人教版九年级数学下册同步讲义专题第10课 锐角三角函数（教师版）

这是一份人教版九年级数学下册同步讲义专题第10课 锐角三角函数（教师版），共17页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。


知识精讲
知识点01 锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，csA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cs与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
知识点02 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
知识点02 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
能力拓展
考法01 锐角三角函数值的求解策略
【典例1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【答案】D．
【解析】
解：如图：
，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选：D．
【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．
【即学即练1】在中，，若，，则 ，
， ， ， ．
【答案】 5 ， ， ，， ．
考法02 特殊角的三角函数值的计算
【典例2】求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°•tan60°；
(3) +tan60°﹣．
【答案与解析】
解：（1）原式=
=．
(2) 原式=×﹣4×（）2+×
=﹣3+
=；
(3) 原式=+﹣
=2+﹣
=3﹣2+2
=．
【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．
【即学即练2】在中，，若∠A=45°，则 ，
， ， ， ．
【答案】45°，， ，， ．
考法03 锐角三角函数之间的关系
【典例3】已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0
（1）试判断△ABC的形状．
（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．
【答案与解析】
解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，
∴tanA=1，sinB=，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形；
（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴原式=（1+）2﹣2﹣1
=．
【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
考法04 锐角三角函数的拓展探究与应用
【典例4】如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，
若弦CD＝6，试求cs∠APC的值．


【答案与解析】
连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACP＝90°，
又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ △PCD∽△PAB，
∴ ．
又∵ CD＝6，AB＝10，
∴ 在Rt△PAC中，
．
【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．
锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得．
【典例5】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°＝________．
(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．
(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
【答案与解析】
(1)1； (2)0＜sadA＜2；
(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．
设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，
∴ ，
∴ CD＝5a-4a＝a，，
∴ ．
【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，
∵AD⊥BC，
∴sinB=，
sinB=sin∠DAC=，
综上，只有C不正确
故选：C．
2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D；
【解析】如图：由勾股定理得，
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选：D．
3. 已知锐角α满足sin25°＝csα，则α＝( )
A．25° B．55° C．65° D．75°
【答案】C；
【解析】由互余角的三角函数关系，，∴ sin25°-sin(90°-α)，
即90°-α＝25°，∴ α＝65°．
4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，
∴ ，∵ ∠OBC＝∠ODC，
∴ ．
5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°，
又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝，
∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，
∴ ．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变
【答案】D；
【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．
7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C；
【解析】由，∴
8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】 ∵ ，∴
题组B 能力提升练
9．如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是 ．
【答案】．
【解析】过点A作AB⊥x轴于B，
∵点A（3，t）在第一象限，
∴AB=t，OB=3，
又∵tanα===，
∴t=．
故答案为：．
10. 用不等号连接下面的式子．
(1)cs50°________cs20° (2)tan18°________tan21°
【答案】(1)＜； (2)＜；
【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cs50°＜cs20°；
当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．
11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为 .
【答案】105°；
【解析】∵ ，
∴ ，
即，．
又∵ ∠A、∠B均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°．
12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．
【答案】；
【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H，
则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴ ．
13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．

第12题 第15题

【答案】2或
【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，
当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时，．

14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．
【答案】或；
【解析】由得，，①当3为直角边时，最小角A的正切值为；②当3为斜边时，另一直角边为，∴ 最小角A的正切值为.
故应填或．
15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________．
【答案】；
【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°，
易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：，
联立可求A点的坐标为(-6，-4)，
∴ ，又OC＝OB＝2，
∴ BC＝．在Rt△ABC中，．
16.若α为锐角，且，则m的取值范围是 ．
【答案】 ；
【解析】∵0＜csα＜1，
∴0＜＜1，
解得.
题组C 培优拔尖练
17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，
求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．
【答案与解析】
过D作DE∥AC，交BC于点E．
∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE．
又∵ DC⊥ AC，DE∥AC，
∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°．
又∵ ∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝DE．
设DE＝k，则CD＝，AC＝2k．
在Rt△ACD中，．
∴ ，．
．

18. 计算下列各式的值．
(1) ；
(2) sin45°+tan45°﹣2cs60°．
(3) ﹣cs60°．
【答案与解析】
解：（1）原式=4×﹣×+×
=1+3．
(2) 原式=×+1﹣2×
=1+1﹣1
=1．
(3) 原式=﹣×
=﹣
=．
19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
(1)求证：AB＝DF；
(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．
【答案与解析】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC，AD＝BC
∴ ∠DAF＝∠AEB
又∵ AE＝BC，
∴ AE＝AD
又∵ ∠B=∠DFA＝90°，
∴ △EAB≌△ADF．
∴ AB＝DF．
(2)解：在Rt△ABE中，
∵ △EAB≌△ADF，
∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，
∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2．
∴ ．
20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
(参考数据：，，．

【答案与解析】
(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．
∵ BD是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°．
在Rt△DBC中，，
∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°．

(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．
过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，
则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°．
在Rt△ABE中，∵ BE，∠BAE＝30°，
∴ ，
∴ ．
答：△ABC面积的最大值是．
课程标准
1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；
2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.
锐角
30°
45°
1
60°