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13.3等腰三角形 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）
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13.3等腰三角形华东师大版初中数学八年级上册同步练习一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80∘，则∠C的度数为( ) A. 30∘ B. 40∘ C. 45∘ D. 60∘2.如图，AC⊥BC，AD=BD，为了使图中的△BCD是等边三角形，再增加一个条件可以是( ) A. CD⊥AB B. CD=BD C. BC=12AB D. BC=12AC3.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 64.如图，将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD，AE.则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③AE=BD.其中正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠EDF的度数为 ( ) A. 90° B. 75° C. 60° D. 45°6.在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D是BC边上的动点(不与B、C重合)，连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为( )A. 80° B. 110° C. 80°或120° D. 80°或110°7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则PB+PE的最小值和下列线段长度相等的是( )． A. BC B. CE C. AD D. AC8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M.现有以下结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④BG=AF+FG.其中恒成立的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9.若等腰三角形中有一个角等于80°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20° B. 80° C. 20°或80° D. 20°或100°10.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN.若MN=1，则OM的长为 ( ) A. 3 B. 72 C. 4 D. 92二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.如图，在△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够在某一刻使△BPD与△CQP全等． 12.如图，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D.如果∠A=63°，那么∠B= ． 13.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D为直线BC上异于B，C的一点，若△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 ．14.如图，∠BAC是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在AB，AC足够长的情况下，若最多只能焊上7根，且AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，则∠BAC度数的最大值为 (结果保留整数)． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分) 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC． 求证：△BDE是等腰三角形．16.(本小题8分)如图，CA=CB，D为CB上一点，∠ADE=∠ACB=60°，BE//AC.求证：CD=BE． 17.(本小题8分)如图①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． (1)求证：①BE=CD；②AM=AN．(2)在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图②所示的图形．请判断(1)中的两个结论是否仍然成立，并说明理由．18.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE//BC交AB于点E． (1)求证：BE=DE； (2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数． 19.(本小题8分) 小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质.让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”.如图2，当∠QAC=∠QCB=∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．【解决问题】(说明：说理过程可以不写理由)问题1:等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度;问题2:在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．(1)∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系?请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．(2)当∠BAC=90∘(如图4所示)，BM=5时，求点C到直线AM的距离．20.(本小题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，AE // CD，交BD的延长线于点E，∠E=60°，∠ABE=∠BCD． (1)求证：△ABC为等边三角形；(2)探究AE，CD与BE之间的数量关系，并证明． 答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键. 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°， ∴∠B=∠ADB=80°， ∴∠ADC=180°−∠ADB=100°， ∵AD=CD， ∴∠C=(180°−∠ADC)÷2=(180°−100°)÷2=40°． 故选B．2.【答案】C 【解析】略3.【答案】C 【解析】略4.【答案】D 【解析】略5.【答案】C 【解析】略6.【答案】D 【解析】解： ∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠C=∠B=40°， ∴∠BAC=180−∠B−∠C=180°−40°−40°=100°， ∵△ACD为等腰三角形， 当AD=CD时，∠CAD=∠C=40°， ∴∠ADB=40°+40°=80°； 当AD=AC时，∠ADC=∠C=40°， 这时点D与点B重合，不符合题意， 当CD=CA时，∠C=40°， ∴∠DAC=180°−∠C2=180°−40°2=70°， ∴∠BDA=40°+70°=110° 综上，∠BDA的度数为110°或80°． 故选：D． 根据三角形内角和为180°，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可． 本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度． 【解答】 解：如图，连接PC， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选：B．8.【答案】D 【解析】提示：由条件易证△ADC≌△AEB(SAS)，故①正确；因为△ADC≌△AEB，所以∠ADC=∠AEB，所以∠AEG=∠CDB，故②正确；因为∠BAC=90°，所以∠ACD+∠ADC=90°，因为FG⊥CD，所以∠ACD+∠CMF=90°，所以∠ADC=∠CMF，因为∠ADC=∠AEB=∠GEM，∠CMF=∠GME，所以∠GEM=∠GME，所以EG=MG，即△EGM为等腰三角形，故③正确；过点B作BN⊥AB，交GF的延长线于点N，因为BN⊥AB，∠ABC=45°，所以∠NBF=45°=∠ABF，因为AC⊥AB，所以BN//AC，所以∠N=∠GME=∠GEM=∠GBN，所以BG=NG，因为∠CAF+∠BAF=90°，∠CAF+∠AEB=90°，所以∠BAF=∠AEB=∠GEM=∠GBN=∠N，又因为BF=BF，∠ABF=∠NBF，所以△ABF≌△NBF(AAS)，所以AF=NF，因为NG=NF+FG，所以BG=AF+FG，故④正确．9.【答案】C 【解析】略10.【答案】B 【解析】略11.【答案】4或6 【解析】略12.【答案】18° 【解析】提示：连接CE，DE，则AE=CE=DE=BD，所以∠ACE=∠A=63°，∠DEB=∠B.易得∠ECD=∠CDE=∠DEB+∠B=2∠B，所以∠AEC=∠ECD+∠B=3∠B.因为∠A+∠ACE+∠AEC=180°，所以63°+63°+3∠B=180°，所以∠B=18°．13.【答案】30°或37.5°或52.5° 【解析】略14.【答案】12° 【解析】提示：设∠BAC=x.因为AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，所以∠A=∠AP2P1=x，所以∠P2P1P3=2x，所以∠P3P4P2=3x，…，∠P7P8P6=7x.所以7x<90°且8x≥90°，所以11.25∘≤x<907∘，所以∠BAC度数的最大值约为12°．15.【答案】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∵DE//AC， ∴∠EDA=∠CAD． ∴∠BAD=∠EDA． ∵AD⊥BD， ∴∠B+∠BAD=90°， ∠BDE+∠EDA=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴EB=ED， ∴△BDE是等腰三角形． 【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用． 直接利用平行线的性质得出∠EDA=∠CAD，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，根据等腰三角形的判定即可得出答案．16.【答案】证明：在AC上截取CF=CD，连接DF，如图： ∵∠ACB=60∘， ∴△CDF是等边三角形， ∴DF=CD，∠CFD=60∘， ∴∠AFD=120∘， ∵CA=CB， ∴CA−CF=CB−CD，即AF=DB， ∵∠ADE=∠ACB=60∘，∠ADB=∠A+∠ACB， 即∠ADE+∠BDE=∠A+∠ACB， ∴∠A=∠BDE， ∵BE//AC， ∴∠B+∠ACB=180∘， ∴∠B=180∘−∠ACB=120∘， ∴∠AFD=∠B， ∴△AFD≌△DBE(ASA)， ∴DF=EB， ∴CD=BE． 【解析】此题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的外角的性质，通过作辅助线构造等边三角形是解题关键.在AC上截取CF=CD，连接DF，构造等边△CDF，利用ASA证明 △AFD≌△DBE，进而根据全等三角形的性质可得结论．17.【答案】【小题1】①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD.在△BAE和△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△BAE≌△CAD.∴BE=CD②∵△BAE≌△CAD，∴∠ABE=∠ACD.由①，知BE=CD，又∵M，N分别为BE，CD的中点，∴BM=CN.在△ABM和△ACN中，AB=AC,∠ABM=∠ACN,BM=CN,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN 【小题2】(1)中的两个结论仍然成立理由：由题意，易知点A，D，B在同一条直线上．在△BAE和△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△BAE≌△CAD.∴BE=CD，∠ABE=∠ACD.∵BE=CD，M，N分别为BE，CD的中点，∴BM=CN.在△ABM和△ACN中，AB=AC,∠ABM=∠ACN,BM=CN,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN． 【解析】1. 略 2. 略18.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE//BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE． (2)∵∠A=80°，∠C=40° ∴∠ABC=60°， ∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°， ∵DE//BC， ∴∠EDB=∠CBD=30°， 故∠BDE的度数为30°． 【解析】本题主要考查等腰三角形的判定．平行线的性质，熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题． (1)先根据角平分线定义，得∠ABD=∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB=∠CBD，得到∠EBD=∠EDB，根等角对等边判断即可． (2)先根据三角形内角和，求∠ABC的度数，再利用角平分线性求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB=∠DBC．19.【答案】解;问题1: 1；30； 问题2：(1)∠AMB=2∠ABC． 因为点M为△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”． 可设∠MAC=α，则∠MCB=∠MBA=α． 因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB． 所以可设∠MBC=β，则∠MCA=β，那么∠ABC=∠ACB=α+β． 因为在△BCM中∠MBC+∠MCB+∠BMC=180∘， 所以∠BMC=180∘−(α+β)， 同理∠AMC=180∘−(α+β)， 所以∠AMB=360∘−∠BMC−∠AMC=2(α+β)=2∠ABC． (2)过点C作CH⊥AM，交AM的延长线于点H． 因为AB=AC，∠BAC=90∘，所以∠ABC=∠ACB=45∘． 由问题2(1)同理可得∠AMB=2∠ABC=90∘． 在△ABM与△ACH中， AB=AC,∠AMB=∠AHC,∠ABM=∠CAH. 所以△ABM≌△ACH， 可得BM=AH，AM=CH． 因为∠HMC=∠MAC+∠MCA=45∘，所以MH=CH=AM． 因为BM=5，所以AM+MH=5， 所以CH=12AH=52． 即点C到直线AM的距离为52． 【解析】【分析】 本题主要考查新定义问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等的判定和性质． 问题1：根据新定义结合等边三角形的性质即可求解； 问题2：(1)∠AMB与△ABC的底角的数量关系是∠AMB=2∠ABC.由题意设∠MAC=α，则∠MCB=∠MBA=α，根据等腰三角形的性质可设∠MBC=β，则∠MCA=β.那么∠ABC=∠ACB=α+β.得出∠BMC=180∘−(α+β)，∠AMC=180∘−(α+β)，然后根据周角的概念即可证明结论； (2)过点C作CH⊥AM，交AM的延长线于点H.先证明△ABM≌△ACH得出BM=AH，AM=CH，再根据新定义得出∠HMC=∠MAC+∠MCA=45∘，可得MH=CH=AM，进而可得答案． 【解答】 解：问题1：等边三角形得中线、高线、角平分线交于同一点， 所以“布洛卡点”有1个； “布洛卡点”为三个相等内角的角平分线的交点， 所以“布洛卡角”为180°÷3÷2=30°； 问题2：(1)见答案； (2)见答案．20.【答案】【小题1】证明：∵AE // CD， ∴∠E=∠CDE=60°， ∵∠CDE=∠CBD+∠BCD，∠ABE=∠BCD， ∴∠ABE+∠CBD=60°，即∠ABC=60°， ∵AB=AC， ∴△ABC为等边三角形；【小题2】AE+CD=BE； 在BE上截取EF=AE，连接AF． ∴△AEF为等边三角形， ∴∠AFE=60°， ∴∠AFB=∠BDC， ∵∠ABE=∠BCD，AB=BC， ∴△ABF≌△BCD， ∴BF=CD， ∵EF+BF=BE， ∴AE+CD=BE． 【解析】1. 见答案 2. 见答案
13.3等腰三角形华东师大版初中数学八年级上册同步练习一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80∘，则∠C的度数为( ) A. 30∘ B. 40∘ C. 45∘ D. 60∘2.如图，AC⊥BC，AD=BD，为了使图中的△BCD是等边三角形，再增加一个条件可以是( ) A. CD⊥AB B. CD=BD C. BC=12AB D. BC=12AC3.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 64.如图，将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD，AE.则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③AE=BD.其中正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠EDF的度数为 ( ) A. 90° B. 75° C. 60° D. 45°6.在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D是BC边上的动点(不与B、C重合)，连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为( )A. 80° B. 110° C. 80°或120° D. 80°或110°7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则PB+PE的最小值和下列线段长度相等的是( )． A. BC B. CE C. AD D. AC8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M.现有以下结论：①△ADC≌△AEB；②∠AEG=∠CDB；③△EGM是等腰三角形；④BG=AF+FG.其中恒成立的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9.若等腰三角形中有一个角等于80°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20° B. 80° C. 20°或80° D. 20°或100°10.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN.若MN=1，则OM的长为 ( ) A. 3 B. 72 C. 4 D. 92二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.如图，在△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够在某一刻使△BPD与△CQP全等． 12.如图，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D.如果∠A=63°，那么∠B= ． 13.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D为直线BC上异于B，C的一点，若△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 ．14.如图，∠BAC是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在AB，AC足够长的情况下，若最多只能焊上7根，且AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，则∠BAC度数的最大值为 (结果保留整数)． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分) 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC． 求证：△BDE是等腰三角形．16.(本小题8分)如图，CA=CB，D为CB上一点，∠ADE=∠ACB=60°，BE//AC.求证：CD=BE． 17.(本小题8分)如图①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． (1)求证：①BE=CD；②AM=AN．(2)在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图②所示的图形．请判断(1)中的两个结论是否仍然成立，并说明理由．18.(本小题8分) 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE//BC交AB于点E． (1)求证：BE=DE； (2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数． 19.(本小题8分) 小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论.小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质.让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”.如图2，当∠QAC=∠QCB=∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”.一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．【解决问题】(说明：说理过程可以不写理由)问题1:等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度;问题2:在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．(1)∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系?请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．(2)当∠BAC=90∘(如图4所示)，BM=5时，求点C到直线AM的距离．20.(本小题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，AE // CD，交BD的延长线于点E，∠E=60°，∠ABE=∠BCD． (1)求证：△ABC为等边三角形；(2)探究AE，CD与BE之间的数量关系，并证明． 答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键. 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解答】 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°， ∴∠B=∠ADB=80°， ∴∠ADC=180°−∠ADB=100°， ∵AD=CD， ∴∠C=(180°−∠ADC)÷2=(180°−100°)÷2=40°． 故选B．2.【答案】C 【解析】略3.【答案】C 【解析】略4.【答案】D 【解析】略5.【答案】C 【解析】略6.【答案】D 【解析】解： ∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠C=∠B=40°， ∴∠BAC=180−∠B−∠C=180°−40°−40°=100°， ∵△ACD为等腰三角形， 当AD=CD时，∠CAD=∠C=40°， ∴∠ADB=40°+40°=80°； 当AD=AC时，∠ADC=∠C=40°， 这时点D与点B重合，不符合题意， 当CD=CA时，∠C=40°， ∴∠DAC=180°−∠C2=180°−40°2=70°， ∴∠BDA=40°+70°=110° 综上，∠BDA的度数为110°或80°． 故选：D． 根据三角形内角和为180°，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可． 本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度． 【解答】 解：如图，连接PC， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度， 故选：B．8.【答案】D 【解析】提示：由条件易证△ADC≌△AEB(SAS)，故①正确；因为△ADC≌△AEB，所以∠ADC=∠AEB，所以∠AEG=∠CDB，故②正确；因为∠BAC=90°，所以∠ACD+∠ADC=90°，因为FG⊥CD，所以∠ACD+∠CMF=90°，所以∠ADC=∠CMF，因为∠ADC=∠AEB=∠GEM，∠CMF=∠GME，所以∠GEM=∠GME，所以EG=MG，即△EGM为等腰三角形，故③正确；过点B作BN⊥AB，交GF的延长线于点N，因为BN⊥AB，∠ABC=45°，所以∠NBF=45°=∠ABF，因为AC⊥AB，所以BN//AC，所以∠N=∠GME=∠GEM=∠GBN，所以BG=NG，因为∠CAF+∠BAF=90°，∠CAF+∠AEB=90°，所以∠BAF=∠AEB=∠GEM=∠GBN=∠N，又因为BF=BF，∠ABF=∠NBF，所以△ABF≌△NBF(AAS)，所以AF=NF，因为NG=NF+FG，所以BG=AF+FG，故④正确．9.【答案】C 【解析】略10.【答案】B 【解析】略11.【答案】4或6 【解析】略12.【答案】18° 【解析】提示：连接CE，DE，则AE=CE=DE=BD，所以∠ACE=∠A=63°，∠DEB=∠B.易得∠ECD=∠CDE=∠DEB+∠B=2∠B，所以∠AEC=∠ECD+∠B=3∠B.因为∠A+∠ACE+∠AEC=180°，所以63°+63°+3∠B=180°，所以∠B=18°．13.【答案】30°或37.5°或52.5° 【解析】略14.【答案】12° 【解析】提示：设∠BAC=x.因为AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，所以∠A=∠AP2P1=x，所以∠P2P1P3=2x，所以∠P3P4P2=3x，…，∠P7P8P6=7x.所以7x<90°且8x≥90°，所以11.25∘≤x<907∘，所以∠BAC度数的最大值约为12°．15.【答案】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∵DE//AC， ∴∠EDA=∠CAD． ∴∠BAD=∠EDA． ∵AD⊥BD， ∴∠B+∠BAD=90°， ∠BDE+∠EDA=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴EB=ED， ∴△BDE是等腰三角形． 【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用． 直接利用平行线的性质得出∠EDA=∠CAD，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，根据等腰三角形的判定即可得出答案．16.【答案】证明：在AC上截取CF=CD，连接DF，如图： ∵∠ACB=60∘， ∴△CDF是等边三角形， ∴DF=CD，∠CFD=60∘， ∴∠AFD=120∘， ∵CA=CB， ∴CA−CF=CB−CD，即AF=DB， ∵∠ADE=∠ACB=60∘，∠ADB=∠A+∠ACB， 即∠ADE+∠BDE=∠A+∠ACB， ∴∠A=∠BDE， ∵BE//AC， ∴∠B+∠ACB=180∘， ∴∠B=180∘−∠ACB=120∘， ∴∠AFD=∠B， ∴△AFD≌△DBE(ASA)， ∴DF=EB， ∴CD=BE． 【解析】此题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的外角的性质，通过作辅助线构造等边三角形是解题关键.在AC上截取CF=CD，连接DF，构造等边△CDF，利用ASA证明 △AFD≌△DBE，进而根据全等三角形的性质可得结论．17.【答案】【小题1】①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD.在△BAE和△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△BAE≌△CAD.∴BE=CD②∵△BAE≌△CAD，∴∠ABE=∠ACD.由①，知BE=CD，又∵M，N分别为BE，CD的中点，∴BM=CN.在△ABM和△ACN中，AB=AC,∠ABM=∠ACN,BM=CN,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN 【小题2】(1)中的两个结论仍然成立理由：由题意，易知点A，D，B在同一条直线上．在△BAE和△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△BAE≌△CAD.∴BE=CD，∠ABE=∠ACD.∵BE=CD，M，N分别为BE，CD的中点，∴BM=CN.在△ABM和△ACN中，AB=AC,∠ABM=∠ACN,BM=CN,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN． 【解析】1. 略 2. 略18.【答案】解：(1)证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD， ∵DE//BC， ∴∠EDB=∠CBD， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE． (2)∵∠A=80°，∠C=40° ∴∠ABC=60°， ∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°， ∵DE//BC， ∴∠EDB=∠CBD=30°， 故∠BDE的度数为30°． 【解析】本题主要考查等腰三角形的判定．平行线的性质，熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题． (1)先根据角平分线定义，得∠ABD=∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB=∠CBD，得到∠EBD=∠EDB，根等角对等边判断即可． (2)先根据三角形内角和，求∠ABC的度数，再利用角平分线性求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB=∠DBC．19.【答案】解;问题1: 1；30； 问题2：(1)∠AMB=2∠ABC． 因为点M为△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”． 可设∠MAC=α，则∠MCB=∠MBA=α． 因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB． 所以可设∠MBC=β，则∠MCA=β，那么∠ABC=∠ACB=α+β． 因为在△BCM中∠MBC+∠MCB+∠BMC=180∘， 所以∠BMC=180∘−(α+β)， 同理∠AMC=180∘−(α+β)， 所以∠AMB=360∘−∠BMC−∠AMC=2(α+β)=2∠ABC． (2)过点C作CH⊥AM，交AM的延长线于点H． 因为AB=AC，∠BAC=90∘，所以∠ABC=∠ACB=45∘． 由问题2(1)同理可得∠AMB=2∠ABC=90∘． 在△ABM与△ACH中， AB=AC,∠AMB=∠AHC,∠ABM=∠CAH. 所以△ABM≌△ACH， 可得BM=AH，AM=CH． 因为∠HMC=∠MAC+∠MCA=45∘，所以MH=CH=AM． 因为BM=5，所以AM+MH=5， 所以CH=12AH=52． 即点C到直线AM的距离为52． 【解析】【分析】 本题主要考查新定义问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等的判定和性质． 问题1：根据新定义结合等边三角形的性质即可求解； 问题2：(1)∠AMB与△ABC的底角的数量关系是∠AMB=2∠ABC.由题意设∠MAC=α，则∠MCB=∠MBA=α，根据等腰三角形的性质可设∠MBC=β，则∠MCA=β.那么∠ABC=∠ACB=α+β.得出∠BMC=180∘−(α+β)，∠AMC=180∘−(α+β)，然后根据周角的概念即可证明结论； (2)过点C作CH⊥AM，交AM的延长线于点H.先证明△ABM≌△ACH得出BM=AH，AM=CH，再根据新定义得出∠HMC=∠MAC+∠MCA=45∘，可得MH=CH=AM，进而可得答案． 【解答】 解：问题1：等边三角形得中线、高线、角平分线交于同一点， 所以“布洛卡点”有1个； “布洛卡点”为三个相等内角的角平分线的交点， 所以“布洛卡角”为180°÷3÷2=30°； 问题2：(1)见答案； (2)见答案．20.【答案】【小题1】证明：∵AE // CD， ∴∠E=∠CDE=60°， ∵∠CDE=∠CBD+∠BCD，∠ABE=∠BCD， ∴∠ABE+∠CBD=60°，即∠ABC=60°， ∵AB=AC， ∴△ABC为等边三角形；【小题2】AE+CD=BE； 在BE上截取EF=AE，连接AF． ∴△AEF为等边三角形， ∴∠AFE=60°， ∴∠AFB=∠BDC， ∵∠ABE=∠BCD，AB=BC， ∴△ABF≌△BCD， ∴BF=CD， ∵EF+BF=BE， ∴AE+CD=BE． 【解析】1. 见答案 2. 见答案
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