广西“飞天”校际2025届高三上学期7月考试数学试题+答案

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姓名______ 考号______
注意事项：
1.本杯即原飞机杯
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的 4 个选项中只有一项符合题意。
z
1.复数 z 满足： =1， z =（ ）
zz
2.能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A.( ) ( ) B. C. D.( ) ( )
AB A B U A B U B  A AB A B
（ ）
4.红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的 6 个顶点上，共有几种不同的放置方法
（ ）
A.7 B.8 C.4 D.5
5.在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能
地投放棋子（用 A 和 B 表示，A 先下），某时刻战况如图，则 A 能获胜的概率为（ ）
A B A
B B
A
6.四面体 A− BCD 中 AB = 3 ，其余各棱长均为 2，则该四面体外接球的表面积是（ ）
司A.2 B. 2 C.1 D.
2
2
3.
e ，
1
e 是两个不共线的单位向量， λ + µ = ，下列正确的是
a = λe + µe ，b = µe + λe ， 1
2 1 2 1 2
2


A.
a ⋅b =
1
2


B.
a ⋅b =
1
4
C. a + b ≥1 D.0 < a + b ≤1
A.
1
6
B.
2
3
C.
1
2
D.
5
6
A. 3 B.2 C. 2 3 D.4
2023
A.
− B. −2023 C. −1012 D. −2024
2
二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共 3 小题，每小题 6 分，全部选对得 6
分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分.
9.已知曲线：( ) ( )
y − a 2 = 4 x + a ， a ∈Z 则（ ）
A.与 x = a 有唯一交点 B.与 x = −a 有唯一交点
C.与 y = −x 联立恒得两整数根 D.与 y = −x 相交得到的弦，长恒为 4 2
10.在集合 { }
A = x∣x = 2n −1,n∈ N 中取连续 k 项作为一组数据，下列正确的是（ ）
*
A.k 为奇数时，平均数∈ A B.k 为奇数时，平均数∉ A
C.k 为偶数时，方差不一定∈ A D.k 为偶数时，方差一定∈ A
三、填空题，本题共 3 小题，每小题 5 分.
12.随机变量 X ∼ N (2,0.04)，则 P(2 ≤ X ≤ 2.2)= ______.
d = ______.（第一空 2 分，第二空 3 分）.
1
14.设定义域为 R 的函数 f (x)对任意的实数 a，b 均有bf (a)− af (b)= 2b − 2a ，且
(1) ( 2) 9
f f − ≥ − ，若实数 t 使得 f (x)≤ tx2 恒成立，t 的取值范围是______.
2
司49 50 52 18
A. π π
π π C. D.
B.
9 9 9 3
7.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2 + 3b2 = 3c2 ，则 tan
tanB
C
= （ ）
 x  i
2023   =
∑
f x =  −  + x − f
8.已知函数 ( ) ln 1
，则  
x 1
1  2024 
i=
（ ）
11.数列{ }
a 满足 a = ，
n
1 1
a +1 = C + ，则下列正确的有（ ）
n a n
n
n
A.数列{ }
a 是递增数列 B.
n
( )
a a a !
n
+ n n
2 > +
1
( )
a a !
n+1 n+1
n
C. 1 C 1 2 1
a + a
+ < n +1 + < + 恒成立 D.
n a n n
∑
n
i=1
( + )! ( )
a i
i ≥ + −
a 1 ! 1
恒成立
2⋅i!
n+1
13.记双曲线C
x y
2 2
: − =1的左右焦点分别为
a b
2 2
F ，
1
F 分别过
2
F 和坐标原点 O 作直线 m，n，且 m∥n ，
1
记
d
F 到 m，n 的距离分别为 d ， d ，则 1
2 1 2
d
2
=______，若 n 是 C 的渐近线，则当 d
2
2
+ 取最小值时，
b
四、解答题，本题共 5 小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.
15.（13 分）
在△ABC 中，sin(2A+ B)= 21+ cs(A+ B)sinA，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
b = λa .
（1）求λ ；
（2）当 c = 3， π
C = 时，求△ABC 的面积.
3
16.（15 分）
x y
2 2
点 A，B 分别是椭圆 ( )
2 + 2 =1 a > b > 0 的上顶点和左顶点，P 是椭圆上一动点，P 的横坐标非负，BP
a b
（1）求椭圆方程；
17.（15 分）
x x 1
已知 f (x)= + ， g (x)= − ax − (a − )x ， a ∈ R ， x∈(−1,1) .
sin cs 1
4 4 2
2 2 2
（1）求 f (x)在 π , π
  
f
处的切线方程；
  
 
 6 6 
（2）若 f (x)+ g (x)≤1恒成立，求 a 的取值范围.
18.（17 分）
司的中点是 M，当 P 位于下顶点时△APM 的面积为 1，椭圆离心率为
3
2
.
（2）记△POM 的面积为
S
S ，△AOM 的面积为 S ，求 1
1 2
S
2
的最小值.
在直三棱柱
ABC − A B C 中底面是正三角形，底面边长为 3，侧棱长未知，D，E 分别是 BC ，CC 的中
1 1 1 1
点，P 是直三棱柱表面上的一点，且 P 到底面的距离为 3 。当 BP∥平面
A DE 时，当 P 在平面
1
AA B B
1 1
中时，P 到
BB 的距离为
1
2
3
.
（1）求直三棱柱的侧棱长；
（2）当 P 到 BB 的距离为 1 时，求二面角
P − A D − E 的余弦值； 1 1
19.（17 分）
数列{a }是正项递增数列，由数列{a }中所有项构成集合 A，它的任意一个子集记为φ 定义集合 B 是每
n n k
一个子集中的所有数之和（即分别写出 1 个数，2 个数，……n 个数之和）.
（1）若 A = {1, 2, 3}，写出
φ ，φ 以及集合 B；
1 3
（2）
a = n ，将集合 B 中的元素分成 n 组，要求每组中最大项与最小项之比不超过 2，证明一个符合题
n
意的分组；
（3） A = {a a a ⋅⋅⋅ a }，将集合 B 中的元素分成 n 组，要求与（2）相同，证明存在这个分组.
1, 2, 3, , n
司（3）P 每次移动都移动 1 个单位，从
AA 上出发顺时针移动的概率为
1
2
3
，逆时针移动的概率为
1
3
，一旦
走完一圈便不再移动，
PC 与平面
1
A B C 的夹角为α ，求第 n 次移动后α ≥ 60°的概率.
1 1 1
2024 年 7 月“飞天”高三年级考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的 4 个选项中只有一项符合题意.
1【答案】C
【解析】设 z = a + bi ，则原式 ⇔ a2 + b2 =1→ z =1，故选 A
2.【答案】A
【解析】略
【解析】如图
共五种，故选 B.
5.【答案】B
1.
A B A
B B
A A
1 1 1
P = × =
1
3 2 6
2.
A B A
B A B
A
3.
A B A
B B
A A
1 1 1
P = × =
3
3 2 6
司3.【答案】D
 
1
【解析】 ( )
a + b = e + e
1 2
2
4.【答案】D
二者不共线，D 易知对；
P =
2
1
3
6.【答案】C
图 1 图 2
7.【答案】B
【解析】 2abcsC = a2 + b2 − c2 …1
2accsB = a + c − b …2
2 2 2
2 ×2 − 1 = 2a(ccsB − 2bcsC)= a − 3c + 3b = 0
2 2 2
tanC
所以
sinCcsB = 2sinBcsC → = 2
tanB
8.【答案】A
【解析】
2023   = − → 2023   = −
i i 2023
∑ ∑
2 f 2023 f
   
   
2024 2024 2 i=1 i=1
二、多项选择题，本题共 3 小题，每小题 6 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错
或不选得 0 分.
9.【答案】BCD
【解析】事实上这是一条顶点轨迹为 y = −x 的抛物线，顶点坐标为(−a,a)，因此 A 错，B 对；令 a = 0
司所以
P =
2
3
【解析】如图 1，可知两面夹角为 60°，由图 2，以 B 为原点建系， F
 
2 3 1
:  , 
3 3
 
，
半径
R
2 2
   
3 2 3 3 1 13
=  −  +  −  =
2 3 2 3 3
 
 
，则外接球的表面积 4π 2 52 π
R =
9
1
当 x∈(0,1)时， ( )
f x 1
′ = + ，不难看出
x(x −1)
 + 1  = + 1 = + 1
′
f x 1 1
   −   +  −
2 1 1
2
x x x
  
2 2
1
4
是偶函
数，相应的
f  x + 1 
 
2
2023  i 
∑
是奇函数，因此 f (1− x)+ f (x)= −1，则
f
 
1  2024 
i=
倒序相加得到
得到两个根
x1 = 0， x2 = 4 ，随 a 的变化，两个根会 ±a ，恒为整数，则弦长恒显然恒为 4 2
故选 BCD
10.【答案】AC
【解析】对于平均数：
对于方差：
利用特值，如 3，5，7，9，11，13，15，方差不是整数，C 对；故选 AC
11.【答案】AB
【解析】
a (a )! (a +1)!a ! (a +1)! a !
n n = n n = n − n < ，由 A 类似的归纳，易知 a +1 ≥ 2a ， n =1时取等，
1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
a + a + a + a +
! ! ! ! n 1 n 1 n 1 n 1
a + n = 9 >
n 1，不符合题意，C 错； n =1就不成立，D 错：故选 AB
2(n +1) 8
三、填空题，本题共 3 小题，每小题 5 分.
12.【答案】0.34135
13.【答案】2， 2 2
司m+k−1
∑
2i −1
i=m 2m 2 k
假设从第 m 项开始取，那么平场数
= = − +
k
，显然是奇数，A 对
设 a，b，t ∈ N* ， ( ) ( ) ( )
+ + +  + + + 
− =  −  = A − A >
( ) ( )
a t b ! a b ! 1 a t b ! a b ! 1
b b
( + )  ( + ) 
a+t+b a+b
a t !b! a!b! b! a t ! a! b!
0，
同理
( ) ( )
a + t + b + m ! a + b !( ) ( )
>
a + t ! b + m ! a!b!( ) ( )
m∈ N* ，而
a2 = 2 > a1 ，假设
a + > a ，则
，a，b，t，
n 1 n
( ) ( )
a + n +1 ! a + n !( ) ( )
a − a = − >
n+1 n
n+1 n ( )
a ! n +1 ! a !n!
n+1 n
0故是递增数列，A 对；
于是
( )
a a a !
n+ > = + > + ，故 B 对；
2 2 1 1 1
n n
( )
a a !
n+1 n+1
= ⋅ a + n ! ， ( )
( ) a + n +
2a 2 C =
1 !
n n+1 n
n+ ( )
1 a +n+1
a !n! n +1 !a !
n
n n
n+1
C
a + n
a +n+1 n
=
，而 n ( )
2a 2 n +1
n+1
， n = 3时
【解析】
1
P = ×0.6827 = 0.34135
2
d F F
【解析】由几何知识： 1 = 1 2 =
d OF
2 2
2
bc
由对称性，取 n 斜率为正，记此时焦距为 2c，则 ( )
F c ， n：bx − ay = 0 ，于是 = =
2 ,0 d b
2 2 2
a + b
，
2
而
b 2 2 1 2 2 2 2
+ ≥ 2 2 的取等条件是b = 2 ，则 d = ， d = d =
b
14.【答案】∅
【解析】 b(f (a)− 2)= a(f (b)− 2)，
当 a ≠ 0 ，b ≠ 0时， f (a) 2 f (b) 2 f (a) 2 ka
− −
= ⇒ − = ，k 是常数， a ≠ 0 ，即
a b
f (x)= kx + 2， x ≠ 0 ，当 a = 0 ，b =1时， f (0)= 2 = k ⋅0 + 2，所以 f (x)= kx + 2
f (1) f (−2)= (k + 2)(2 − 2k)≥ 9 → k = 1 ，所以 ( ) 1 2
f x = x + ，而 f (0)= 2 ≥ 0 = t0
2
2 2 2 必然成立，所以t ∈∅
四、解答题
15.（13 分）
（1）原式 ( ) ( )
⇔ 2sinAcsAcsB + 1− 2sin A sinB = 2sinA1+ cs A+ B  （1 分）
2
sinB
→ 2csAcsB − 2sinAsinB + = 2 + 2cs A+ B （2 分）
( )
sinA
( ) ( ) sinB
→ 2cs A+ B − 2cs A+ B + = 2（4 分）
sinA sinB
→ = 2 → b = 2a → λ = 2（6 分）
sinA
（2）余弦定理得到b = 2a = 3 （8 分）
16.（15 分）
联立解得 a = 2， b =1， c = 3
（2）延长 PO 交椭圆于另一点 N，易知 P，N 关于原点对称
易知 ON 是△PBN 的中位线
所以 4S△ = S△ （8 分）
POM BON
司勾股定理得到
1
B = π （11 分）
2
面积：
1 3 3
×3× 3 = （13 分）
2 2
（1）由题意得 e
= c = 3 ， 1 2 1 1
×a × b = → ab = ， a2 = b2 + c2 （3 分）
a 2 2
所以椭圆方程为
x
2
4
+ y2 =1（5 分）
不妨设 P (x y )，则 ( )
: , N : −x ,−y ，
0 0 0 0
x ≥
0 0
1 1
S = ×2× y + ×2× y = 2 y
△PNB 0 0 0
2 2
1 x − 2 1
S x
= ×1× 0 = − 2 △AOM 0
2 2 4
− 2 − x 2 + x 2 + x
( )( ) ( )
4y 4 x 4
所以原式
2 0 0 0 0 0
= = = = = 1
(2 − x )2 (2 − x )2 2 − x 2
(2 − x ) (2 − x )
0 0 0 0 0
2
 
S S
x0 ∈[0, 2]→   ∈[1,+∞]→ ≥1
△PBN △PBN
4S 4S  
△AOM △AOM
所以最小值是 1（15 分）
17.（15 分）
所以 ( ) 1 sin2
f ′ x = − x （4 分）
2
3 3π 7
l : y = − x + + （6 分）
4 24 8
1 1
（2） ( ) ( )
f x + g x =1− sin x − ax − ax + x
2 2
2 2
令 h(x)= f (x)+ g (x)
不难发现 h(0)=1恒成立（7 分）
( ) 1 sin2 1
h′ x = − x − ax − a +
2
h′ x = → − x − ax − a + = → − x + = a x + 令 ( ) 0 1 sin2 1 0 1 sin2 1 ( 1)
2 2
司原式即求
S
△PBN
4S
△AOM
2 y 2 y
原式 = 0 = 0
x − 2 2 − x
0 0
（12 分）
由于
x x
2 2
0 0
+ y = → y = −
0 1 0 1
2 2
4 4
2
4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2
（1） ( )
f x = + =  +  − = − x
sin cs sin cs 2sin cs 1 sin
4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 2
2 2 2 2 2 2 2
 
（3 分）
f ′  = −
π 3
 
6 4
，
f  π  = 7 → l y − 7 = − 3  x − π 
:
   
6 8 8 4 6
a =
1
− sin2x +1
2
x +1
1 1
− sin2x +1 − x +1 cs2x + sin2x −1
( )
2 2 ϕ x = →ϕ′ x =
令 ( ) ( )
x 1 x 1
+ ( + )
2
u x = − x + x + x − → u′ x = x + x 令 ( ) ( 1)cs2 1 sin2 1 ( ) 2( 1)sin2
2
当 x∈(−1,1)时，易知u′(x)= 2(x +1)sin2x ≥ 0
所以 u(x)单调递增，所以 ( ) (1) 2cs2 1 sin2 1 0
u x < u = − + − <
2
所以ϕ (x)单调递减，注意到ϕ (1)> 0 ，ϕ (0)=1（10 分）
当 a >1时， x∈(− x )时 h(x)单调增， x ∈(x )时 h(x)单调减
1, 0,1
0
h x0 > h 0 =1， a >1不符合题意（12 分） 所以存在 ( ) ( )
当 a =1时， x∈(−1,0)时 h(x)单调增， x∈(0,1)时 h(x)单调减
恰好 h(x)< h(0)≤1， a =1符合题意
当 a <1时， x∈(− x )时 h(x)单调增， x ∈(x )时 h(x)单调减
1, 0,1
0
h x0 > h 0 =1， a <1不符合题意（14 分） 所以存在 ( ) ( )
综上所述， a ∈{1}（15 分）
18.（17 分）
司h x0 = 0，
其中 ( )
0 0
x <
0 0
h x0 = 0，
其中 ( )
0 0
x >
0 0
（1）如图：延长 ED 交
BB 于点 Q，连接
1
AQ
1
只需有 BP∥平面
AQE 即可，设高为 2h （2 分）
1
若
BP∥ AQ
1
BP 不在平面内，
AQ 在平面内
1
可以得到 BP∥平面
AQE
1
所以只需
BP∥ AQ （3 分）
1
（2）以 AC 中点 O 为原点，建立如图的坐标系
A D = ( − )， ( ) ( )
1 1, 3, 4 DE = − 3,1, 2 3 → n = 5, 3,2 （6 分）
1
A D = ( − )， DP = ( 3,−1,4 3)或( 3,−5,4 3)→ n = (2,−2 3,1)或 (1,−4 3,4)
1 1, 3, 4
2
3 34
cs θ = = （9 分）
θ = 或 cs 1 130
68 4 130 520
（3）由题意得此图
司根据几何关系得到
2
3 3 3 3 2 3 3
= → h = → h = ，高为 3 3 （4 分）
3h 3 2
A  − 
: 0, ,3 3
3
1
 
2
，
D
 
3 3 3
:  , ,0
，
4 4
 
E
 
3 3 3
: 0, ,
  ，
2 2
 
P  
: 3, , 3
1
 2 
 − 1 
或
 
3, , 3
 2 
由夹角 60°得到与 P 点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中，P 从 A 出发，只需考虑净结果
（12 分）
一：净向左 1，2，3，4，5 步均可
设向左 k 步
二：净向右 4，5，6，7，8 步均可
设向右 k 步
司得到
k − =1, 2,3, 4,5 n + ,2,3
右 1 ,4,5
→ k =


k + =
右 n 2
所以
P
1
 
n+1 n+1 n+1 n+2 n+3 n+3 n+3 n+4 n+5 n+5
1
=  + + + 
C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n n
3
n
 
当 n 为偶数时
n+4
 n n n n   n n 
+2 +2 +4 +4 2 +4 +4
1 2
P = C 2 + C 2  = C + C 
2 2 2 2 2 2
1 n n n+1 n
3 3
n n
   
（14 分）
当 n 为奇数时
n+1
 n+ n+ n+ n+ n+ n+   n+ n+ 
1 1 3 3 5 5 2 5 5
1 2
P = C 2 + C 2 + C 2  = C + 2C 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 n n n n+2 n
3 3
n n
   
（15 分）
得到
k − = 4,5, 6, 7,8 n + 4,5, 6, 7,8
左
→ k =


k + 左 = n 2
当 n 为偶数时
n+4
 + + + + + +   + + 
n 4 n 4 n 6 n 6 n 8 n 8 2 n 8 n 8
1 2
P =  + +  =  + 
C 2 2 2 C 2 2 2 C 2 2 2 C 2 2C 2P =  + +  =  + 
2 n n n n+2 n
3 3
n n
   
当 n 为奇数时
n+5
 n+5 n+5 n+7 n+7  2  n+7 n+7 
1 2
P =  +  =  + 
C 2 2 2 C 2 2 2 C 2 C 2P =  +  =  + 
2 n n n+1 n
3 3
n n
   
（16 分）
综上：当 n 为偶数时
P
n+4
2 2 n n n n
 +8 +8 +4 +4 
=  + + 
C +2 2C 2 + C +2 C 2
n 2 n n 1 n
3
n
 
当 n 为奇数时
19.（17 分）
P
n+1
 n+5 n+7 n+7 
2
2
= C + 6C + 2C
 
2 2 2
n+2 n+1 n
3
n
 
（17 分）
（1）φ = { }或{2}或{3}，φ = { }， B = {1, 2, 3, 4,5, 6}（3 分）
1 1 2 1, 2,3
不妨让最大数与最小数之比 = 2
n
∑ 假设分为 n 组，这样最后一个数是第 2 2 1 2
i n
= + −
个（7 分）
i=1
⇔ n n +1 + 4 < 4⋅2n ⇔ n + n + 4 < 4⋅2n
( )
2
令 f (n)= n + n + − ⋅ ，只需 f (n)< 0
2 4 4 2n
f ′(n)= 2n +1− 2 4ln2 ， ( ) ( ) ( ) ( )
n f ′′ n = 2 − 2n4 ln2 < 0 → f ′ n < f ′ 1 < 0
2
f n = n2 + n + 4 − 4⋅2n < f 1 < 0 所以 ( ) ( )
所以
2s > a + a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a + a + = b
1 2 k k 1 k
故存在这样的分组（17 分）（用（3）证（2）也得分）
司（2）不难发现 B
 + 
( 1)
n n
=  ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 
1, 2, 3, ,
2
 
共有
n n +
( 1)
2
个数（5 分）
可以分为[1, 2]，[3, 6]，[7,14]…… ( 1), ( 1)
n n + n n + 
 
4 2
 
（6 分）
只需证明
n(n + ) < + −
1
2 2
n 1
2
所以
n n +1 < + −
( )
2 2
n 1
2
，即不必分至 n 组即可将
n n +
( 1)
2
个数全部分完
在已经分好的组中再多分几组，均可满足题意，仅
n n + n n +  ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
,
 
4 2
 
一组
中还可再分
n(n +1)
4
− 组， ( 1) 1
1 − > n 显然成立，故可分至 n 组，故该分组符合题意（10 分）
n n +
4
（3）要证
1
2
b < s < b ，其中b = a + a +⋅⋅⋅+ a ，s 是某些数之和
k k k 1 2 k
 1 
只需证明
∀ ∉ 
s b , b +
k k 1
 2 
（12 分）
假设
s > b = a + a +⋅⋅⋅+ a ，从而 ∃a ∈s ， a ≥ a + 使得 s ≥ a + （15 分）
k 1 2 k i i k 1 k 1
所以
1  1 
s > b + → s∉b b + 
,
k 1 k k 1
2 2
 