2023-2024学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市鄞州第二实验中学八年级（下）期末数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数a，b，c满足a−b+c=0，则( )
A. b2−4ac>0B. b2−4ac<0C. b2−4ac≥0D. b2−4ac≤0
2.将a −1a根号外的因式移到根号内，得( )
A. −aB. − −aC. − aD. a
3.如图，直线y=kx+b与双曲线y=k2x交于A(2,m)，B(4,n)两点，则不等式k1xA. 2B. −4C. x<−4或x>−2
D. −40
4.若当−4≤x≤2时，二次函数y=12x2−mx+1(m>0)的最小值为0，则m=( )
A. −94B. 2C. 32D. 2或32
5.如图，△ABC中，∠A=90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，IH⊥AB于H，下列结论：①∠DIF=45°；②CF+BE=BC；③AE+AF=2AH；④S四边形△BEDC=2S△IBC，其中正确结论的个数为( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.在四边形ABCD中，AD//BC，连结对角线AC，AC⊥AB，点E为边AB上一点，连结CE，CE平分∠ACB，AC与DE交于点F，若点F恰为DE中点，且AD=5，CD=7，则DE=( )
A. 74
B. 97
C. 11
D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
7.若 9−n是整数，则满足条件的正整数n共有______个.
8.无论m为何实数，二次函数y=x2+(m−1)x+m的图象总是过定点______．
9.如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为______．
10.如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n=0和方程x2+4nx+m=0都有实数解，那么m+n的最小值是______．
11.将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B落在点E处，BF⊥CE，BF与AC交于点G，若AG=3，FG=1，则AB= ______．
12.“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件40元，售价每件110元，每天可以销售20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用a元(a>0).未来30天，这款产品将开展“每天降价1元”的大促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现：该产品单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，则a的取值范围应为______．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
13.小青在本学期的数学成绩如下表所示(成绩均取整数)：
(1)计算小青本学期的平时平均成绩；
(2)如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知关于x的方程xx+1+x+1x=4x+ax(x+1)只有一个实数根，求实数a的值．
15.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若∠EAF=90°，∠BDC=2∠BCE．
①求证：EF=AB；
②若BD平分∠ADC，AE=2，求BD．
16.(本小题12分)
对于平面直角坐标系xOy中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图1中，若∠PQR=∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR=∠PRQ．
(1)如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为(1,4)、(−3,0)，求直线PR的解析式；
(2)如图2，直线y=14x与双曲线y=1x交于点A、B，点C是双曲线y=1x上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n(0①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连结EF，当∠EFD=∠DCA时，求出线段DF+EF的值(用含n的代数式表示)．
17.(本小题12分)
如图1，已知抛物线C：y=14x2，点F(0,1)，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，过点F且与l垂直的直线交抛物线C于D，E两点，其中B、D在y轴右侧，M，N分别为AB，DE的中点．
(1)证明：直线MN过定点．
(2)如图2，设G为直线AE与直线BD的交点，连结GM、GN，
①证明：S△GMN=14S四边形AEBD；②求△GMN面积的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.B
5.D
6.B
7.3
8.(−1,2)
9.3
10.5
11.1+ 192
12.013.解：(1)小青该学期的平时平均成绩为：(88+70+96+86)÷4=85；
(2)按照如图所示的权重，小青该学期的总评成绩为：85×10%+85×30%+60%x，
依题意得：85×10%+85×30%+60%x≥90
解得：x≥93.33．
∴小青期末考试成绩至少需要94分．
14.解：去分母得整式方程，2x2−2x+1−a=0，△=4(2a−1)，
(1)当△=0，即a=12时，显然x=12是原方程的解，
(2)当△>0，即a>12时，x1=12(1+ 2a−1)，x2=12(1− 2a−1)，
显然x1>0，∴x1≠−1，x1≠0，它是原方程的解，
∴只需x2=0或−1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当x2=0时，即12(1− 2a−1)=0，得：a=1；
当x2=−1时，即12(1− 2a−1)=−1，得：a=5，
综上，当a=12，1，5时原方程只有一个实数根．
15.(1)证明：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OA=OC，OB=OD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；
(2)①证明：∵∠EAF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠AEC=∠ECF=90°，AC=EF，
设∠BCE=x°，∠DCF=y°，
则∠BDC=2x°，∠BFC=2x°+y°，
∴∠ACF=∠BFC=2x°+y°，∠FEC=90°−∠EFC=90°−2x°−y°，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°−∠ACF+∠BCE=90°−2x°−y°+x°=90°−x°−y°，
∠EBC=∠FEC−∠BCE=90°−2x°−y°−x°=90°−3x°−y°，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF=2x°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°−x°−y°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC=EF，
∴AB=EF．
②解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=EC，
∵∠AEC=90°，
∴AC= 2AE=2 2，
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，∠ABC=60°，
∴AB=AD=2 2，∠BAD=120°，
∴BD= 3AB=2 6．
16.(1)解：过点P作PA⊥x轴于点A，
∵P(1,4)，PA⊥x轴，
∴AP=4，OA=1，QA=3+1=4，
在Rt△PQA中，PQ=4 2，
∴∠PQR=∠PRQ，
∴△PQR是等腰三角形，
∴AQ=AR=4，
∴OR=OA+AR=5，
∴R(5,0)，
设直线PR的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
把P(1,4)，R(0,5)分别代入得k+b=45k+b=0，
解得k=−1b=5，
∴直线PR的解析式为：y=−x+5．
(2)①证明：把y=14x代入y=1x得，14x=1x，
∴x=2或x=−2．
经检验，x=2或x=−2都是原方程的根，
当x=2时，y=12，
当x=−2时，y=−12，
∴A(2,12)，B(−2,−12)，
∵点C在y=1x上，点C的横坐标为n，
∴y=1n．
设直线AC的解析式为：y=k′x+b′，把A(2,12)，C(n,1n)分别代入得，
2k′+b′=12nk′+b′=1n,
解得k′=−12nb′=12+1n．
∴直线AC的解析式为：y=−12nx+12+1n，
令y=0，则−12nx+12+1n=0，
∴x=n+2，
∴E(n+2,0)，
∴CE= 4+1n2，
设直线BC的解析式为：y=k′′x+b′′，把B(−2,−12)和C(n,1n)分别代入得，
−2k′′+b′′=−12nk′′+b′′=1n,
解得k′′=12nb′′=−12+1n．
∴直线BC的解析式为：y=12nx−12+1n．
令y=0，则12nx−12+1n=0，
解得x=n−2．
∴D(n−2,0)．
∴CD= 4+1n2，
∴直线AC和直线BC为“等腰三角线”．
②解：过点C作CG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥CE于点H，
由①可知，CD=CE= 4+1n2，
∵C(n,1n)，
∴CG=1n，
∵DE=|n−2−(n+2)|=4，
∴S△CDE=12CE⋅DH=12ED⋅CG，
∴ 4+1n2⋅DH=4⋅1n，
∴DH=4n 4+1n2，
∵∠EFD=∠DCA，
∴sin∠EFD=sin∠DCA，
∵sin∠EFD=DEEF=4EF，sin∠DCA=DHCD=4n 4+1n2 4+1n2=4n4n2+1，
∴4EF=4n4n2+1，
∴EF=4n+1n，
在Rt△DEF中，DF= EF2−DE2= (4n+1n)2−42=1n 16n4−8n2+1=1n|4n2−1|．
∵∠DFE<90°，
∴∠DCG=12∠DCA=12∠DFE<45°，
∴CG>GE，即1n>2，
∴0∴DF=1n−4n
∴DF+EF=1n−4n+4n+1n=2n．
17.(1)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x3,y3)，D(x4,y4)，且M，N分别为AB，DE的中点，
则M(x1+x22,y1+y22)，N(x3+x42,y3+y42)，
∵F(0,1)，
设直线AB的解析式为y=kx+1，
根据题意得y=kx+1y=14x2，
整理得x2−4kx−4=0，
∴x1+x2=4k，x1⋅x2=−4，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
∴M(2k,2k2+1)；
∵F(0,1)，AB⊥DE，
∴kDE=−1k，
设直线DE的解析式为y=−1kx+1，
根据题意得y=−1kx+1y=14x2，
整理得x2+4kx−4=0，
∴x3+x4=−4k，x3⋅x4=−4，
∴y3+y4=−1k(x3+x4)+2=4k2+2，
∴N(−2k,2k2+1)，
设直线MN的解析式为y=px+q，
根据题意得−2kp+q=2k2+12kp+q=2k2+1，
解得p=k−1kq=3，
∴直线MN解析式为y=(k−1k)x+3，
当x=0，y=3，
故直线MN过定点(0,3)．
(2)①解：取AD中点为H，连接HM，DM，GH，AN，记GM交AD于点K，GN交AD于点J，如图，

∵点M为AB中点，
∴MH//BD，
∴S△GDH=S△DGM，
∴S△KGH=S△KDM，
同理可得S△GOH=S△AAN，
∴S△GMN=S四边形ANMD，
∵DE⊥AB，
∴S△GMN=S四边形ANMD=12AM⋅(FN+FD)=12AM⋅DN，
同理可得S四边形AEBD=12AB⋅DE，
∵M，N分别为AB，DE的中点，
∴S四边形AEBD=12AB⋅DE=12×2×AM×2×DN=2AM⋅DN，
∴S△GMN=14S四边形AEBD；
②证明：AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2，
∴AB= (x1−x2)2+(kx1+1−kx2−1)2= k2+1⋅|x1−x2|，
∴AB= k2+1⋅ (x1+x2)2−4x1⋅x2= k2+1⋅ 16k2+16=4(k2+1)，
同理可得DE=4(1k2+1)，
∵S△GMN=14S四边形AEBD，
∴S△GMN=18AB×DE=18×4(k2+1)×4(1k2+1)=2(k2+1k2+2)，
∴(a−b)2≥0，即a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时等号成立，
∴S△GMN=2(k2+1k2+2)≥2(2k×1k+2)=8，
当且仅当k=1或k=−1时，等号成立，
∴△GMN面积的最小值为8．
测验
类别
平时
期中
考试
期末
考试
测验1
测验2
测验3
课题
练习
成绩
88
70
96
86
X