第05讲 基本不等式（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
知识讲解
1．基本不等式
如果，那么（当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数，我们把称为的 ，称为的 .
②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有.
④ 结构特点：和式与积式的关系.
2．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 （简记为：积定和最小）.
（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）.
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） （）；（2） （）；
（3） （）；（4） 或 （）；
（5）
考点一、直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．-1D．2
2．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
1．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
3．（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
考点三、拼凑法求最值
1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则 ．
3．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
考点四、换元法求最值
1．（2022高三上·全国·专题练习）已知，求的最大值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ．
1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为 .
2．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五、二次与二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ．
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ．
2．（2023高三·全国·专题练习）当时，求函数的最小值.
考点六、两次应用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 .
2．（2023·江西·一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
考点七、条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
3．（2023·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若，且，则的最小值是 ．
3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ．
考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知，恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（2023高一上·全国·专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 ．
3．（2023·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数满足.
(1)若，求的最小值；
(2)证明：.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
3．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
考点十、基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北保定·二模）已知，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为2D．的最小值为
3．（2024·浙江·二模）已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最小值D．的最小值为
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数满足，则的最小值是 ．
7．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）若实数满足则的最小值为 ．
10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为 .
一、单选题
1．（2024·北京顺义·三模）设，，.若，，则最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 .
7．（2024·河北·三模）已知函数，若，则当取得最小值时， ．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 ；的取值范围为 ．
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值．
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ．
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ．
9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4分
基本不等式求范围
导数综合
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8分
基本不等式求最值
圆锥曲线大题综合
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6分
基本不等式求最值
正余弦定理解三角形
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分
基本不等式求最值
椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6分
基本不等式求最值
空间向量及立体几何
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分
基本不等式求最值
指对函数的性质及单调性