河南鹤壁高中2025届高三上学期第一次综合检测（7月）数学

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注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无
效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
A.3 B.43 C.7 D.11
2.设 a = lg 0.5,b = 0.3−0.4 ,c = 0.5−0.4 ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
0.4
A.b > c > a B.c > b > a C.b > a > c D.c > a > b
3.已知 A，B，C，D 四点均在半径为 R （ R 为常数）的球 O 的球面上运动，且
5.设 z1 ， z2 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
司1.已知 a，b∈R，若
a + b = （ ）
4a + b ⋅ a + 4b
2 2 2 2
a + b
2 2
的最大值为 m，且不等式 x2 − ax + b < 0的解集为 (1, 2m)，则
AB = AC AB ⊥ AC AD ⊥ BC ，若四面体 ABCD的体积的最大值为
, ,
4
3
，则球 O 的表面积为（ ）
A.2π B.3π C.
9π
4
D.9π
4.当
x ∈  
0,
π
 
 2 
x
时， asin2x ≥ 2sin 1−sinx 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
2
A.(0,1] B.0, 2 −1 C. 2 −1,+∞) D.
1 +∞
,

2 
A.若 z = z1 ⋅ z2 ，则 | z |=| z |⋅| z | B.若
1 2
z = z ⋅ z ，则
1 2
z = z ⋅ z
1 2
C.若 | z1 |=| z2 |，则
z = z D.若 | z =| z ，则
2 2
1 | 2 |
1 2
z ⋅ z = z ⋅ z
1 1 2 2
概率的 2 倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
8.已知函数 f (x) 的导函数为 f ′ (x) ，记 f x = f ′(x)， f x = f ′ (x) 
1( )
2 ( ) 1 ,
f + x = f ′(x) (n∈ N∗ ).若 f (x) = xsin x，则 ( ) ( )
1( ) f x + f x = （ ） n n 2019 2021
A.−2 cs x B.−2sin x C.2 cs x D.2sin x
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，若只有 2 个正确选项，每选对 1 个得 3
分；若只有 3个正确选项，每选对 1个得 2分.
A.函数 f (x)一个周期是 π
 − π + π  ∈
B.函数 f (x)递减区间为 ( )
kπ ,kπ k Z
 2 2 
C.函数 f (x)有无数多个对称中心
D.过点 (2, 0)作曲线 y = f (x)的切线有且只有一条
C. f (x)的图象关于直线 π
x = 对称
3
11.在三棱锥 P − ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC, AB ⊥ BC, AB = BC = 2,PA = 2 3 ，点 D 是三角形 PAB内的动
点（含边界）， AD ⊥ CD ，则下列结论正确的是（ ）
B.三棱锥 C − ABD 的体积最大值是 2
司6.重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为
3
5
，周二去味园的概
率为
3
10
，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的
A.
9
70
B.
9
50
C.
3
40
D.
3
14
7.在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，
AB = 2AD = 2AA ，点 M 是线段
1
C D 上靠近
1 1
D 的四等分点，点 N 是
1
线段
CC 的中点，则平面 AMN 截该长方体所得的截面图形为（ ）
1
9.已知函数 ( )
f x
x sin2x
= −
2 1+ cs2x
，则（ ）
10.已知函数 f (x)的图象是由函数 y = 2sin xcs x 的图象向右平移 π
6
A. f (x)的最小正周期为 π
个单位得到，则（ ）
B. f (x)在区间
− π π
,
 
 6 3
上单调递增
D. f (x)的图象关于点
 π 
,0
 对称
 6 
A.PB 与平面 ABC 所成角的大小为
π
3
D.异面直线 CD 与 AB 所成角的余弦值范围是 [ 5 , 2 )
10 2
三、填空题：本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分.
12.对于函数 f (x)= csx − kx(x ≥ 0)，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为 α ，当该
13.已知 P 是 ABC 内一点， ∠ABP = 45° ,∠PBC = ∠PCB = ∠ACP = 30° ，则 tan ∠BAP = .
14.下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，每行的第 n
个数从上到下形成以 2n−1 为首项，以 3 为公比的等比数列，则该数阵第 n行 ( )
n∈N* 所有数据的和
S = .
n
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在某项比赛中，7 位专业评委和 7 位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面
是两组评委的打分：
A 组 42 45 48 53 52 47 49
B 组 48 52 70 66 77 49 51
(1)选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分
数；
(2)现从 A 组评委所打分数中随机抽取 2 个分数，记为 a ， b ，从 B 组评委所打分数中随机抽取 2
个分数，记为 c ，d .记事件 M : a ， b 中有一个数据为 48，事件 N : a + b =100或 c + d =100 ，判断事
件 M 与事件 N 是否相互独立.
司C.D 点的轨迹长度是
2π
3
函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为 β ，求 ( ) ( )
1+α2 sin2α 1+ β 2 cs2β
+ =
α 1− β
2
.
(1)求 ∠ DBC 的大小以及线段 AB 的长；
(2)求四边形 ABCD 面积的取值范围.
17.（15分）如图，在四棱锥 − 中，△ 为正三角形，底面 为正方形，平面
⊥ 平面 ，点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 .
（1）求证： //平面 ；
（2） 为平面 内一动点， 为线段 上一点；
①求证： ⊥ ；
②当 + 最小时，求 的值.
司16.（15分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，圆 O 的半径 R = 2 ，
π
∠DAB + ∠ABC = ， CD = 2 .
2
18.（17分）已知抛物线 E : y = x2 ，过点 T (1, 2)的直线与抛物线 E 交于 A, B 两点，设抛物线 E 在点
(1)证明：点 P 在定直线上；
(2)若 PMN 面积为 2 ，求点 P 的坐标；
(3)若 P,M , N,T 四点共圆，求点 P 的坐标.
19.（17分）设函数 f (x)的导函数为 f ′(x), f ′(x)的导函数为 f ′′(x), f ′′(x)的导函数为 f ′′′(x).若
f ′′(x ) = ，且 f ′′′(x )≠ ，则 (x f (x ))为曲线 y = f (x)的拐点.
0 0 0 0 0 , 0
(1)判断曲线 y = x6 是否有拐点，并说明理由；
极值.
司A, B 处的切线分别为
l 和
1
l ，已知
2
l 与 x 轴交于点
1
M l 与 x 轴交于点 N ，设
,
2
l 与
1
l 的交点为 P .
2
f x = ax5 −5x3 ，若
(2)已知函数 ( )
  
2 2
 , f  
  
2 2
 
为曲线 y = f (x)的一个拐点，求 f (x)的单调区间与
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
当且仅当 4a2 + b2 = a2 + 4b2 ，即 a2 = b2 时等号成立，
所以，不等式 x2 − ax + b < 0的解集为 (1, 5).
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，
1和 5是方程 x2 − ax + b = 0的两个解，
故选：D.
2.【答案】A
因为 y = x0.4 在 (0,+∞)上单调递增，
b > c >1，
所以 b > c > a .
故选：A.
3.【答案】D
【解析】因 AB = AC, AB ⊥ AC,取 BC 中点为 N，则 AN ⊥ BC ，又 AD ⊥ BC ， AN, AD ⊂ 平面 AND ，
AN  AD = A ，
则 BC ⊥ 平面 AND ， BC ⊂面 ABC ，则平面 ABC ⊥ 平面 AND ，要使四面体 ABCD的体积最大，则有
DN ⊥ 平面 ABC ，且球心 O 在 DN 上.
1 1  1 
设球体半径为 R，则 OA = OD = R ，则 = ⋅ =  ⋅ ⋅( + )
V − S DN BC AN R ON ，
D ABC ABC
3 3  2 
又注意到 BC = 2AN ， AN2 = OA2 −ON2 = R2 −ON2 ，则
1 1 1
V − = S ⋅ DN = AN2 ⋅(R + ON )= (R + ON )2 (R −ON ).
D ABC ABC
3 3 3
1 1 1  2R + 2ON + 2R − 2ON  1  4R 
3 3
注意到 ( + ) ( − )= ( + )( + )( − )≤ ⋅  = ⋅ 
R ON R ON R ON R ON 2R 2ON .
2
3 6 6 3 6 3
   
司【解析】根据不等式
xy
x y a + b a + b
2 2 2 2 2 2
+ 2 2 2 2 4 4 5 2 2
+ ⋅ + ≤ + = + ，
≤ 可得 ( )
4a b a 4b a b
2 2 2
所以，
4a b a 4b 5
2 2 2 2
+ ⋅ + ≤
a + b 2
2 2
，所以
5
m = .
2
所以有
1+ 5 =
a
 × =

1 5 b
，所以
a =
 =

b
6
5
， a + b =11.
【解析】因为 y = lg0.4 x 在 (0,+∞)上单调递减，所以
lg 1< lg 0.5 < lg 0.4 ，即 0 < a 0.5−1 >1，所以 ( ) ( )
1 10 1
0.4 0.4
0.4 0.4
0.3 , 0.5 2 0.3− > 0.5− >1 ，即 0.3−0.4 > 0.5−0.4 >1，故
1 1 0.4
3
则球的表面积为 4πR2 = 9π .
故选：D
4.【答案】D
x x x x
【解析】由 asin2x ≥ 2sin 1−sinx ，可得 2asin xcs x ≥ 2sin (sin − cs )2 ，
2 2 2 2
x x x
可得 2asin xcs x ≥ 2sin (cs −sin )，
2 2 2
x x x x x x x x x
所以 4asin cs (cs + sin )(cs −sin ) ≥ 2sin (cs −sin )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
即 2acs (cs + sin ) ≥1，
2 2 2
故选：D.
5.【答案】C
司当且仅当 2R − 2ON = R + ON ，即 R = 3ON 时取等号.又四面体 ABCD的体积的最大值为
4
3
，则
3
1  4R  4 3
⋅  = ⇒ =
R
6  3  3 2
.
因为
x ∈  
0,
π
 
 2
，可得
x ∈ 
π
0,
 
2  4
x < x ，
，所以 sin cs
2 2
又因为
x x x x x x x x
sin x = sin cs , cs x = cs −sin = (cs + sin )(cs −sin ) ，
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
因为
x x x 2 x x x π
2 cs (cs + sin ) = s + 2sin cs = sin x + cs x +1= 2 sin(x + ) +1，
2c
2 2 2 2 2 2 4
因为
x ∈  
0,
π
 
 2
，可得
x + ∈  
π π 3π
, x + ∈ ，
，所以 sin( π) [ 2 ,1]
 
4 4 4 
4 2
则
π
2 sin(x + ) +1∈[2, 2 +1]，则
4
1 1 1
∈[ , ]
+ π + 2 +1 2 ，
2 sin(x ) 1
4
x
要使得不等式 asin2x ≥ 2sin 1−sinx ，即
2
a ≥
1
+ + 恒成立，
π
2 sin(x ) 1
4
所以
1
a ≥ ，即实数 a 的取值范围为
2
1 +∞
,

2 
.
对于 A， ( ) ( )
z = z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac −bd + bc + ad =
2 2
(ac) + (bd) + (bc) + (ad) ，
2 2 2 2
z ⋅ z = a + b ⋅ c + d = ac + bd + bc + ad ，
2 2 2 2
1 2
( )2 ( )2 ( )2 ( )2
所以 z = z1 ⋅ z2 ，故 A 正确；
对于 B， z = (a + bi)(c + di) = (ac −bd) + (bc + ad)i ， z = (ac −bd) − (bc + ad)i，
z1 ⋅ z2 = a −bi c − di = ac −bd − bc + ad i ，
( )( ) ( ) ( )
对于 C， 2 2 2 i
z1 = a + bi = a + b ， z = c + d = c2 + d2 ，
故选 C.
6.【答案】A
【解析】设“小唐同学周一去味园”为事件 A，设“小唐周二去味园”为事件 B，则“小唐同学
周一、周二都去味园”为事件 AB，
由全概率公式可知： P(B) = P(B | A)P(A)+ P(B | A)P(A)，
3 3 9
所以 ( ) ( )
P(AB) = P B | A P A = × = .
14 5 70
故选：A
7.【答案】C
【解析】延长 MN 交 DC 的延长线于点 F ，连接 AF 交 BC 于点 H ，连接 NH ，
延长 NM 交 DD1 的延长线于点 E ，连接 AE 交 A1D1 于点 G ，连接 GM ，
则五边形 AHNMG 为平面 AMN 截该长方体所得的截面图形，
司【解析】设 z1 = a + bi ，
z = c + d ，其中 a,b,c,d ∈R .
2 i
所以
z = z ⋅ z ，故 B 正确；
1 2
由 | z1 |=| z2 |，得
a2 + b2 = c2 + d2 .
因为
z2 = a2 −b2 + ab ， 2 2 2
1 2 i z = c − d + cd ，
2 2 i
所以
z2 = z2 不一定成立，如
1 2
z1 =1，
z2 = i ，
此时 | z1 |=| z2 |，而
z1 = 1， 2
2
z2 = −1，即 z2 ≠ z2 ，故 C 错误；
1 2
对于 D，由 | z1 |=| z2 |，得
a2 + b2 = c2 + d2 ，
z ⋅ z = a + b a −b = a2 + b2 ，
1 1 ( i)( i)
z2 ⋅ z2 = (c + di)(c − di) = c2 + d2 ，所以
z ⋅ z = z ⋅ z ，故 D 正确﹒
1 1 2 2
由题意可知：
3 3
P A = P B = ，且 P(B| A) = 2P(B| A)，
( ) , ( )
5 10
即
3 = 4 P B A + 3 P B A ，解得 ( | ) 3
( | ) ( | )
P B A = ，
10 5 5 14
不妨设 AB = 2AD = 2AA1 = 4，又点 M 是线段
C D 上靠近
1 1
D 的四等分点，点 N 是线段
1
CC 的中点，
1
所以 C1M = 3 ，
D M = ，
1 1
C1N = NC =1，所以 CF = 3，又 CF//AB ，
即五边形 AHNMG 为平面 AMN 截该长方体所得的截面图形.
故选 C.
8.【答案】D
【解析】
解： f (x) = xsin x，
则 f x = f ′(x) = x + x x ，
1( ) sin cs
f x = f ′ (x)= x + x − x x = x − x x ，
2 ( ) 1 cs cs sin 2 cs sin
f x = f ′ (x)= − x − x − x x = − x − x x ，
3 ( ) 2 2sin sin cs 3sin cs
f x = f ′ (x)= − x − x + x x = − x + x x ，
4 ( ) 3 3cs cs sin 4 cs sin
f x = f ′ (x)= x + x + x x = x + x x ，
5 ( ) 4 4sin sin cs 5sin cs
所以猜想： f − x = ( k − ) x + x x ，
4k 3 ( ) 4 3 sin cs
f4k−2 (x) = (4k − 2)cs x − xsin x ，
f4k−1(x) = −(4k −1)sin x − xcs x ，
f4k (x) = −4k cs x + xsin x ，
由 2019 = 4×505−1， 2021= 4×506 −3 ，
所以 ( )
f2019 x = −2019sin x − xcs x ，
f (x)= x + x x ，
2021 2021sin cs
f (x)+ f (x)= x ，
2019 2021 2sin
故选：D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，若只有 2 个正确选项，每选对 1 个得 3
分；若只有 3个正确选项，每选对 1个得 2分.
9.【答案】BCD
司所以
AB BH 4
= = ，又 BH + CH = 2，所以
CF CH 3
6
CH = ，
7
D M ED
1 ED
= ，即 = 1
又 1 1
7 ED + 2
DF ED
1
，解得
1
ED = ，
1
3
1
3
GD ED GD =
又 1 = 1 ，即 1
AD ED
2 2
+
1
3
，解得
2
GD = ，符合题意，
1
7
x 2sin xcs x x
f (x) = − = − tanx ，
2 2 cs x 2
2
对于 A，显然 f (0) = 0， (π) π
f = ，即 f (π) ≠ f (0) ，A 错误；
2
x
对于 D，设过点 (2,0) 的直线与曲线 y = f (x) 相切于点 P x 0 − x ，
( , tan )
0 0
2
无零点，
当 x ≥ π 时， 3− 2x ≤ 3− 2π < −3，则 g(x) < 0，即函数 g(x) 在 [π, + ∞) 上无零点，
确.
故选：BCD
10.【答案】AD
司【解析】函数
f (x)
x sin2x
= −
2 1+ cs2x
中， cs 2x ≠ −1，即 2x ≠ −π + 2kπ,k ∈ Z ，解得 π π, Z
x ≠ − + k k ∈ ，
2
x
对于 B，由 f (x) = − tanx ，求导得
2
1 1
′ = − < ，
f (x) 0
2 cs x
2
因此函数 f (x) 递减区间为
π π
(kπ − ,kπ + )(k ∈ Z) ，B 正确；
2 2
对于 C，由
kπ − x x kπ
f (kπ − x) + f (x) = − tan(kπ − x) + − tan x = ,k ∈ Z ，
2 2 2
得函数 f (x) 图象关于点
kπ kπ
( , )(k ∈Z)成中心对称，有无数多个对称中心，C 正确；
2 4
则切线方程为
1 1 x sin x 1 1x  
y ( tanx ) ( )(x x ) 0 0 0 − + =  −  −
− − = − − ，则 ( )
0 − + =  −  −
2 x
，
0 2 0 0
2 2 cs x 2 cs x 2 cs x
2
 
0 0 0
整理得 sin 2x0 − cs 2x0 = 2x0 −3，即
π
2sin(2x − ) = 2x −3，
0 0
4
令函数
π
g(x) = 2sin(2x − ) − 2x + 3 ，
4
当
x ≤ 时， 3 2 3 π 2
π
− x ≥ − > ，而
4 2
 π 
− 2 ≤ 2sin2 −  ≤ 2
x
 4 
，则 g(x) > 0 ，即函数 g(x) 在 ( , π]
−∞ 上
4
当
π
4
< < 时， g′(x) = 2 2cs(2x − π) − 2，又 π < 2 − π < 7π ，则 cs(2 π) 2
x − ≤ ，
π x 1 x − g < ，因此函数 g(x) 在 (π ,π)
( ) 0, (π) 0 上有唯一零点，
4 4
从而方程
π
2sin(2 ) 2 3
x − = x − 有唯一实根，过点 (2, 0)作曲线 y = f (x)的切线有且只有一条，D 正
0 0
4
【解析】因为 y = 2sin xcs x = sin 2x ，向右平移 π
6
f x =  x − π  =  x − π 
个单位得 ( )
，则最小
sin 2 sin 2
 6   3 
正周期为
2π
T = = ，故 A 选项正确；
π
2
− + +  ∈
π 5π
kπ, kπ ,k Z
 
，故 B 选项错误；
 
12 12
故选：AD
11.【答案】ACD
【解析】如图，把三棱锥 P − ABC 补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系 A− xyz ，
PA
对于 A，由 PA ⊥ 平面 ABC ，得 ∠PBA是 PB 与平面 ABC 所成的角， tan ∠PBA = = 3 ，
AB
对于 C，由 AD ⊥ CD ，得 D 点的轨迹是以线段 AC 为直径的球面与 PAB 相交的一段圆弧及点 B ，
令 AC, AB 的中点分别为 O,E ，则 OE ⊥ 平面 PAB， OE =1,OD = 2 ，于是 DE =1，
对于 B，由选项 C 知，当 DE ⊥ AB 时， D 点到平面 ABC 距离最大，最大距离为 1，因此三棱锥
1 1 2
C − ABD 的体积 V − =V − ≤ × × × × = ，B 错误；
2 1 2 C ABD D ABC
3 2 3
于是 CD = (−1− csθ,−2,sinθ) ，又 AB = (2, 0, 0) ，令异面直线 CD 与 AB 所成的角大小为 ϕ ，
因此 5 2
≤ t < ，D 正确.
10 2
故选：ACD
司令
− π + ≤ − π ≤ π + ，解得 π π 5π π
2kπ 2x 2kπ − + k ≤ x ≤ + k ，所以单调递增区间为
2 3 2 12 12
令
x − π = π + k 解得 5π kπ , Z
2 π, x = + k ∈ ，故 C 选项错误；
3 2 12 2
令
π
2x − = kπ,解得
3
π
x = + k k ∈ 所以函数 f (x)的对称中心为
π, Z
6
 π +  ∈
kπ,0 ,k Z，故 D 选项正确.
 
 6 
因此
π
∠PBA = ，A 正确；
3
显然 D 点所在圆弧所对圆心角大小为
2π
3
，长度是
2π
3
，C 正确；
对于 D，设
2π
∠AED =θ 1时， f x 0 ，则 f (x)的单调递增区间为 (−∞,−1),(1,+∞)；
当 −1≤ x ≤1时， f ′(x)≤ 0，且 f ′(x)= 0不恒成立，则 f (x)的单调递减区间为 [−1,1]，
故当 x = −1时， f (x)取得极大值，且极大值为 2 ；
当 x =1时， f (x)取得极小值，且极小值为 −2.
司整理得
 2   2  ，解得： k = 0 或 k = 4.
(k 2) 8 (k 2) 4 0
（3）抛物线焦点
F   M  
0, ，由 1 ,0
1 x
得直线 MF 斜率
 
4  2 
k
MF
1 1
= − = − ，
2x k
1 MP
由
7 4
k = ，得直线 TP 的方程为： ( )
y = − x −1 + 2 .
TF
4 7
联立两直线方程
 = − 4 − +
( )
y x 1 2
 7 ，解得
 = −

y 2x 2
 = 16
x



9
14
 =
y

 9
，
所以点 P 的坐标为
16 14 
,
 
.
 
9 9
因为
  
2 2
为曲线 y = f (x)的一个拐点，所以
, f
  
  
2 2
 
f
 
2
′′  = 0，


2
 
所以
1
2a× −3 = 0，解得 a = 3 ，经检验，当 a = 3 时，
2
f
 
2
′′′   ，
≠ 0

2
 