2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程【课件】，共56页。PPT课件主要包含了激活思维，聚焦知识，圆的方程，举题说法，新视角，随堂练习，配套精练等内容，欢迎下载使用。

2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是(　　)A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25B．(x－8)2＋(y－3)2＝25C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
3．若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝10B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x－2)2＋y2＝10D．(x＋2)2＋y2＝10
4．已知圆C以P1P2为直径，P1(4，9)，P2(6，3)，则下列各点在圆C外的是(　　)A．M(6，9)B．N(3，3)C．Q(5，3)D．R(4，4)
5．已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为________________________；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为___________________．
【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10
2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1) 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(2) 若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3) 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
(1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是________________________．
方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b).
【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝10
变式　设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为_______________________．
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5
点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
相关点法求动点轨迹方程
由Q在圆x2＋y2＝4上，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故所求轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
变式　若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________．
与圆有关的最值和范围问题
(2) 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．
P是x轴上的动点，则|PM|的最小值为|PC1|－1.同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则B(2，0).设点P(x，y).
(2) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为_______．
由题意，直线l1过定点A(0，2)，l2过定点B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆T：(x－1)2＋(y－1)2＝2上．
(5) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是_________.
设M(x，y).由|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．
圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－2，1).由题知圆心在直线ax－by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b＝1.
4．在平面直角坐标系中，过A(－2，4)，B(2，6)，C(－1，－3)，D(2，－4)四点的圆的方程为_________________________．
x2＋y2－4x－2y－20＝0
5．若动点M在圆(x－4)2＋y2＝16上移动，则M与定点A(－4，8)连线的中点P的轨迹方程为___________________．
x2＋(y－4)2＝4
2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝100B．(x－2)2＋y2＝100C．x2＋(y－2)2＝10D．(x－2)2＋y2＝10
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内．
6．已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，且交圆O于P，Q两点，M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是(　　)A．点M的轨迹是圆B．|PQ|的最小值为6C．若圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，则l的方程是4x－3y＋10＝0D．使|PQ|为整数的直线l共有16条
因为直线l恒过点N(2，6)，所以OM⊥MN，点M在以ON为直径的圆上，则点M的轨迹是圆，故A正确；
由题知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，因为圆心为O(0，0)，半径为r＝7，所以圆心到直线l的距离d＝2，
由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2＋2×(13－7＋1)＝16(条)，故D正确．
三、 填空题7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________．
(x－4)2＋(y－1)2＝26
8．过四点(－1，1)，(1，－1)，(2，2)，(3，1)中的三点的一个圆的方程为________________________(写出一个即可)．
9．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程是__________________________；直角边BC的中点M的轨迹方程是______________．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0) (x－2)2＋y2＝1(y≠0)
将x0＝2x－3，y0＝2y代入点C的轨迹方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
四、 解答题10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1) 求m＋2n的最大值；
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上．(1) 求半径最小时的圆C的方程；
11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上．(2) 求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．
B组　滚动小练12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为(　　)A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
如图，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C.
因为A1C⊂平面AA1C，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C.因为BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D，故平面α即为平面BC1D，则α截该正方体所得截面的形状为三角形．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2.(1) 求{an}，{bn}的通项公式；
由3an＝2Sn＋3，可得3an＋1＝2Sn＋1＋3，两式相减可得3an＋1－3an＝2an＋1，所以an＋1＝3an.令n＝1，可得3a1＝2a1＋3，所以a1＝3.所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即an＝3×3n-1＝3n.因为数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2，所以b1＋4(b1＋4)＝7(b1＋2)，解得b1＝1，所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2.