2024年福建省漳州市中考二模数学试题

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(满分: 150分; 考试时间: 120分钟)
友情提示：请把所有答案填写 (涂)到答题纸上！请不要错位、越界答题！！
注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效.
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列四个实数中，为无理数的是
A. 2 B. 1 C. 13 D. -2
2. 如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图是
3. 第33 届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会部分项目的图标中，为轴对称图形的是
4. 若 3³⋅3ᵏ=3⁷,则k的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. a > - 2 B.b<5 C. b > a D. a <-b
6.某中学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取 200名学生进行问卷调查(每位学生仅选一种)，并将调查结果绘制成如下的扇形统计图.下列说法错误的是
A.最喜欢篮球的学生人数为30人
B.最喜欢足球的学生人数最多
C. “乒乓球”对应扇形的圆心角为72°
D.最喜欢排球的人数占被调查人数的10%
7. 如图, ⊙O是四边形ABCD的外接圆, 连接OB, OD, 若∠BCD = 110°, 则∠BOD 的大小为
A. 110° B. 120°
C. 130° D. 140°
8. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月. ”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花.如图，将水仙花图置于正方形网格中, 点A, B, C均在格点上. 若点 A(﹣2, 3),B(0, 1), 则点 C的坐标为
A. (4, 2) B. (2, 2)
C. (1, 2) D. (2, 1)
9. 已知点P(m, 12m--1),Q(2, 1),则线段 PQ 的长的最小值为
A.155 B.255 C. 45 D. 5
10. 如图, 在Rt△ABC和Rt△ABD中, ∠C= ∠ADB= 90°,AC, BD相交于点G, E, F分别是AB, BD的中点, 连接AF, EF, DE. 若点 F 为△ABC的内心, BF = 4, 则下面结论错误的是
A. ∠CAF =∠BAF B.sin∠AFD=22
C. EF = 2 D.DE=23
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 计算:2º+|﹣ 2|= .
12. 若式子 x-3在实数范围内有意义，则x的值可以为 . (写出一个满足条件的即可)
13.连续掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币正面都朝上的概率是 .
14. 如图, 将▱ABCD的两边AD与CD分别沿DE, DF翻折,点A, C恰好与点B重合, 则∠EDF的大小为 .
15. 如图, 四边形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点 O,OA=OB=OC=OD, 过点O作OE⊥BD交BC于点E,若AB =5, BE =7, 则CE的长为 .
16. 在同一平面直角坐标系xOy中，若无论m为何值，直线l：y = mx - 2m + 3(m≠0) 与抛物线 W: y=ax²-2ax-3a(a≠0)都有交点,则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (8分)
①解方程组： x-y=7.①2x+y=2.②
18. (8分)
如图, 在正方形ABCD中, E为 CD 边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF. 求证: ∠EBC=∠CDF.
19. (8分)
先化简，再求值： x+1x-1⋅x2+xx2-1, 其中 x=2+1.
20. (8分)
在物理学中，电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化.下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
该段电磁波的波长λ 与频率f满足怎样的函数关系?并求出波长λ关于频率f的函数表达式.
21. (8分)
如图, AB 是⊙O 的直径, 点 C 在⊙O 上, OP‖AC交BC于点D, CP为⊙O的切线.
(1) 求证: ∠P=∠B;
(2) 若DP =4, OD =2, 求csA的值.
22. (10分)
某校为了进一步倡导文明健康绿色环保生活方式，提高学生节能、绿色、环保、低碳意识，举办了“低碳生活，绿色出行”知识竞赛(满分100分). 每班选10名代表参加比赛，随机抽取2个班，记为甲班，乙班，现收集这两个班参赛学生的成绩如下：
【收集数据】
【分析数据】
【应用数据】
(1) 根据以上信息, 填空: a = , b= , c = ;
(2)参赛学生人数为600人，若规定竞赛成绩90分及以上为优秀，请你根据以上数据，估计参加这次知识竞赛成绩优秀的学生有多少人?
(3)结合以上数据，选择适当的统计量分析这两个班级中哪个班级成绩较好?
23. (10分)
学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课.
【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系.如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分, 如果 ACAB=BCAC,那么称点C为线段AB的黄金分割点， ACAB=5-12叫做黄金分割比. 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值. 几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美.如图2和图3，△ABC都是黄金三角形(腰与底的比或底与腰的比等于黄金比)；如图4，矩形ABCD是黄金矩形(宽与长的比等于黄金比).
【知识探究】直角三角形中的黄金分割
活动一: 如图5, 在 △ABC 中, ∠ACB=90°,CD是AB 边上的高. 以AD 为边,作 ‖gramADEF,,使得点E,F分别落在边BC,AC上. (要求:尺规作图,不写作法，保留作图痕迹. )
活动二：在活动一的条件下，若DE=EF，求证：点F是线段AC的黄金分割点.
24. (12分)
如图, △ABC 和 △EDC 都是等腰直角三角形, 点 D 在边 AB 上, ∠BAC= ∠DEC=90°.
(1) 求证: △ACE∼△BCD;
(2) 探索AC, AD, AE的数量关系, 并证明;
(3) 若AC平分∠DCE, 且AD=2, 求. △EDC的面积.
25. (14分)
在平面直角坐标系xOy中，点P(2，c)在抛物线 W₁:y=ax²+bx+ca0)上.
(1)求抛物线W₁的对称轴；
(2)若c=4,
①不管d取任何实数，抛物线l W₁上的三个点( dy₁,d+1y₂,d+3y₃中至少有两个点在x轴的上方，求a的取值范围；
②平移抛物线W₁得到抛物线W₂, W₂过点P, 且其顶点为O, 过点Q(1, 2)作直线MN(不与直线OP重合)交抛物线 W₂于M,N两点(点M在点N左侧),直线MO 与直线PN交于点 H. 求证：点 H在一条定直线上.
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数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1. A 2. A 3. B 4. D 5. C
6. A 7. D 8. C 9. B 10. D
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 3 12. 答案不唯一, 如: 3 13. 14
14. 60° 15. 2 6 16. a≤--1或a > 0
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17. (8分)
解:①+②得3x=9,………………………………………………………2分
解得x=3.……………………………………………………………4分
将x=3代入②,得y=-4.…………………………………………7分
所以 x=3,y=-4.…8分
18. (8分)
解： 方法一：
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCE=90°.……………………………………………2分
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°..…3分
在 △BCE和△DCF中,
BC=DC,∠BCE=∠DCF,CE=CF,
∴△BCE≌△DCF,……………………………………………………7分
∴∠EBC=∠CDF.……………………………………………………8分
方法二：
∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴BC=CD,∠BCE=90°.………………………………………………2分
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.…3分
∵ 在Rt△BCE中, tan∠EBC=ECBC,…4分
在 Rt△DCF中, tan∠CDF=CFCD,⋯5分
∵BC=CD,EC=CF,…………………………………………………6分
∴tan∠EBC=tan∠CDF,………………………………………………7分
∴∠EBC=∠CDF.……………………………………………………8分
19. (8分)
解：原式 =x+1-xx⋅xx+1x-1x+1…4分
=1x⋅xx-1……5分
=1x-1 · ………………6分
当 x=2+1时,
原式 =12+1-1 …………………7分
=22.…………………………8分
(其他解法参照给分)
20. (8分)
解：由表格可知，
频率f与波长λ乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系.………………………………………………………………3分
设 λ=kfk≠0, · ·· ………………4分
因为当f=5时,λ=60,所以k=300,……………………………6分
所以λ关于f的函数表达式为 λ=300f.…8分
21. (8分)
解: (1) 证明: 如图, 连接OC,
∵ PC是 ⊙O 的切线,
∴∠OCP=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵AB 是 ⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∵OP∥AC,
∴∠PDC = ∠ACB = 90°,
∴∠PCD + ∠P =90°, ∠PCD +∠OCB=90°,
∴∠P=∠OCB.…………………………………………………3分
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠B,
∴∠P=∠B.………………………………………………………4分
(2) 由(1) 知∠ACB =∠OCP =90°, ∠P =∠B,
∴∠A=∠POC.……………………………………………………5分
∵∠ODC=∠OCP =90°, ∠DOC=∠DOC,
∴△DCO∽ △CPO,
∴ODOC=OCOP…6分
∵PD =4, OD = 2,
∴2OC=OC6,
∴OC=23,………………7分
∴csA=cs∠POC=OCOP=236=33. …………… …… ………… 8分
(其他解法，参照给分)
22. (10分)
解:(1)a=90,b=91.5,c=92;…………………………………………6分
2600×8+720=450(人),
所以参加这次知识竞赛成绩优秀的学生约有450人.…………8分
(3)因为这两个班的平均分相同，
从方差看，乙班的方差比较小，成绩比较稳定，所以乙班成绩较好.………10分
或从众数看，乙班众数比较高，所以乙班成绩较好.
或从中位数看，乙班中位数比较高，所以乙班成绩较好.
(分析有理，参照给分)
23. (10分)
解：(1)如图所示，四边形ADEF是所求作的平行四边形.……………4分
(2)方法一:
∵ 在▱ADEF中, DE=EF,
∴▱ADEF是菱形,……………………………5分
∴AD=AF=DE, EF∥AB, DE∥AC, …… 6分
∴ ∠BDE = ∠A, ∠DEB =∠ACB =90°, CFAF=CEBE,CEBE=ADBD, …………………………7分
∴CFAF=ADBD.…8分
∵ CD 是AB边上的高,
∴∠ADC =∠DEB =90°,
∴△ACD≌ △DBE,
∴AC=BD.…………………………………………………………9分
∴CFAF=AFAC,
∴点F是线段AC的黄金分割点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
方法二：
∵ 在▱ADEF中, DE=EF,
∴▱ADEF是菱形,………………………………………………5分
∴AD=DE=AF,DE∥AC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
∴∠BDE=∠A,∠DEB=∠ACB=90°.………………………7分
∵ CD 是 AB 边上的高,
∴∠ADC =∠DEB =90°,
∴△ACD ≌ △DBE.
∴AC=BD.…………………………………………………………8分
设AD=DE=AF=x, AC=BD=a, 则AB=x +a,
∵∠B=∠B, ∠BDE =∠A,
∴△BDE∽ △BAC,
∴BDAB=DEAC, …9分
∴ax+a=xa,解得 x=5-12a,x=-5-12a(不符合题意，舍去)，
∴AFAC=xa=5-12,
∴点F是线段AC的黄金分割点.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
(其他解法，参照给分)
24. (12分)
解: (1) 如图1∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠ECD=45°,…………………………………………1分
cs∠ACB=ACBC,cs∠ECD=CECD,
∴ACBC=CECD,…2分
∠BCD=∠ACE,………………………………………………3分
∴△ACE∽△BCD.………………………………………………4分
2AC=2AE+AD,
如图1, 过点 E 作EF ⊥AE交 AC 于点 F,则 ∠AEF = 90°.
∵ △ABC和△EDC都是等腰直角三角形,
∴∠B =45°, DE=CE.
由(1) 得△ACE ∽△BCD,
∴∠EAC=∠B=45°,……………5分
∴∠EAC = ∠AFE = 45°,
∴AE=EF.………………………6分
∵ ∠DEC = ∠AEF = 90°,
∴∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△FCE,
∴AD=CF.…………………………………………………………7分
∵ 在 Rt△AEF中, AF=2AE,
∴AC=2AE+AD.…8分
(3)方法一:
如图2, 过点D 作DG⊥ BC于点G,
∵AC 平分 ∠DCE,
∴∠ECA =∠DCA,
由(1) 得∠BCD =∠ECA,
∴∠BCD=∠DCA.………………9分
∵DG⊥BC, AD ⊥AC,
∴DG=AD = 2.
在 Rt△BDG中, ∠B =45°, DG=2,
∴BD=22,…………10分
∴AC=AB=2+22.
在 Rt△ACD中, CD2=AD2+AC2=16+82,…11分
在 Rt△EDC中, DE2+EC2=CD2,DE2=8+42,
∴SΔEDC=12DE2=4+22,
∴ △EDC 的面积为 4+22.………………12分
方法二：
如图3, 延长EA, CD交于点 G,
由(1) 得 △ACE∽△BCD,
∴∠EAC =∠B =45°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC,
∴∠G=∠BCD.
∵AC 平分 ∠DCE,
∴∠ECA =∠DCA,
由(1) 得∠BCD =∠ECA,
∴∠BCD=∠DCA,………………………………………………9分
∴∠ACD=∠G,
∴AC=AG.
∵ ∠BDC =∠ADG,
∴△BDC∽△ADG,
∴BDAD=BCAG=BCAC=2,
∴BD=22,…………10分
∴AC=AB=2+22.
在Rt△ACD 中, CD2=AD2+AC2=16+82,…11分
在 Rt△EDC中, DE2+EC2=CD2,DE2=8+42,
∴SΔEDC=12DE2=4+22,
∴△EDC 的面积为 4+22.………………12分
方法三：
如图4, 延长BA, CE交于点G,
∵AC 平分 ∠DCE,
∴∠DCA = ∠ECA.
∵ ∠CAD =90°,
∴∠GAC = ∠CAD = 90°.
∵AC =AC,
∴△ACD≌ △ACG,
∴AD=AG.……………………………9分
在 Rt△EDG中, AE =AD =AG = 2.
由(1) 得△BCD∽△ACE,
∴BDAE=BCAC=2,
∴BD=22,…………………10分
AC=AB=2+22.
在 Rt△ACD中, CD2=AD2+AC2=16+82,…11分
在 Rt△EDC中, DE2+EC2=CD2,DE2=8+42,
∴SΔEDC=12DE2=4+22,
∴△EDC的面积为 4+22.……………………12分
(其他解法参照给分)
25. (14分)
解: (1)∵ 抛物线W₁过P(2, c)
∴4a+2b+c=c,即b=-2a……………………………………2分
∴-b2a=1,
∴对称轴为直线x=1.…………………………………………4分
(2) 当c=4时, 抛物线| W₁:y=ax²-2ax+4
①因为无论d取任何实数，三个点中至少有两个点在x轴的上方，所以当抛物线 W₁与x轴没有交点或只有一个交点时，符合题意.
此时 Δ=4a²-16a≤0,,…………………5分
因为a > 0, 所以a≤4,
所以0当抛物线W₁ 与x轴有两个不同交点时，a >4.
设两个交点的横坐标为x₁，x₂，
则 |x₁-x₂|<1,…………………………………7分
所以 x₁+x₂²-4x₁x₂<1.
因为 x1+x2=2,x1x2=4a,
所以 4-4×4a<1.
解得 4 综上所述，a的取值范围是 0②由题可知抛物线 W₂:y=x²……………………………10分
设M(m, m²), N(n, n²),直线 MN的解析式为 y = kx + b.
则 mk+b=m2,nk+b=n2. 解得 k=m+n,b=-mn.
∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn.…………………11分
∵ 直线MN经过点 Q(1, 2),
∴mn= m + n - 2.
同理, 直线PN的解析式为y =(n +2)x-2n,直线OM 的解析式为y = mx.
∵ 直线 OM 与 PN相交于点 H,
∴n + 2≠ m.
由 y=n+2x-2ny=mx
x=2nn-m+2,y=2mnn-m+2. …… 12分
∵mn=m+n-2,
∴H2nn-m+22m+2n-4n-m+2. ·13分
∴2m+2n-4n-m+2=-2-m+2+n+4nn-m+2=4nn-m+2-2
∴点H在定直线y=2x-2上.…………………………………14分
(其他解法参照给分)
频率f(MHz)
5
10
15
20
波长λ(m)
60
30
20
15
甲班
80
85
90
96
97
90
90
100
99
93
乙班
87
89
92
95
92
92
85
92
96
100
统计量
班级
众数
中位数
平均数
方差
甲班
a
b
92
36
乙班
92
92
c
17.2