重庆市重点中学2023-2024学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市重点中学2023-2024学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线l经过原点和点,则l的斜率是( )
A.0B.C.1D.不存在
2．在平行四边形ABCD中,,,,则点D的坐标为( )
A.B.C.D.
3．如果,,那么直线不经过的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．已知直线经过定点P,直线经过点P,且的方向向量,则直线的方程为( )
A.B.C.D.
5．如图,空间四边形中,,,.点M在OA上,且,为BC的中点,则( )
A.B.C.D.
6．已知点,,若过点的直线与线段AB相交,则该直线的斜率的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．设直线l的方程则直线的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为( )
A.B.C.2D.4
二、多项选择题
9．已知是直线的一个方向向量,是直线的一个方向向量,则下列说法不正确的是( )
A.B.C.D.直线,夹角的余弦值为
10．下列说法正确的是( )
A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点且在轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．已知空间中三点,,,则( )
A.向量与互相垂直
B.与方向相反的单位向量的坐标是
C.与夹角的余弦值是
D.在上的投影向量的模为
12．在如图所示的三棱锥中,,OA,OB,OC两两互相垂直,下列结论正确的为( )
A.直线AB与平面OBC所成的角为
B.二面角的正切值为
C.到面ABC的距离为
D.作平面ABC,垂足为M,则M为的重心
三、填空题
13．已知向量,,则与的数量积为______.
14．若直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则直线在轴上的截距为__________,__________.
15．若直线与直线平行,则__________.
16．如图,平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长均为2,且它们彼此的夹角都是,则AC与所成角的余弦值___________.
四、解答题
17．已知三角形ABC的顶点坐标为,,,M是BC边上的中点.
（1）求AB边所在的直线方程;
（2）求中线AM的方程.
18．已知:,,,,,求:
（1）,,;
（2）
19．已知直线l过点.
（1）若直线l与直线垂直,求直线l的方程;
（2）若直线l与两坐标轴上围成的三角形面积为,求直线l的方程.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD,,,,.
（1）求异面直线AE与CD所成角的余弦值;
（2）求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值.
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,三角形PAB为正三角形,且侧面底面AB,CD.EM分别为线段AB,PD的中点.
（1）求证:平面ACM;
（2）在棱CD上是否存在点G,使平面平面ABCD,请说明理由.
22．如图，菱形ABCD的边长为4，，E为AB的中点.将沿DE折起，使点A到达点的位置，连接，，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线l经过原点和点,所以l的斜率.
故选:B
2．答案：D
解析：设,因为,,,
所以,,
又ABCD是平行四边形,所以,即,解得,
所以.
故选:D
3．答案：B
解析：斜率为,截距,故不过第二象限.
4．答案：A
解析：可变形为,
解得,即P点坐标为.
因为,所以直线的斜率为,又过点,
代入点斜式方程可得,整理可得.
故选:A.
5．答案：C
解析：,,为BC的中点,,
.
故选:C.
6．答案：B
解析：过点C的直线与线段AB相交,,,
又该直线与轴垂直时,斜率不存在,
所以该直线的斜率的取值范围为.
故选:B.
7．答案：D
解析：当时,直线,则其倾斜角;
当时,直线,
则其斜率,即,
又,;
综上所述:直线的倾斜角的取值范围为.
故选:D.
8．答案：B
解析：设平面ABC的法向量为，则所以
令，则，，所以是平面ABC的一个法向量.所以点到平面ABC的距离，故该三棱柱的高为.故选B.
9．答案：ABC
解析：因为向量是直线的一个方向向量,是直线的一个方向向量,
由,所以A不正确;
设,可得,此时,此时方程组无解,所以B不正确;
由,所以与不垂直,所以C不正确;
由,可得,所以D正确.
故选:ABC.
10．答案：AC
解析：对于A,任意一条直线都有倾斜角,当直线的倾斜角为时,直线的斜率不存在,故A正确,
对于B,直线的倾斜角为,时,显然不满足直线的倾斜角越大,斜率越大,故B错误,
对于C,直线,令,,令,,
故与两坐标轴围成的三角形的面积是,故C正确,
对于D,当直线在轴和y轴上截距为0时,所求直线方程为,
当直线在轴和y轴上截距不为0时,所求直线方程为,
综上所述,所求直线的方程为或,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABC
解析：由已知可得,,.因为,所以与互相垂直,故A正确;,
所以与方向相反的单位向量的坐标是,故B正确;,,,所以,故C正确;在上的投影向量的模为,故D错误.
故选:ABC
12．答案：BD
解析：因为OA,OB,OC两两互相垂直,,平面OBC,
故为直线AB与平面OBC所成的角,又,所以,
故直线AB与平面OBC所成的角为,故A错误;
取BC中点为D,连接OD,AD,
因为,,,两两互相垂直,所以,,,
因为,所以平面AOD,故为二面角的平面角,
则,故二面角的正切值为,故B项正确;
因为,所以,设O到面ABC的距离为h,
则,解得,故C项错误;
因为,故为等边三角形,
因为平面ABC,则M点为O点在平面ABC上的投影,又,
即O点到顶点A,B,C的距离相等,即M点到顶点A,B,C的距离相等,
故M为的重心,故D项正确.
故选:BD.
13．答案：0
解析：.
故答案为:0.
14．答案：①.,②.
解析：令,得,则直线在轴上的截距为.依题意可得,则.
故答案为:,.
15．答案：
解析：由题意得,解得.
故答案为:
16．答案：
解析：因为,
所以,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
所以,
设与所成的角为,
所以.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）法一:由两点式写方程得,即;
法二:直线AB的斜率为,
直线AB的方程为,即;
（2）设M的坐标为,则由中点坐标公式可得
,,故,
所以
所以,直线AM方程为.
18．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因为,所以设,即,
故,解得,
,,
,
,解得,
;
（2）,,
.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设直线l的方程为
过点,
,的方程:;
（2）设直线l的方程为,
横截距为,纵截距为,
,
或,
方程为或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为底面ABCD,BA,底面ABCD,
所以,,
且,,所以,
以B为坐标原点,分别以,,为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,
所以,
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
（2）,设平面CDE的法向量为,
则,即,
令,得.
易知是平面ABE的一个法向量,
因为,
所以平面CDE与平面ABE夹角的余弦值为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）存在,理由见解析
解析：（1）连接BD交AC于H点,连接MH,
因为四边形ABCD是菱形,
所以点为的中点.
又因为为的中点,
所以.
又因为平面ACM,平面ACM,
所以平面ACM.
（2）在棱CD上存在点G,G为CD的中点时,平面平面ABCD.
证明:连接EC.
因为为正三角形,E为AB的中点,
所以,
又因为平面平面ABCD,平面平面平面PAB.
所以平面ABCD,又平面ABCD,
所以,
因为ABCD是菱形,,为AB的中点,
所以是正三角形,,
因为,
所以,
因为,平面PEC,平面PEC,
所以平面PEC,又平面PEC,
所以.
因为M,G分别为PD,CD的中点,
所以,
所以,
因为ABCD是菱形,,
所以是正三角形.
又因为G为CD的中点,
所以,
因为,平面MAG,平面MAG,
所以平面MAG,
因为平面ABCD,
所以平面平面ABCD.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在菱形ABCD中，E为AB的中点，，
是等边三角形，，
在翻折过程中，恒有，，
又，平面，平面，
又平面，.
（2）由题意及（1）得，为二面角的平面角，记其为，则，
以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，.
设平面的法向量为，
则，即
令，得，又
则，
令，，得，
，
当且仅当时，等号成立.
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.