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△ADE，则线段BC与线段DE的夹角∠BMD=15°.如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，则线段BC与线段DE所在直线的夹角∠BMD=80°．
【特例分析】
(1)如图1，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，线段BC与线段DE所在直线的夹
角度数为______度.
【类比分析】
(2)如图3，已知△ABC是等边三角形，分别在边AB和AC上截取AD和AE，使得AD=AE，连接DE.如图4，将△ADE绕点A逆时针旋转θ(0°≤θ≤180°)，连接CE，当BC和DE所在直线互相垂直时，线段AE，AC，CE之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
(3)在(2)的条件下，如图3，若AB=4，AD=AE=2 3，将△ADE绕点A逆时针旋转θ(0°≤θ≤360°).当BC和DE所在直线互相垂直时，请直接写出此时CD的长．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.A
10.C
11.ab(b−1)
12.12
13.x<−3
14.32 3
15.4 73
16.解：2x−3≤x−1①3x−12≤2x+13②，
由不等式①得x≤2，
由不等式②得x≤1，
所以不等式组的解集为x≤1．
17.解：原式=(x−2x−2−1x−2)÷(x−3)2(x+2)(x−2)
=x−3x−2⋅(x+2)(x−2)(x−3)2
=x+2x−3，
当x=1时，原式=1+21−3=−32．
18.(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)(−1,4)．
(3)(2,−3)．
19.解：(1)设去年文学书单价为x元，则科技书单价为(x+4)元，根据题意得：
1800x+4=1200x，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解，当x=8时x+4=12，
答：去年文学书单价为8元，则科技书单价为12元；
(2)设这所学校今年购买y本文学书，
根据题意得：10×y+12(280−y)≤3000，
y≥180，
∴y最小值是180；
答：该校今年至少要购买180本文学书．
20.(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
又∵FE=BE，∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=DB，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
(2)解：∵DA=DC=3，DB=DC，
∴DA=DC=DB=12BC，BC=6，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB= BC2−AC2= 62−42=2 5，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×2 5×4=4 5．
【答案】(1)420；
(2)根据题意得：45n+30=60(n−2)，
解得：n=10，
∴60(n−2)=60×(10−2)=480．
答：参加此次活动的八年级师生共有480人；
(3)设租用y辆45座客车，则租用420+480−45y60=(15−34y)辆60座客车，
根据题意得：y≤2515−34y≤14250y+300(15−34y)≤4800，
解得：43≤y≤12，
又∵y，(15−34y)均为自然数，
∴y可以为4，8，12，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用4辆45座客车，12辆60座客车；
方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车；
方案3：租用12辆45座客车，6辆60座客车．
22.(1)30，70；
(2)如图2，
AE2+AC2=CE2，理由如下：
由(1)知，
∠ADM+∠ABM=180°，
∴∠DAB+∠DMB=180°，
∵DM⊥BC，
∴∠DMB=90°，
∴∠DAB=90°，
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴AE2+AC2=CE2；
(3)如图3−1，
由(2)知，
∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠AFD=90°，
∴DF=12AD= 3，AF= 32AD=3，
∴CF=AF+AC=7，
∴CD= DF2+CF2= ( 3)2+72=2 13，
如图3−2，
由上可知，
AF=3，DF= 3，
∴CF=AC−AF=1，
∴CD= DF2+CF2= ( 3)2+12=2，
综上所述：CD=2 13或2．
生活中的数学
某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案.经学生会调查，得到以下信息．
信息1
某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用
45座客车
60座客车
载客量(人/辆)
45
60
租金(元/辆)
250
300
信息2
七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配．
信息3
八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满．
任务1
(1)参加此次活动的七年级师生共有______人；
任务2
(2)求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3
(3)学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案？请直接写出具体的租车方案．
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