专题09 立体几何初步（3大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，Ⅱ卷考查了以棱台为背景的线面角的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的表面积和体积计算。
试题精讲
一、单选题
1．（2024新高考Ⅰ卷·5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为.
故选：B.
2．（2024新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选：B.
一、单选题
1．（2022新高考Ⅰ卷·4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
2．（2022新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
3．（2022新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

二、多选题
4．（2022新高考Ⅰ卷·9）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
5．（2023新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【答案】ABD
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.
6．（2022新高考Ⅱ卷·11）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
7．（2023新高考Ⅱ卷·9）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.

三、填空题
8．（2023新高考Ⅰ卷·14）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.故答案为：.
9．（2023新高考Ⅱ卷·14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【答案】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.故答案为：.

一、棱柱、棱锥、棱台
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
三、表面积与体积计算公式
1、表面积公式
2、体积公式
四、空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
五、四个基本事实
基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
六、直线与直线的位置关系
七、直线与平面的位置关系
八、平面与平面的位置关系
九、等角定理
1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
十、直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
十一、两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
十二、直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
十三、平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
十四、直线与平面所成的角
1、定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.

2、直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
十五、二面角
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

3、二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.
【详解】圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为，所以底面圆的半径为，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：C
2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误；
若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误；
若，，则与可能平行，也可能，故C错误；
若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确；
故选：D
3．（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，确定（或其补角）为直线与所成的角，求出，进而求解.
【详解】如图，连接，则，取的中点，连接，则，
所以（或其补角）为直线与所成的角，
又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为，
又，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：C
4．（2024·山东潍坊·三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．
【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为，
因为上圆锥的高与底面半径相等，所以，
则得，，
上圆锥的母线为，下圆锥的母线为，
所以上、下两圆锥的母线长之比为，
故选：A．
5．（2024·陕西·三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：的值取3，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.
【详解】设该圆台的母线长为，两底面圆半径分别为，（其中），
则，，，
所以，
故圆台部分的侧面积为，
圆柱部分的侧面积为，
故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为.
故选：B.
6．（2024·四川成都·模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．51车B．52车C．54车D．56车
【答案】B
【分析】由图形直接解出上下底面及中截面面积，再由解出拟柱体的体积，最后结合实际求出需要的卡车数量即可.
【详解】由条件可知：上底长为米，宽为米；中截面长米，宽米；
则上底面积平方米，中截面积平方米，
下底面积平方米，
所以该建筑材料的体积为(立方米)，
所以建筑材料重约（吨），
需要的卡车次为，所以至少需要运车.
故选：B
7．（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．1∶1B．4∶3C．6∶5D．7∶5
【答案】D
【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案.
【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V，
则，
因为E，F分别为AB，AC的中点，故,
结合题意可知几何体为棱台，
则，
故,故，
故选：D
8．（2024·新疆·三模）设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用体积相等可得答案.
【详解】设内切球的球心为，连接，
则把四棱台分割成六个四棱锥，
且六个四棱锥的高都为内切球的半径，
四棱台的高为，所以
，
化简可得.
故选：D.
9．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.
【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，
取轴截面，如图所示，分别为的中点，
可知：∥∥，且，
可得，即，
所以该容器中液体的体积为.
故选：A.
10．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得.
【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为.
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由球的性质可知，平面，
所以，同理，所以四边形为矩形，
因为，所以，，
所以，
所以外接球的表面积为.
故选：B
11．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求几何体的体积，再求被截较小部分的体积即可.
【详解】由题意可知，如图所示，，
所以平面即为平面截几何体的截面.
因为，,
所以几何体的体积,
被截棱台的体积
,
较大部分体积为,
且,
所以较小部分的体积为.
故选：D.
12．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.
【详解】如图所示：
由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，
，
如图所示：
设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
即，
由题意，且二面角为直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四边形为矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
二、多选题
13．（2024·山西·三模）将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ）
A．底面直径为，高为的圆柱体B．底面直径为，高为的圆锥体
C．底面直径为，高为的圆锥体D．各棱长均为的四面体
【答案】ABD
【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,若圆柱的底面直径为8，则半径为4，
此时球心到圆柱底面的距离为，故圆柱的高可以为6，A符合，
对于B，若圆锥的底面直径为8，则半径为4，
此时球心到圆锥底面的距离为，故圆锥的高最大时为，B符合，
对于C，若圆锥的底面直径为7，则半径为，
此时球心到圆锥底面的距离为，
故圆锥的高最大时为，C不符合，
对于D , 若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中，
此时正方体的外接球直径为，故D符合，
故选：ABD
14．（2024·浙江·二模）正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为60°
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
【答案】ACD
【分析】于A，连接，利用三角形中位线证得，结合线面平行判定定理即可判断A；对于B，取中点，连接，设正方体棱长为，根据线段长度结合勾股定理判断与是否垂直，即判断与是否垂直，从而可判断B；对于C，连接，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线与所成角的大小，从而判断C；对于D，连接，确定截面完整图形为四边形，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.
【详解】对于A，如图，连接，因为，分别为棱和的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，如图，取中点，连接，
在正方体中，，所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为，中点，则，故，
设正方体棱长为，则，
故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B错误；
对于C，如图，连接，
在正方体中，，即为正三角形，
又因为，分别为棱和的中点，所以，故异面直线与所成角即为，故C正确；
对于D，如图，连接，
在正方体中，，所以四边形为平行四边形，
则，又，所以，所以四点共面，
故平面截正方体所得截面为四边形，
设正方体棱长为，则，
所以，又，故截面为四边形为等腰梯形，故D正确.
故选：ACD.
15．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知正方体的棱长为为的中点，为线段上一动点，则（ ）
A．异面直线与所成角为
B．平面
C．平面平面
D．三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【分析】在正方体中，异面直线与所成角即为或其补角，求出即可判断A；利用线面垂直的判定定理可以证明平面，判断B；利用面面垂直的判定定理可以证明平面平面，判断C；由平面，得点到平面的距离为定值，再由，可得三棱锥的体积为定值，判断D.
【详解】对于选项，如图，连接，则，
则或其补角为异面直线与所成角，
因为，所以，
故异面直线与所成角为，故选项错误；
对于选项，由已知得为等腰直角三角形，是的中点，则，
因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
设与交于点，
其中，
因为，
所以，
因为，所以，
又平面平面，
所以平面，故选项正确.；
对于选项，由正方体的性质可知，平面，
而平面，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故选项正确；
对于选项，由，平面，平面，得平面，
又，所以点到平面的距离为定值，
又的面积确定，，
所以三棱锥的体积为定值，故选项正确.
故选：.
16．（2024·湖南长沙·三模）已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
【答案】ABD
【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.
【详解】对于A，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A正确；
对于B，圆锥的高，因此圆锥的体积，B正确；
对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，
则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为，C错误；
对于D，圆锥轴截面顶角为，则，，则圆锥轴截面顶角为，
因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角，
此截面三角形积，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
17．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（ ）

A．B．平面平面
C．多面体为三棱台D．直线与平面所成的角为
【答案】ABD
【分析】求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；利用三棱台定义判断选项C；求得直线与平面所成的角判断选项D.
【详解】对于A，因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面，所以，A正确.
对于B，因为，平面，平面，
则平面，
又，平面，平面，
则平面，
又，平面，所以平面平面，B正确.
对于C，因为，，则，
所以多面体不是三棱台，C错误.
对于D，延长，相交于点G，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，则为直线与平面所成的角.
因为，所以，
解得，，，
则，D正确.

故选：ABD
三、填空题
18．（2024·重庆·二模）将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为和，则它的高为 .
【答案】
【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
【详解】球的体积为①，
设铁锭的高为，则正四棱台的体积为②，
由解得．
故答案为：．
19．（2024·浙江·三模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为 .
【答案】3
【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.
【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ，
设母线长为，高为.
则，解得.
如图所示圆台的轴截面，
在中，，
由勾股定理得：圆台的高.
故答案为：3.
20．（2024·贵州黔东南·二模）已知一个圆锥的底面半径为4，用一个平行于该圆锥底面的平面截圆锥，若截得的小圆锥的底面半径为2，则截得的小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为 .
【答案】/
【分析】设出小圆锥的母线长，利用三角形的相似确定大圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】如图所示，，，设，
由∽，得，
故截得的小圆锥的侧面积为，
截得的圆台的侧面积为，
，故截得小圆锥的侧面积与截得的圆台的侧面积之比为.
故答案为：
21．（2024·上海奉贤·二模）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 .
【答案】
【分析】根据几何体形状分别求出长方体体积和四棱锥的体积，相减得出模型体积即可求得所需原料的质量.
【详解】易知四棱锥的底面积，
高为，
所以四棱锥的体积为，
长方体为，
因此该模型的体积为，
所以该模型所需原料的质量为.
故答案为：
22．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
【答案】6
【分析】根据几何关系，结合基本不等式求底面面积的最大值，即可求解体积的最大值.
【详解】如图，，，则，
由，则，当时，等号成立，
即的最大值为6，

此时三棱柱的体积最大，最大体积为.
故答案为：6
23．（2024·四川·三模）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为，则正四棱台的体积
【答案】/
【分析】先求出外接球的半径，设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为，利用勾股定理求出，即可得正棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解.
【详解】设外接球的半径为，
则，，
设正方形和正方形的中心分别为，外接球的球心为，
则在线段上，
如图，在等腰梯形中，
，
则，
所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积.
故答案为：.
24．（2024·重庆·三模）已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为 .
【答案】
【分析】由内切球的表面积得球的半径，从而求出正三棱柱的高，再根据底面正三角形内切圆的半径求得正三角形的边长，代入棱柱体积公式求解即可.
【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为，内切球的半径为，
依题意，解得，所以正三棱柱的高，
正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为，
由题意，所以，
所以正三棱柱的体积.
故答案为：
25．（2024·山东济南·二模）将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则 .
【答案】/
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为：.
26．（2024·河北秦皇岛·二模）已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为 .
【答案】或
【分析】先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案.
【详解】设点，分别是，的外接圆的圆心，球O的半径为R，
则，解得，且，，O三点共线，
正三棱台的高为，
在等边中，，
由正弦定理可得：，得.
在等边中，，
由正弦定理可，得.
在中，，即，得，
在中，，即，得，
如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为，
所以正三棱台的体积.
如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为，
此时正三棱台的体积.
综上，正三棱台的体积为或.

故答案为：或.
【点睛】关键点点睛：先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案.
命题解读
考向
考查统计
1.高考对立体几何初步的考查，重点是掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征、解决多面体和球体的相关计算问题。同时需要关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题、夹角距离问题、截面问题。这些问题对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有强大的逻辑推理能力。
柱、锥、台体的表面积与体积
2022·新高考Ⅰ卷，4
2023·新高考Ⅰ卷，14
2024·新高考Ⅰ卷，5
2022·新高考Ⅱ卷，11
2023·新高考Ⅱ卷，9
2023·新高考Ⅱ卷，14
球的切接问题
2022·新高考Ⅰ卷，8
2023·新高考Ⅰ卷，12
2022·新高考Ⅱ卷，7
夹角问题
2022·新高考Ⅰ卷，9
2024·新高考Ⅱ卷，7
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
锥体
台体
球
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a