高中数学压轴题小题专项训练专题59与n个二项式和有关的问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题59与n个二项式和有关的问题含解析答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的展开式中的系数是（ ）
A．60B．80C．84D．120
2．若，且，则自然数n的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知，若，且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设，则的值为（ ）．
A．－384B．729C．345D．384
5．设，若，则实数m可能是（ ）
A．3B．9C．10D．11
6．若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
7．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知的展开式中的系数为，则的展开式中的偶次幂项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知，且存在正整数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．展开式中所有项系数和为126
D．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项
三、填空题
11．已知，则 .
12．在的展开式中，若，则 ， ．
13．已知等差数列的通项公式为，则的展开式中项的系数是数列中的第 项．
14．已知，则 .
15．设，则 ．
16．在的展开式中，若，则 ； .
17．在的展开式中，含项的系数是 .
18．已知，且，那么展开式中的常数项为
19．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
20．若函数，则其最大值为 ．
21．已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为 .
22．若，则 .
23．若，且，则实数的值为 .
24．已知，的展开式中含的项的系数为11，则当 时，含的项的系数有最小值为 .
25．在的展开式中，含的系数是 ；若对任意的，恒成立，则实数λ的最小值是 ．
参考答案：
1．D
【解析】的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可.
【详解】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用.
2．B
【分析】利用二项式定理中的赋值法求解即可.
【详解】令，则
，
所以，，所以．
故选：B.
3．B
【分析】令，结合求出，令，求出，进而可得，再根据二项展开式即可得解.
【详解】对于，
令，得，故，
令，得，
故，
令，得，则等式变为，
则，又，所以，故．
故选：B.
4．C
【分析】赋值法求解，为右式中合并同类项后的一次项系数，两项相加即可.
【详解】为右式中合并同类项后的一次项系数，
而左式的一次项系数为，
令得，
所以原式的值．
故选：C.
5．D
【分析】取，得出，从而得出实数m的值.
【详解】取，得.
则，故D正确，ABC错误；
故选：D
6．C
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由题意得的展开式为，
的展开式为，
要使的展开式中存在常数项，
则或，
所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5.
故选：C.
7．C
【分析】
对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D.
【详解】因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，
又，所以，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确；
对于D项，对（*）两边求导可得，
，当时，，故D项错误.
故选：C.
8．A
【分析】根据条件，利用和的展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
所以，得到，解得，得到，
故的展开式中的偶次幂项的系数之和为，
故选：A.
9．AC
【分析】根据展开式的形式结合二项式定理，逐项赋值判即可.
【详解】①，令，则，故A正确，
易知，故B错误；
令，则，故C正确；
对①两边求导可得：②
令，得，
则，
两式相减得，
所以，故D错误．
故选：AC．
10．AC
【分析】先对等式两边求导，利用赋值法令，再利用错位相减法求和，进而求出的值可判断A；利用赋值法和可判断B和C；根据可知展开式共有7项，得到二项式系数最大的项为第四项，可判断D.
【详解】，
对上式两边同时求导得，
令，有，
令①，则，
所以②，
①-②得，
解得，故A正确；
对于B和C，，
令，得，
令，得，
，故B错误，C正确；
对于D，的展开式共7项，二项式系数为，最大的二项式系数为，
所以二项式系数最大的项为第四项，故D错误.
故选：AC.
11．
【分析】利用二项式定理可得出，令，求出的值，利用赋值法可得出，代值计算即可得解.
【详解】因为
，
所以，，
令，
则，易知，，
.
故答案为：.
12． 4 208
【解析】分别计算出和的展开式中含x的最高次项的系数相乘可得，结合已知展开式中x的最高次为9，可得；先计算的展开式中含的项和的展开式中含的系数，再计算的展开式中含的项和的展开式中含的项的系数可得.
【详解】的展开式中含x的最高次项为，
的展开式中含x的最高次项为，
所以展开式中含x的最高次项为，
所以，解得，
由已知得展开式中x的最高次为9，所以，；
的展开式中含的项为，的展开式中含的项为，
所以，
的展开式中含的项为，的展开式中含的项为，
所以，
所以.
故答案为：①4；②208.
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的性质，解题关键点是熟练掌握并应用二项展开式中的通项公式进行计算，考查了学生的计算能力.
13．20
【详解】试题分析：项的系数为，，则.
考点：二项展开式的系数，数列的项与项数.
14．
【分析】在等式中令，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】在等式中，
令可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.
15．
【分析】将原等式变形，再利用左右边的系数，建立方程，即可得到结论.
【详解】由题意，，
所以，等式左边的系数为，等式右边的系数为，
所以．
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的突破点在于利用等式左、右边的系数相等，建立方程．
16． 5 162
【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合求得，进而求得.
【详解】因为展开式中含的最高次项为展开式中含的最高次项为，所以展开式中含的最高次项为，
所以，解得
因为展开式中的最高次为8，所以，得
因为展开式中含的项为展开式中含的项为，所以
因为展开式中含的项为展开式中含的项为，所以，所以
故答案为：；
17．84
【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果.
【详解】的展开式中，含项的系数为：
，
故答案是：84.
【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.
18．–20
【分析】由题意令，可得，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
【详解】已知，
且，
令，可得，，
那么的展开式的通项公式为，令，求得，
可得展开式中的常数项为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．
19．2022
【分析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可．
【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即，
当时，
，
则的系数是，
故答案为：2022．
20．
【分析】令，应用二项式定理将展开并化简，结合的取值，应用赋值法求最大值.
【详解】令，则，
而，，
两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以，则偶数次幂的最大值为1，
所以最大值为.
故答案为：
21．156
【分析】根据含项的系数为19，得到，然后分或和，且，根据项的系数最小时求解.
【详解】∵，，展开式中，含项的系数为19，
∴.
则当或时，含项的系数为；
当，且时，含项的系数为：
，
，
，
.
∴当或9时，的系数最小，为81.
∴，
展开式中含项的系数为.
故答案为：156
22．
【分析】在已知等式中分别取与，然后作和求得.
【详解】因为，
取得，
取得，
两式子相加得，即.
故答案为：．
23．
【分析】根据，分别令，，得到，求解.
【详解】解：因为，
令，得，
令，得，
所以，
，
则，
所以，解得，
故答案为：
24． 6或5/5或6 25
【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出，分当中有一个为1和当都大于或等于2进行讨论，从而得出答案.
【详解】展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，
展开式中通项公式为：，则含x项的系数为，
由题意可得，
当中有一个为1时，不妨设，则，则的展开式中含的项的系数为，
当都大于或等于2时，则的展开式中含的项的系数为，

，
由于，当或时，此时含的项的系数取最小值25，.
故答案为：6或5；25
25． 120 /
【分析】利用通项公式求出各项的的系数，结合组合数的性质求，由此可得，恒成立等价于恒成立，利用比较法求的最大值，由此可得λ的最小值.
【详解】∵ 的展开式中含的项的系数为，
∴
∴，
∴ ，
∵对任意的，恒成立，
∴ 对任意的，恒成立，
设，
∵，
∴ 当时，，即
当时，，即
当时，，即
∴ 当或时，取最大值，最大值为，
∴ ，
∴ λ的最小值是，
故答案为：；.