2023-2024学年江苏省南京市建邺区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和为180∘B. 打开电视机正在播放广告
C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球D. 抛一枚硬币正面向上
3.如果把分式3xyx+y中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A. 缩小为原来的12B. 扩大为原来的2倍C. 扩大为原来的4倍D. 不变
4.与 11最接近的整数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系.以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是( )
A. 对角线夹角为60∘B. 对角线垂直
C. 对角线与一边夹角45∘D. 对角线相等
6.如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC=1：2：3，若S2=2，则S1+S3=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.若代数式 3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为______.
8.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1∼3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是______.
9.当x ______时，分式x−23x的值为0.
10.如图，在▱ABCD中，∠A−∠B=40∘，则∠A=______ ∘.
11.已知反比例函数的图象经过点P(a,a)，则这个函数的图象位于第______象限.
12.已知关于x的方程mx−1−31−x=1有增根，则m的值是______.
13.一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx中，若x与y的部分对应值如表：
则关于x的不等式mx≤kx+b的解集是______.
14.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB=4，BC=6，则EF的长为______.
15.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为______.
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=3cm.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DEC，直线DA、BE相交于点F.取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为______cm.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：2xx−2=1−12−x.
四、解答题：本题共9小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 18× 3÷ 2；
(2) 8+3 13−1 2+12 3.
19.(本小题5分)
先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−2x+1x+1，其中x= 3+1.
20.(本小题6分)
如图，是由边长为1的小正方形构成的5×4的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图.
(1)在图①中画一个平行四边形，要求一条边长为 10且面积为12；
(2)在图②中画一个矩形，要求一条边长为 5且面积为10.
21.(本小题6分)
在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了______名同学；
(2)条形统计图中，m=______，n=______；
(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；
(4)学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
22.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F.
(1)求证：DE=BF；
(2)若AD=BD，求证：四边形DEBF是矩形．
23.(本小题6分)
某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h.该车间技术革新前每小时加工多少个零件？
24.(本小题8分)
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式.继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法.
示例：将分式3x−2x−1分离常数，则3x−2x−1=3(x−1)+mx−1=3+mx−1.
(1)示例中，m=______；
(2)参考示例方法，将分式2x+5x+1分离常数；
(3)借鉴研究反比例函数的经验，可以对函数y=2x+5x+1的图象和性质进行探索，下列结论正确的是______(填写所有正确的序号)；
①图象与坐标轴没有交点；
②在第一象限内，y随着x的增大而减小；
③图象关于(−1,2)中心对称；
④图象关于直线y=x+3成轴对称；
(4)如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”.直接写出函数y=2x+5x+1图象上所有“整数点”的坐标.
25.(本小题8分)
【感知】如图①，将▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A的对应点A′落在CD边上的点F处，得到折痕DE，连接EF.若AD=4，则四边形AEFD的周长为______；
【探究】如图②，点E、G分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′恰好落在CD边上.
(1)求证：四边形AEA′G为菱形；
(2)若AB=6，CB=3，∠B=120∘，CA′=1，则DG的长为______.
26.(本小题10分)
【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律.
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点.
素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：1u+1v=1f.
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明先取物距u=1.5f，然后画出光路图(如图①)，其中AB为物体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC//光轴，折射光线CA′经过焦点C′，A′B′为AB所成的像.根据光路图①可知，当u=1.5f时，物体经凸透镜折射后成______(填“放大”或“缩小”或“等大”)的倒立实像；
(2)小明又取物距u=2f.
①当u=2f时，v=______(用含有f的代数式表示)；
②当u=2f时，物体经凸透镜折射后成______(填“放大”或“缩小”或“等大”)的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释；
(3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值.当u>f时，请解答下列问题：
①请直接写出v与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图象；
②试说明：u+v≥4f.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、D不符合题意；
B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意．
故选：B.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形、中心对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180∘，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：
3⋅2x⋅2y2x+2y=12xy2(x+y)=6xyx+y，
∴如果把分式3xyx+y中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B.
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵32<11<3.52，
∴3< 11<3.5，
即与 11最接近的整数是3，
故选：B.
运用算术平方根的知识进行估算求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
5.【答案】A
【解析】解：∵对角线夹角为60∘的平行四边形的两条对角线不一定相等，
∴对角线夹角为60∘的平行四边形不一定是矩形，
故A符合题意；
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴B选项正确，
故B不符合题意；
如图，矩形ABCD中，∠BAC=45∘，
∵∠B=90∘，
∴∠BCA=∠BAC=45∘，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴C选项正确，
故C不符合题意；
∵菱形是特殊的平行四边形，且对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等的菱形是正方形，
∴D选项正确，
故D不符合题意，
故选：A.
对角线夹角为60∘的平行四边形，它的两条对角线不一定相等，所以对角线夹角为60∘的平行四边形不一定是矩形，可判断A符合题意；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断B不符合题意；设矩形ABCD中，∠BAC=45∘，则∠BCA=∠BAC=45∘，所以AB=BC，则四边形ABCD是正方形，可判断C不符合题意；由对角线相等的菱形是正方形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形及特殊的平行四边形的定义和判定定理，正确理解平行四边形与特殊的平行四边形之间的联系与区别是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵OA：AB：BC=1：2：3，S2=2，
∴S1=k6，S4=26k=13k，
∴S1+S4=12k，
∴S2+S5=12k，
∴MN平分矩形OBQF，
∴S2=S4=2，S5=S1=k6，
∴13k=2，
∴k=6，
∴S5=S1=1，
∵S1+S5+S3=k，
∴S1+S3=k−S5=6−1=5.
故选：B.
由OA：AB：BC=1：2：3，得S1=k6，S4=26k=13k，S1+S4=12k，所以S2=S4=2，S5=S1=k6，根据13k=2，解得k=6，即得S5=1，进而即可求得S1+S3=k−S5=6−1=5.
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7.【答案】x≤3
【解析】解：由题意得，3−x≥0，
解得x≤3，
故答案为：x≤3.
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8.【答案】0.3
【解析】解：一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1∼3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是：1−12+10+640=0.3.
故答案为：0.3.
先根据频数之和等于总数求出第4组的频数，再根据频率=频数÷总数求解即可．
本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握频数之和等于总数及频率=频数÷总数．
9.【答案】=2
【解析】解：∵分式x−23x的值为0，
∴x−2=0，
解得：x=2.
故答案为：=2.
直接利用分式的值为零则分子为零求出答案即可．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
10.【答案】110
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A−∠B=40∘，
∴2∠A=220∘，
∴∠A=110∘.
故答案为：110.
【分析】
直接利用平行四边形的邻角互补进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确利用平行四边形邻角互补是解题关键．
11.【答案】一、三
【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，
则k=a2>0，
所以这个函数的图象位于第一、三象限．
故答案为一、三．
设反比例函数解析式为y=kx，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2，然后根据反比例函数的性质求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.
12.【答案】−3
【解析】解：去分母得：m+3=x−1，
化简得：m−x+4=0，
分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：m−1+4=0，
解得：m=−3，
故答案为：−3.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，解答本题的关键要明确增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】x≤−1或0【解析】解：由表可知，一个交点坐标为(−1,3)，
反比例函数的解析式为y=−3x，
另一个交点为(3,−1)，
故关于x的不等式mx≤kx+b的解集是x≤−1或0先根据x与y的部分对应值求得反比例函数的解析式，再求另一个交点坐标，即可得出关于x的不等式mx≤kx+b的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数的解析式得出另一个交点是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：连接AF并延长交BC于H，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，
在△BFA和△BFH中，
∠ABF=∠HBF∠AFB=∠HFBFA=FH，
∴△BFA≌△BFH(AAS)，
∴BH=AB=4，
∵AD=DB，AF=FH，
∴DF=12BH=2，
∴EF=DE−DF=1，
故答案为：1.
延长AF交BC于H，根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC=3，AF=FH，证明△BFA≌△BFH，根据全等三角形的性质求出BH，结合图形计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】2 3
【解析】解：过O作OE⊥AD，OF⊥DC，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ADC，
∴OE=OF，∠EOF=90∘，
∵∠MON=90∘，
∴∠MOE=∠NOF，
∵∠OEM=∠OFN=90∘，
∴△OEM≌△OFN(ASA)，
∴S△OEM=S△OFN，
∴S四边形MOND=S四边形OEDF=14S正方形ABCD，
∵四边形MOND的面积是3，
∴正方形ABCD的面积为12，
∴AB= 12=2 3，
故答案为：2 3.
先过O作OE⊥AD，OF⊥DC，然后利用正方形的性质得出△OEM≌△OFN，从而得到四边形MOND的面积与四边形OEDF的面积相等，等于正方形面积的14，即可得到大正方形的面积，从而求出AB的长．
本题考查正方形的性质和全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．
16.【答案】(1+ 132)
【解析】解：如图，取AB的中点H，连接FH，HG，
∵∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=3cm，
∴AB= AC2+BC2= 4+9= 13cm，
∵点H是AB的中点，点G是BC的中点，
∴HG=12AC=1cm，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DEC，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，∠ACD=∠BCE，
∴∠CDA=∠CAD，∠CBE=∠CEB，
∵∠CEB+∠CEF=180∘，
∴∠CDA+∠CEF=180∘，
∴∠DCE+∠AFE=180∘，
∴∠AFE=90∘，
又∵点H是AB的中点，
∴FH=12AB= 132cm，
在△FHG中，FG∴当点H在FG上时，FG有最大值，
∴FG的最大值为(1+ 132)cm，
故答案为：(1+ 132).
由勾股定理可求AB的长，由三角形中位线可求HG的长，由四边形内角和定理可求∠AFE=90∘，由直角三角形的性质可求FH的长，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：(1) 18× 3÷ 2
= 54÷ 2
= 27
=3 3；
(2) 8+3 13−1 2+12 3
=2 2+ 3−12 2+12 3
=(2−12) 2+(1+12) 3
=32 2+32 3.
【解析】(1)利用二次根式的乘除法则运算；
(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x+1x+1−2x+1)÷(x−1)2x+1
=x−1x+1⋅x+1(x−1)2
=1x−1，
当x= 3+1时，
原式=1 3+1−1=1 3= 33.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)如图1，▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
∵AD= 32+12= 10，S▱ABCD=4×3=12，
∴▱ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)矩形EFGH即为所求．
∵EH= 12+22= 5，EF= 42+22=2 5，S矩形EFGH= 5×2 5=10，
∴矩形EFGH即为所求．
【解析】(1)根据勾股定理及平行四边形的面积作图；
(2)根据矩形的面积求出高，再作图．
本题考查了作图-应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的面积公式和性质是解题的关键．
21.【答案】(1)200；
(2)40， 60 ；
(3)72；
(4)由题意，得5000×30200=750(册).
答：学校购买其他类读物750册比较合理．
【解析】解：(1)根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，
故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人，
故答案为：200；
(2)根据科普类所占百分比为：30%，
则科普类人数为：n=200×30%=60人，
m=200−70−30−60=40人，
故m=40，n=60；
故答案为：40，60；
(3)艺术类读物所在扇形的圆心角是：40200×360∘=72∘，
故答案为：72；
(4)见答案．
【分析】
(1)结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；
(2)利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，即可得出m的值；
(3)利用360∘乘以对应的百分比即可求解；
(4)根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量；
此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠CBD，
∴∠EDB=∠DBF，
∴DE//BF，
又∵AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF.
(2)∵AD=BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质得出∠ADB=∠CBD，由角平分线的定义得出∠EDB=∠DBF，则DE//BF，可证出结论；
(2)由等腰三角形的性质得出DE⊥AB，则可得出结论．
23.【答案】解：设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，
由题意得：1500x−15002.5x=18，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，且符合题意，
答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．
【解析】设车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，由题意：当再加工同样多的1500个零件时，用时比以前少18h.列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24.【答案】1 ②③④
【解析】解：(1)∵3x−2x−1=3(x−1)+1x−1=3+1x−1，
∴示例中，m=1；
故答案为：1；
(2)2x+5x+1=2(x+1)+3x+1=2+3x+1；
(3)y=2x+5x+1=2+3x+1，
①∵x=0时，y=5，
∴图象与y轴交于点(0,5)，故①错误；
②∵x>0时，y>0，且y随x的增大而减小，
∴在第一象限内，y随着x的增大而减小，故②正确；
③∵函数y=3x关于原点中心对称，而函数y=2+3x+1是由函数y=3x向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，
∴图象关于(−1,2)中心对称，故③正确；
④∵函数y=3x关于直线y=x对称，而函数y=2+3x+1是由函数y=3x向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，
∴图象关于直线y=(x+1)+2，即y=x+3成轴对称，故④正确．
故答案为：②③④；
(4)y=2x+5x+1=2+3x+1，
当x+1=1或−1或3或−3，即x=0或−2或2或−4时，
y=5或−1或3或1，
∴函数y=2x+5x+1图象上所有“整数点”的坐标为(0,5)，(−2,−1)，(2,3)，(−4,1).
(1)根据示例计算即可得出答案；
(2)根据示例计算即可得出答案；
(3)根据函数的图象和性质分别求解即可．
本题考查反比例函数的性质，一次函数的应用，坐标与图形变化-对称，坐标与图形变化-旋转，能够理解题意，根据已知条件将式子进行正确的分解，结合题中定义做出合理的推理分析是解题的关键．
25.【答案】161613
【解析】【感知】解：如图1：
∵▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，
∴AD=DF，AE=EF，∠AED=∠FED，
∵DF//AE，
∴∠FDE=∠AED，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=EF，
∴AD=DF=EF=AE=4，
∴四边形AEFD的周长为16，
故答案为：16；
【探究】(1)证明：∵将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D，
∴AE=AE，∠AEG=∠AEG，
∵∠A′GE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AG=A′E，
∴AE=A′G，
∵AE//AG，
∴四边形AEAG为平行四边形，
又∵AE=AE，
∴四边形AEAG为菱形；
(2)解：过G作GH⊥AD交AD延长线于H，如图2：
设DG=x，则A′G=CD−A′C−DG=6−1−x=5−x，
∵四边形AEA′G为菱形，
∴AG=A′G=5−x，
∵∠ADC=∠B=120∘，
∴∠HDG=60∘，
∴DH=12DG=12x，HG= 3DH= 32x，
在Rt△AHG中，AH2+HG2=AG2，
∴(3+12x)2+( 32x)2=(5−x)2，
解得x=1613，
∴DG=1613，
故答案为：1613.
【感知】根据▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，得AD=DF，AE=EF，∠AED=∠FED，而∠FDE=∠AED，即得∠FED=∠FDE，故DF=EF，可知四边形AEFD的周长为16，
【探究】(1)由将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，得AE=A′E，∠AEG=∠A′EG，即得∠A′EG=∠A′GE，A′G=A′E，故AE=A′G，而AE//A′G，从而可证四边形AEA′G为菱形；
(2)过G作GH⊥AD交AD延长线于H，设DG=x，则A′G=CD−A′C−DG=6−1−x=5−x，可知AG=A′G=5−x，由∠ADC=∠B=120∘，得∠HDG=60∘，有DH=12DG=12x，HG= 3DH= 32x，在Rt△AHG中，(3+12x)2+( 32x)2=(5−x)2，得x=1613，进而得解．
本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，菱形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
26.【答案】放大 2 f 等大
【解析】解：(1)当u=1.5f时，物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像；
故答案为：放大；
(2)①∵1u+1v=1f，
∴12f+1v=1f，
∴v=2f，
故答案为：2f；
②等大；
如图，
理由：∵u=2f，v=2f，
∴u=v，即BO=B′O，
∵AB⊥BB′，A′B′⊥BB′；
∴∠ABO=∠A′B′O=90∘，
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴△AOB≌ΔA′OB′(AAS)，
∴AB=A′B′；
∴u=2f时，呈等大的像；
(3)①v=ufu−f，
列表：
描点、连线：
如图③所示，
②理由：由1u+1v=1f得：u+vuv=1f，
∴f=uvu+v，
∴u+v−4f=u+v−4uvu+v=(u−v)2u+v≥0，
∴u+v≥4f.
(1)根据图像直接回答；
(2)①把u=2f代入1u+1v=1f即可得到结论；
②根据题意画出光路图，由u=2f，v=2f，得到u=v，即BO=B′O，根据全等三角形的判定和性质定理得到AB=A′B′；于是得到u=2f时，呈等大的像；
(3)①列表：描点、连线画出图象即可；
②由1u+1v=1f 得到u+vuv=1f，求出f=uvu+v，于是得到结论．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，凸透镜成像，正确地画出光路图和函数的图象是解题的关键．x
…
−3
−2
−1
1
2
3
…
y=kx+b
…
5
4
3
1
0
−1
…
y=mx
…
1
32
3
−3
−32
−1
…
u
…
43f
32f
2f
3f
4f
…
v
…
4f
3f
2f
32f
43f
…