高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.3 向量的内积精品当堂达标检测题

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.3 向量的内积精品当堂达标检测题，文件包含专题04平面向量的内积原卷版docx、专题04平面向量的内积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

知识总结：
一、向量的夹角
对于非零向量和 , 作,称射线成的夹角为向量和 的夹角，记作
当和同向时，当和反向时，，因此平面向量夹角的范围为
二、向量的内积
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的内积（或数量积），
记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
三、内积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；②；③．
四、内积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
题型总结：
【题型1 平面向量的内积概念】
【题型2 平面向量的内积的运算】
【题型一】 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量，且两向量夹角为，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用数量积的定义即可得到答案.
【详解】，
故选：A.
【典例2】已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据数量积公式和运算律计算即可.
【详解】.
故选：D.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．
(2)|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．
【典例1】已知，均为单位向量，且与夹角为，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】先求，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；
因为，所以.
故选：D.
【典例2】已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A．2B．3C．6D．12
【答案】B
【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．
【详解】依题意，
.
故选：B.
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.
【详解】∵，，
∴.∵，
∴，，则，
设向量与的夹角为，与反向,则.
故选：C.
【典例2】已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．45°B．135°C．60°D．120°
【答案】B
【分析】根据得到，结合即可得到，然后求即可得到与的夹角.
【详解】根据题意，设与的夹角为θ，
因为，，
所以，变形可得．
则．
又由，所以θ＝135°．
故选：B．
牛刀小试：
一、单选题
1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
2．已知向量和的夹角为，且，则（ ）
A．-10B．-7C．-4D．-1
【答案】D
【解析】根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可.
【详解】＝＝
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算化简的能力，属基础题.
3．有4个式子：①；②；③；④；
其中正确的个数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④.
【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误；
由，所以，即③正确；
由，得不一定成立，故④错误.
故选C
【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型.
4．设为向量, 则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】为向量, ,向量的夹角为或则“”是 ”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.
【考点定位】本题考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识. 属于容易题.
5．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积公式，结合运算律，即可求解.
【详解】，
因为为单位向量，
所以，
因为，
所以.
故选：D
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，即可求解.
【详解】由且，可得，所以.
故选：D.
7．平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B
8．在中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理求出，再运用定义法求数量积.
【详解】在中，根据余弦定理得，，
所以.
故选：C
9．已知，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，，且与的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，.
故选：A.
10．已知，，与的夹角为60°，则（ ）
A．B．7C．3D．
【答案】A
【分析】运用平面向量数量积、模的运算公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
11．已知平面向量，，且，则（ ）
A．10B．14C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，根据已知可得，然后根据数量积的运算律，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以有，
所以，
所以，.
故选：B.
12．在中，，且，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.
【详解】由，
故.
故选：A
13．在四边形中，若，且，则该四边形是（ ）
A．正方形B．菱形
C．矩形D．等腰梯形
【答案】C
【分析】由结合平面向量数量积可得出，再结合可得出结论.
【详解】因为，则，
即，整理可得，
易知、均为非零向量，则，
因为，则且，
所以，四边形为矩形.
故选：C.
14．已知向量满足，则（ ）
A．8B．C．D．4
【答案】D
【分析】根据模长平方可得.
【详解】因为，
所以，
又因为
所以，
所以.
故选：D.
15．已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，展开计算即可.
【详解】
.
故选：C.
16．若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.
【详解】因为，
所以，即，
即，又，
结合已知条件可知，
故.
故选：C.