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2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最值-专项训练【含解析】
展开这是一份2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最值-专项训练【含解析】，共8页。试卷主要包含了满足函数f＝ln在等内容，欢迎下载使用。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为( )
A．(－∞，0]B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．[1，＋∞)
3．设函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x>0)，则f(x)( )
A．有最大值B．有最小值
C．是增函数D．是减函数
4．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))D．(1，＋∞)
5．满足函数f(x)＝ln(mx＋3)在(－∞，1]上单调递减的充要条件是( )
A．－4
A．y＝eq \f(1,|fx|)在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－eq \f(1,fx)在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
7．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1)B．(－3，－1)
C．(0,1)D．(1,3)
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2xx≥0，,x2＋2xx<0))在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为________．
9．若函数f(x)＝a＋lg2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝________．
10．探究函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：
观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：
(1)求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)(x>0)的递减区间及递增区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．
．
11．已知函数f(x)＝x＋sin x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(lg26)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．(－1,2)B．[－1,2)
C．(－∞，－1]D．{－1}
13．写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝________．
14．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
15．(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是( )
A．函数y＝x2＋1是闭函数
B．函数y＝－x3是闭函数
C．函数f(x)＝eq \f(x,x＋1)是闭函数
D．k＝－2时函数y＝k＋eq \r(x＋2)是闭函数
16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p，p≤q，,q，p>q.))
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最值-专项训练【解析版】
1．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：C 当x1
A．(－∞，0]B．[0，＋∞)
C．(－∞，1]D．[1，＋∞)
解析：B 函数f(x)＝x2＋(k－2)x的对称轴为x＝－eq \f(k－2,2)，且开口向上，因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以－eq \f(k－2,2)≤1，解得k≥0．故选B．
3．设函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x>0)，则f(x)( )
A．有最大值B．有最小值
C．是增函数D．是减函数
解析：B ∵x>0，∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2≥2－2＝0，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，∴f(x)有最小值，又由对勾函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性．故选B．
4．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))D．(1，＋∞)
解析：A 由题意，函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，因为f(x－1)
A．－4
A．y＝eq \f(1,|fx|)在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－eq \f(1,fx)在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
解析：ABC 对于A，若f(x)＝x，则y＝eq \f(1,|fx|)＝eq \f(1,|x|)，在R上不是减函数，错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；
对于C，若f(x)＝x，则y＝－eq \f(1,fx)＝－eq \f(1,x)，在R上不是增函数，错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1
7．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1)B．(－3，－1)
C．(0,1)D．(1,3)
解析：BC 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3
解析：由分段函数解析式知：f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1
9．若函数f(x)＝a＋lg2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝________．
解析：由题意，函数y＝lg2x在(0，＋∞)上为单调递增函数，又a>1，且x∈[1，a]，所以当x＝a时，函数f(x)取得最大值，即a＋lg2a＝6，因为4＋lg24＝6，所以a＝4．
答案：4
10．探究函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：
观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：
(1)求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)(x>0)的递减区间及递增区间；
(2)若对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)由表中y值随x值的变化情况可得函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)(x>0)的递减区间是(0,2)，递增区间是(2，＋∞)．
(2)由表中y值随x值的变化情况可得当x∈[1,3]时，f(x)min＝f(2)＝4，
所以要使对任意的x∈[1,3]，f(x)≥m＋1恒成立，只需f(x)min＝f(2)＝4≥m＋1，
解得m≤3，故m的取值范围为(－∞，3]．
11．已知函数f(x)＝x＋sin x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(lg26)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．(－1,2)B．[－1,2)
C．(－∞，－1]D．{－1}
解析：B 因为函数y＝lg2x，x≥1在[1，＋∞)上为增函数，故y≥0，则y＝(2－a)x＋3a，x<1需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a>0，,2－a×1＋3a≥0，))解得－1≤a<2．
13．写出一个值域为(－∞，1)，在区间(－∞，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝________．
解析：f(x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，理由如下：∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x为R上的减函数，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>0，∴f(x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x为R上的增函数，且f(x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，∴f(x)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x∈(－∞，1)．
答案：1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(答案不唯一)
14．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
15．(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是( )
A．函数y＝x2＋1是闭函数
B．函数y＝－x3是闭函数
C．函数f(x)＝eq \f(x,x＋1)是闭函数
D．k＝－2时函数y＝k＋eq \r(x＋2)是闭函数
解析：BD 对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，所以错误；
对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a3，,a＝－b3，,b>a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以存在区间[－1,1]，使得y＝－x3在[－1,1]上的值域为[－1,1]，所以函数y＝－x3是闭函数，所以正确；
对于C，y＝eq \f(x,x＋1)＝1－eq \f(1,x＋1)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)＝eq \f(x,x＋1)不是闭函数，所以错误；
对于D，y＝－2＋eq \r(x＋2)的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋eq \r(x＋2)是闭函数，则存在区间[a，b]，使函数的值域为[a，b]，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2＋\r(a＋2)，,b＝－2＋\r(b＋2)，))所以a，b是方程x＝－2＋eq \r(x＋2)的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋eq \r(x＋2)的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋eq \r(x＋2)是闭函数，所以D正确，故选B、D．
16．已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p，p≤q，,q，p>q.))
(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；
(2)①求F(x)的最小值m(a)；
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．
解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)>0，不合题意；
当x>1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．
由(x－2)(x－2a)≤0得2≤x≤2a．
所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2a]．
(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，
由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即m(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，3≤a≤2＋\r(2)，,－a2＋4a－2，a>2＋\r(2).))
②当0≤x≤2时，
F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)，
当2≤x≤6时，
F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2,34－8a}＝max{F(2)，F(6)}．
所以M(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(34－8a，3≤a<4，,2，a≥4.))
x
…
0．5
1
1．5
1．7
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2
y
…
8．5
5
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2．2
2．3
3
4
7
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4．3
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7．57
…
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1．5
1．7
1．9
2
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…
8．5
5
4．17
4．05
4．005
4
x
2．1
2．2
2．3
3
4
7
…
y
4．005
4．02
4．04
4．3
5
7．57
…
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