2022-2023学年广西贵港市高三上学期12月模拟考试理科数学试题（word版）

贵港市2022-2023学年高三上学期12月模拟考试

理科数学

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则

A. B. C. D.

2.下图是某统计部分网站发布的《某市2020年2~12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅折线图.（注：同比是今年第个月与去年第个月相比，环比是现在的统计周期与上一个统计周期相比）

下列说法错误的是

①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%

②2020年9月CPI环比上升0.2%，同比无变化

③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%

④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%

A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

3.设集合，，则

A. B. C. D.

4.“”是“”的

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：（称为“约率”）和（称为“密率”）.一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1），如果取圆周率为“密率”，则该几何体的体积为

A. B. C. D.

6.函数在的图象大致为

A.  B.  C.  D.

7.若函数有两个极值点且这两个极值点互为倒数，则

A. B. C. D.

8.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则

A.3 B.4 C.6 D.8

9.已知等比数列的前4项和为600，，则

A.5 B.9 C.12 D.15

10.以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为，，则

A.1 B. C. D.

11.已知椭圆（）的离心率为，直线交椭圆于，两点，点在椭圆上（与点，不重合）.若直线，的斜率分别为，，则的最小值为

A.2 B. C.4 D.

12.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是

A.函数的周期为2  B.函数关于直线对称

C.函数关于点中心对称 D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，满足，，，则____________.

14.已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为____________.

15.在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为______________.

16.已知函数在区间上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.

①在区间上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是；

③的取值范围是；

④在区间上单调递增.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在中，内角，，所对的边分别是，，，________________.

（1）求；

（2）若，，点在线段上，，求的余弦值.

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

19.（本小题满分12分）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，八桂大地兴起一股青年大学习的热潮，我市共青团委会为了响应青年的这股热潮决定举办一次共青团知识擂台赛，我市县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表县参加市赛.已知县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响.

（1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

（2）设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列及数学期望.

20.（本小题满分12分）已知动圆与直线相切，且与圆外切.

（1）求动圆的圆心轨迹的方程；

（2）过点且斜率为的直线与轨迹交于，两点，点，延长，分别与轨迹交于，两点，设的斜率为，证明：为定值.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）证明不等式：，；

（2）若，，使得，求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22.（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.

23.（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]

已知.

（1）证明：；

（2）若，求的最大值.

贵港市2022-2023学年高三上学期12月模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

13. 

14.

15. 

16.②④ 

三、解答题

17.【解析】（1）选择①：由，可得，

由正弦定理得，即，

由余弦定理，得，

因为，所以；

选择③：因为，所以，，

所以，

因为，所以，

因为，所以.

（2）因为，，所以，

可得，因为，可得，

在中，，，故是等边三角形，故，，

故.

18.【解析】（1）因为底面四边形为正方形，所以，

因为平面，平面，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）设，则，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.

所以，由得，

，.设平面的法向量，则，取，可得，，所以，

，.设平面的法向量为，则，取，可得，，所以.

设二面角的平面角为，则，

∴，即二面角的正弦值为.

19.【解析】（1）3人都没有通过初赛的概率为，

所以这3人中至少有1人通过初赛的概率为.

（2）依题意的可能取值为0，1，2，3.

设事件表示“甲参加市赛”，事件表示“乙参加市赛”，事件表示“丙参加市赛”，

则，，,

则，

,，

，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

20.【解析】（1）圆的标准方程为圆，

设动圆的圆心坐标为，由动圆与直线相切，且与圆外切，

故有，

两边平方化简得，所以动圆的圆心轨迹方程为.

（2）设点，点，点，点，

由题意可知直线的方程为，其中，

代入抛物线中，消去得，则，.

处理方式1（抛物线的直线弦方程）

，故直线的方程为，

整理得，即，

又因为直线过点，故有，可得，∴.

同理，由直线过点，可得.

处理方式2三点共线

由题意可知，，三点共线，故，即，

整理得，

又，在抛物线上，故，，代入得，，即，∴.

同理，由，，三点共线，可得.

于是，

即证为定值2，命题得证.

21.【解析】（1）令，，

则，故在上单调递增，故，

即，所以，，当且仅当时，等号成立；

（2）由得，

整理得，

不妨设，由（1）可知在上单调递增，故有，从而，所以，

所以.

下面证明，即证，

令，即证明，其中，故只需证明.

设，则，所以在上单调递增，

所以，

所以，即，所以.

22.【解析】（1）分别消去，的参数方程中的参数，得，的普通方程为

，，

两式相乘消去可得，

因为，所以，所以曲线的普通方程为.

（2）因为，所以，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为

结合（1）知曲线与直线无交点，且曲线的参数方程为（为参数，，），

所以曲线上的点到直线的距离

，

所以当时，取得最大值为.

23.【解析】（1）∵，∴，，，

∴，

即，当且仅当时取等号，

∴，

∴；

（2）由（1）得当时，。当且仅当时取等号，

所以，，

由，得，，

所以当，时，的最大值为9.