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高考物理一轮复习第十章第二节带电粒子在磁场中的运动课件
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这是一份高考物理一轮复习第十章第二节带电粒子在磁场中的运动课件，共60页。PPT课件主要包含了洛伦兹力及其特点，qvB，洛伦兹力的方向，反方向，B和v，v与B垂直甲，图10-2-1，匀速直线，匀速圆周，F＝qvB等内容，欢迎下载使用。
1.定义：运动电荷在磁场中受到的力，叫做洛伦兹力.2.洛伦兹力的大小.(1)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向垂直时，电荷所
受洛伦兹力 F洛＝____________.
(2)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向平行时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝________.(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝________.
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向，即正电荷运动的方向同向或负电荷运动的________.(2)方向特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即 F洛垂直于________决定的平面.如图 10-2-1 所示：
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.速度与磁场平行时：带电粒子不受洛伦兹力作用，在匀强磁
场中做__________运动.
2.速度与磁场垂直时：带电粒子受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做__________运动.
3.半径和周期公式：(v⊥B).
(1)基本公式：________.
(2)导出公式：半径 R＝________；周期 T＝________.
，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期
【基础自测】1.判断下列题目的正误.
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用.(
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向
T 与 v 成反比.(
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与
带电粒子的比荷有关.(
(5)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向开始运动，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图 10-2-2 所示，
)A.电子将向右偏转，速率不变B.电子将向左偏转，速率改变C.电子将向左偏转，速率不变
D.电子将向右偏转，速率改变答案：A
3.(2022 年广东肇庆二模)等边三角形的三个顶点上垂直纸面放置 3 根长直导线，导线中通以大小相同的电流，电流方向如示意图所示，一束带正电的粒子垂直纸面向里射入三角形中心，关
于粒子束所受洛伦兹力方向，下列示意图正确的是(
解析：带正电的粒子束可以等效为垂直纸面向内的电流，根据同向电流相吸，异向电流相斥，可以判断粒子受力方向向下，A 正确.
磁场中做匀速圆周运动，则(
A.氕核和氘核做圆周运动的周期之比为 2∶1B.若入射速率相等，氕核和氘核做圆周运动的角速度相同C.若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周
半径相等D.增大入射速率，它们的周期也会增大
速度大小之比为 2∶1，与入射速率无关，B 错误.由 r＝
粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝
v qBr m
量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周半径相等，C 正确.入射速率与周期无关，所以增大入射速率，它们的周期也不变，D 错误.答案：C
热点 1 洛伦兹力的特点[热点归纳]
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.
(4)根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定先区分正、负
(5)洛伦兹力一定不做功.
2.洛伦兹力与电场力的比较：
3.洛伦兹力与安培力的联系及区别.
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.
考向 1 洛伦兹力的方向【典题 1】(2023 年山西卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 P 上的 a 和 b两点，a 点在小孔 O 的正上方，b 点在 a 点的右侧，如图 10-2-4
强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(
A.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里B.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外C.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里D.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向外
解析：假设电子打在 a 点，则有eE＝evB，由于 α 粒子的速度小于电子的速度，所以 2eE＞2ev′B，α 粒子经过电磁叠加场向右偏转，即其所受合力方向水平向右，即所受电场力方向水平向右，由于 α 粒子带正电，所以电场方向水平向右，电子所受电场力方向水平向左，由于电子所受洛伦兹力和电场力等大反向，故磁场方向垂直纸面向里；假设电子打在 b 点，同理可得，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，C正确.
考向 2 洛伦兹力与电场力的比较【典题 2】(多选)如图 10-2-5 所示，带电小球 a 以一定的初速度 v0 竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ha；带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hb；带电小球 c 在水平方向的匀强电场以相同的初速度 v0竖直向上抛出，上升的最大高度为 hc，不计空气阻力，三个小球
A.他们上升的最大高度关系为 ha＝hb＝hcB.他们上升的最大高度关系为 hb
在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，它们上升的最大高度关系为 ha＝hc，带电小球 b 在水平方向的匀强磁场中以相同的初速度v0 竖直向上抛出，受到与速度垂直的洛伦兹力作用，上升的最大高度为 hb 一定减小，即它们上升的最大高度关系为 hb
考向 3 洛伦兹力作用下的动态分析问题【典题 3】如图 10-2-6 所示，一质量为 m、带电量为＋q 的小物块静止放在绝缘水平地面上，地面上方存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，某时刻物块获得一初速度 v0 开始向右运动，运动距离 x 后停止.已知物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为 g，此过程中物块与地面之间由于摩擦产生的热
解析：物块受到竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、支持力，还受到水平向左的摩擦力，物体运动过程中只有摩擦力做正确.答案：B
由于带电体运动速度的变化直接引起洛伦兹力变
化，间接引起物体与水平面间弹力、摩擦力的变化，不能根据摩擦力和位移求摩擦产生的热量，需要从能量角度考虑.物体的动能转化为摩擦产生的内能.
热点 2 带电粒子在磁场中的运动[热点归纳]
1.匀速圆周运动的规律.
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平
面内以入射速度 v 做匀速圆周运动.
2.粒子在磁场中做圆周运动的规律.
考向 1 直线边界磁场带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性，如图 10-2-7 所示).
【典题 4】(多选，2021 年广东潮州模拟)如图 10-2-8 所示，A粒子和 B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为 d、方向垂直纸面向外有界匀强磁场的边界上的 O 点分别以与边界成 37°和 53°方向射入磁场，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界飞
出，若粒子重力不计，则下列说法中正确的是( 图 10-2-8
A.A、B 两粒子均带正电B.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是 4∶3C.A、B 两粒子比荷之比是 4∶3D.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比是 53∶37解析：作出粒子运动轨迹如图 D47 所示，根据左手定则可判
思路导引 由运动轨迹结合左手定则可判断粒子的电性.过 O点做两粒子速度的垂线，与有边界的交点即为圆心，由几何关系得到两粒子运动的半径.结合半径、圆心角、周期分析 C、D 选项.
【迁移拓展 1 】(2022 年广东联考)如图10-2-9 所示，在直角坐标系 xOy 中有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，一质量为 m、电荷量为 q 的粒子(不计粒子受到的重力)从原点 O以大小为 v 的初速度沿 x 轴正方向射入磁场，粒子恰好能通过坐标为(3L，4L)的 P 点.磁场的
解析：粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图D48 所示.
考向 2 三角形磁场【典题 5】(多选，2022 年广东模拟)如图 10-2-10 所示，等腰直角三角形 abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.三个相同的带电粒子从 b 点沿 bc 方向分别以速度v1、v2、v3 射入磁场，在磁场中运动的时间分别为 t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，直角边 bc 的长度为 L，不计粒子的重力，下
解析：粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，粒子
做匀速圆周运动，如图 D49 所示.
可知三个粒子的周期相等，由几何关系可知，若粒
子半径 R≤L，则粒子从ab边离开磁场，粒子偏转90°角，若粒子半径 R＞L，则粒子从ac边离开磁场，粒子偏转小于90°角，由运动时间 t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，可知 t3 对应的粒子偏转角为 30°.则有速度 v1、v2 的粒子从 ab 边穿出，则偏转角为 90°，可两者的速度大小不确定，其半径一定比速度为 v3 的粒子小，由粒子在磁场中
，可知 v3 一定大于 v1 和 v2.对 v1 和 v2，有可能
v1＞v2，也有可能 v1＜v2，A 错误，B 正确.由于速度为 v1 的粒子
转 30°，其运动轨迹如解析图所示，由几何关系可知 L＝R3sin 30°，
考向 3 多边形磁场【典题 6】(2022 年广东广州二模)阿尔法磁谱仪是目前在太空运行的一种粒子探测器，其关键的永磁体系统是由中国研制的.如图 10-2-11，探测器内边长为 L 的正方形 abcd 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，当宇宙中带电量为＋q 的粒子从 ab 中点 O 沿纸面垂直 ab 边射入磁场区域时，磁谱仪记录
到粒子从 ad 边射出，则这些粒子进入磁场时的动量 p 满足(
解析：带电量为＋q 的粒子进入磁场，洛伦兹力提供向心力
确定半径的范围即可确定速度的范围，从 a 点射
出，对应最小的半径，从 d 点射出，对应最大的半径，求最大半径时，需要构建三角形应用勾股定理求解.
【迁移拓展 2】(多选，2023 年辽宁沈阳一模)如图 10-2-12 所示，在一个边长为 a 的正六边形区域内，存在磁感应强度为 B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，比荷
已知粒子只受磁场的作用力，则(
解析：如图 D50 所示，从 F 点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为 r1，洛伦兹力提供向心力，
磁场中做匀速圆周运动的周期为 T＝
AF 边上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角均
B 正确.由几何关系可得，从 E 点飞出的粒子在磁场中转过的圆心
正确.由几何关系可得，从 ED 边上的某一点垂直 ED 飞出磁场的
考向 4 圆形边界磁场
1.圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图 10-2-13 甲所示.2.若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示.
3.若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如
a.当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙所示.b.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁所示.
【典题 7】(多选，2022 年广东六校联考)如图 10-2-14 所示，在直角坐标 xOy 平面内，有一半径为 R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向里，边界与 x、y 轴分别相切于 a、b 两点，ac 为直径.一质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子从 b 点以某一初速度 v0(v0大小未知)沿平行于 x 轴正方向进入磁场区域，从 a 点垂直于 x 轴离开磁场，不计粒子重
力.下列判断正确的是(
A.该粒子的初速度为 v0＝
B.该粒子从 bc 弧中点 d 以相同的速度进入磁场后在磁场中运动的时间是第一次运动时间的 1.5 倍
解析：该粒子从 b 点射入磁场，从 a 点垂直 x 轴离开磁场，
错误. 该粒子第一次在磁场中运动，其周期 T ＝
粒子第二次以相同的初速度从圆弧 bc 的中点 d沿平行于 x 轴正方向进入磁场，其轨迹半径不变
也为 R，如图 D51 所示.
由几何关系可知，该粒子第二次仍然从 a 点离开磁场，粒子
R，则该点不是 a 点，C 错误.以 2v0 从 b 点沿各种方向进入磁场的该种粒子在磁场中运动的半径为 2R，则运动时间最长时，对应的
弦最长，最长弦长为 2R，轨迹如图 D52 所示，则由几何关系可知
思路导引 本题的难点是 B、D 选项，B 选项考查的是对一个结论的逆向应用：在圆形磁场中，粒子的运动半径若等于磁场圆的半径，则从某一点向不同方向射入的速率相等的粒子离开磁场时，速度方向均相同，由此逆向判断 B 选项的粒子轨迹.
【迁移拓展 3】(2023 年广东江门一模)一种粒子探测器的简化模型如图 10-2-15 所示.圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，PQ 过圆心，平板 MQN 为探测器，整个装置放在真空环境中.所有带电离子从 P 点沿 PQ 方向射入磁场，忽略离子重力及离子间相
互作用力.对能够打到探测器上的离子，下列分析正确的是(图 10-2-15
A.打在 Q 点的左侧的离子带正电B.打在 MQN 上离 Q 点越远的离子，入射速度一定越大C.打在 MQN 上离 Q 点越远的离子，比荷一定越大D.入射速度相同的氢离子和氘离子，打在 MQN 上的位置更靠近 Q 点的是氘离子解析：由左手定则可知，正电荷受到的洛伦兹力向右，则打在 Q 点的右侧的离子带正
电，A 错误.作出离子的运动轨迹如图 D53 所示.
由上图可看出，只有在圆形磁场区域的下半圆射出的离子才可能打到 MQN 上，且轨迹半径越小的离子离 Q 点越远，且 qvB＝
子的轨迹半径越小，离子离 Q点越远，B、C错误.入射速度相同的氢离子和氘离子，由于氘离子的比荷较小，则氘离子运动轨迹的半径越大，故打在 MQN 上的位置更靠近 Q 点的是氘离子，D正确.答案：D
“数学圆”模型在电磁学中的应用模型一 “放缩圆”模型的应用
【典题 8】一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边界如图 10-2-16 中虚线所示，ab为半圆，ac、bd 与直径 ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最
长的粒子，其运动时间为(
，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心
角越大，运动时间越长.如图 D54 所示，采用放缩圆解决该问题，粒子垂直 ac 射入磁场，则轨迹圆心必在 ac 直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.当半径 r≤0.5R 和 r≥1.5R 时，粒子分别从ac、bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期.
当 0.5R
【典题 9】(多选，2022 年河南开封二模)如图 10-2-17 所示，在直角坐标系 xOy 第一象限内 x 轴上方存在磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为 m，电荷量大小均为 q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的
重力及粒子间的相互作用均不计，则(
D.从 x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短
结合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点”可知 SP是其中一个
由几何知识可得从 O 点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为 60°，
方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到 O 点的距离为 d，C 错误.从 x 轴上射出磁场的粒
子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，运动轨迹与 x 轴相切
模型三 “平移圆”模型的应用
【典题 10】如图 10-2-18 所示，边长为 L 的正方形有界匀强磁场 ABCD，带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场，恰好从 C 点飞出磁场.若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P垂直 AD 射入磁场，从 DC 边的 M 点飞出磁场(M点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为t1，由 P 点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重
力不计)，则 t1∶t2 为(
1.定义：运动电荷在磁场中受到的力，叫做洛伦兹力.2.洛伦兹力的大小.(1)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向垂直时，电荷所
受洛伦兹力 F洛＝____________.
(2)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向平行时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝________.(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝________.
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向，即正电荷运动的方向同向或负电荷运动的________.(2)方向特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即 F洛垂直于________决定的平面.如图 10-2-1 所示：
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.速度与磁场平行时：带电粒子不受洛伦兹力作用，在匀强磁
场中做__________运动.
2.速度与磁场垂直时：带电粒子受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做__________运动.
3.半径和周期公式：(v⊥B).
(1)基本公式：________.
(2)导出公式：半径 R＝________；周期 T＝________.
，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期
【基础自测】1.判断下列题目的正误.
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用.(
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向
T 与 v 成反比.(
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与
带电粒子的比荷有关.(
(5)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向开始运动，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图 10-2-2 所示，
)A.电子将向右偏转，速率不变B.电子将向左偏转，速率改变C.电子将向左偏转，速率不变
D.电子将向右偏转，速率改变答案：A
3.(2022 年广东肇庆二模)等边三角形的三个顶点上垂直纸面放置 3 根长直导线，导线中通以大小相同的电流，电流方向如示意图所示，一束带正电的粒子垂直纸面向里射入三角形中心，关
于粒子束所受洛伦兹力方向，下列示意图正确的是(
解析：带正电的粒子束可以等效为垂直纸面向内的电流，根据同向电流相吸，异向电流相斥，可以判断粒子受力方向向下，A 正确.
磁场中做匀速圆周运动，则(
A.氕核和氘核做圆周运动的周期之比为 2∶1B.若入射速率相等，氕核和氘核做圆周运动的角速度相同C.若质量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周
半径相等D.增大入射速率，它们的周期也会增大
速度大小之比为 2∶1，与入射速率无关，B 错误.由 r＝
粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝
v qBr m
量和速率的乘积相等，氕核和氘核的圆周半径相等，C 正确.入射速率与周期无关，所以增大入射速率，它们的周期也不变，D 错误.答案：C
热点 1 洛伦兹力的特点[热点归纳]
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.
(4)根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定先区分正、负
(5)洛伦兹力一定不做功.
2.洛伦兹力与电场力的比较：
3.洛伦兹力与安培力的联系及区别.
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.
考向 1 洛伦兹力的方向【典题 1】(2023 年山西卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O 竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕 P 上的 a 和 b两点，a 点在小孔 O 的正上方，b 点在 a 点的右侧，如图 10-2-4
强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(
A.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里B.电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外C.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里D.电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向外
解析：假设电子打在 a 点，则有eE＝evB，由于 α 粒子的速度小于电子的速度，所以 2eE＞2ev′B，α 粒子经过电磁叠加场向右偏转，即其所受合力方向水平向右，即所受电场力方向水平向右，由于 α 粒子带正电，所以电场方向水平向右，电子所受电场力方向水平向左，由于电子所受洛伦兹力和电场力等大反向，故磁场方向垂直纸面向里；假设电子打在 b 点，同理可得，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，C正确.
考向 2 洛伦兹力与电场力的比较【典题 2】(多选)如图 10-2-5 所示，带电小球 a 以一定的初速度 v0 竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ha；带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hb；带电小球 c 在水平方向的匀强电场以相同的初速度 v0竖直向上抛出，上升的最大高度为 hc，不计空气阻力，三个小球
A.他们上升的最大高度关系为 ha＝hb＝hcB.他们上升的最大高度关系为 hb
在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，它们上升的最大高度关系为 ha＝hc，带电小球 b 在水平方向的匀强磁场中以相同的初速度v0 竖直向上抛出，受到与速度垂直的洛伦兹力作用，上升的最大高度为 hb 一定减小，即它们上升的最大高度关系为 hb
考向 3 洛伦兹力作用下的动态分析问题【典题 3】如图 10-2-6 所示，一质量为 m、带电量为＋q 的小物块静止放在绝缘水平地面上，地面上方存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，某时刻物块获得一初速度 v0 开始向右运动，运动距离 x 后停止.已知物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为 g，此过程中物块与地面之间由于摩擦产生的热
解析：物块受到竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、支持力，还受到水平向左的摩擦力，物体运动过程中只有摩擦力做正确.答案：B
由于带电体运动速度的变化直接引起洛伦兹力变
化，间接引起物体与水平面间弹力、摩擦力的变化，不能根据摩擦力和位移求摩擦产生的热量，需要从能量角度考虑.物体的动能转化为摩擦产生的内能.
热点 2 带电粒子在磁场中的运动[热点归纳]
1.匀速圆周运动的规律.
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平
面内以入射速度 v 做匀速圆周运动.
2.粒子在磁场中做圆周运动的规律.
考向 1 直线边界磁场带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性，如图 10-2-7 所示).
【典题 4】(多选，2021 年广东潮州模拟)如图 10-2-8 所示，A粒子和 B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为 d、方向垂直纸面向外有界匀强磁场的边界上的 O 点分别以与边界成 37°和 53°方向射入磁场，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界飞
出，若粒子重力不计，则下列说法中正确的是( 图 10-2-8
A.A、B 两粒子均带正电B.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是 4∶3C.A、B 两粒子比荷之比是 4∶3D.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比是 53∶37解析：作出粒子运动轨迹如图 D47 所示，根据左手定则可判
思路导引 由运动轨迹结合左手定则可判断粒子的电性.过 O点做两粒子速度的垂线，与有边界的交点即为圆心，由几何关系得到两粒子运动的半径.结合半径、圆心角、周期分析 C、D 选项.
【迁移拓展 1 】(2022 年广东联考)如图10-2-9 所示，在直角坐标系 xOy 中有方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，一质量为 m、电荷量为 q 的粒子(不计粒子受到的重力)从原点 O以大小为 v 的初速度沿 x 轴正方向射入磁场，粒子恰好能通过坐标为(3L，4L)的 P 点.磁场的
解析：粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图D48 所示.
考向 2 三角形磁场【典题 5】(多选，2022 年广东模拟)如图 10-2-10 所示，等腰直角三角形 abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.三个相同的带电粒子从 b 点沿 bc 方向分别以速度v1、v2、v3 射入磁场，在磁场中运动的时间分别为 t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，直角边 bc 的长度为 L，不计粒子的重力，下
解析：粒子只受洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，粒子
做匀速圆周运动，如图 D49 所示.
可知三个粒子的周期相等，由几何关系可知，若粒
子半径 R≤L，则粒子从ab边离开磁场，粒子偏转90°角，若粒子半径 R＞L，则粒子从ac边离开磁场，粒子偏转小于90°角，由运动时间 t1∶t2∶t3＝3∶3∶1，可知 t3 对应的粒子偏转角为 30°.则有速度 v1、v2 的粒子从 ab 边穿出，则偏转角为 90°，可两者的速度大小不确定，其半径一定比速度为 v3 的粒子小，由粒子在磁场中
，可知 v3 一定大于 v1 和 v2.对 v1 和 v2，有可能
v1＞v2，也有可能 v1＜v2，A 错误，B 正确.由于速度为 v1 的粒子
转 30°，其运动轨迹如解析图所示，由几何关系可知 L＝R3sin 30°，
考向 3 多边形磁场【典题 6】(2022 年广东广州二模)阿尔法磁谱仪是目前在太空运行的一种粒子探测器，其关键的永磁体系统是由中国研制的.如图 10-2-11，探测器内边长为 L 的正方形 abcd 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，当宇宙中带电量为＋q 的粒子从 ab 中点 O 沿纸面垂直 ab 边射入磁场区域时，磁谱仪记录
到粒子从 ad 边射出，则这些粒子进入磁场时的动量 p 满足(
解析：带电量为＋q 的粒子进入磁场，洛伦兹力提供向心力
确定半径的范围即可确定速度的范围，从 a 点射
出，对应最小的半径，从 d 点射出，对应最大的半径，求最大半径时，需要构建三角形应用勾股定理求解.
【迁移拓展 2】(多选，2023 年辽宁沈阳一模)如图 10-2-12 所示，在一个边长为 a 的正六边形区域内，存在磁感应强度为 B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，比荷
已知粒子只受磁场的作用力，则(
解析：如图 D50 所示，从 F 点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为 r1，洛伦兹力提供向心力，
磁场中做匀速圆周运动的周期为 T＝
AF 边上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角均
B 正确.由几何关系可得，从 E 点飞出的粒子在磁场中转过的圆心
正确.由几何关系可得，从 ED 边上的某一点垂直 ED 飞出磁场的
考向 4 圆形边界磁场
1.圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图 10-2-13 甲所示.2.若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示.
3.若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如
a.当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙所示.b.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁所示.
【典题 7】(多选，2022 年广东六校联考)如图 10-2-14 所示，在直角坐标 xOy 平面内，有一半径为 R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向里，边界与 x、y 轴分别相切于 a、b 两点，ac 为直径.一质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子从 b 点以某一初速度 v0(v0大小未知)沿平行于 x 轴正方向进入磁场区域，从 a 点垂直于 x 轴离开磁场，不计粒子重
力.下列判断正确的是(
A.该粒子的初速度为 v0＝
B.该粒子从 bc 弧中点 d 以相同的速度进入磁场后在磁场中运动的时间是第一次运动时间的 1.5 倍
解析：该粒子从 b 点射入磁场，从 a 点垂直 x 轴离开磁场，
错误. 该粒子第一次在磁场中运动，其周期 T ＝
粒子第二次以相同的初速度从圆弧 bc 的中点 d沿平行于 x 轴正方向进入磁场，其轨迹半径不变
也为 R，如图 D51 所示.
由几何关系可知，该粒子第二次仍然从 a 点离开磁场，粒子
R，则该点不是 a 点，C 错误.以 2v0 从 b 点沿各种方向进入磁场的该种粒子在磁场中运动的半径为 2R，则运动时间最长时，对应的
弦最长，最长弦长为 2R，轨迹如图 D52 所示，则由几何关系可知
思路导引 本题的难点是 B、D 选项，B 选项考查的是对一个结论的逆向应用：在圆形磁场中，粒子的运动半径若等于磁场圆的半径，则从某一点向不同方向射入的速率相等的粒子离开磁场时，速度方向均相同，由此逆向判断 B 选项的粒子轨迹.
【迁移拓展 3】(2023 年广东江门一模)一种粒子探测器的简化模型如图 10-2-15 所示.圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，PQ 过圆心，平板 MQN 为探测器，整个装置放在真空环境中.所有带电离子从 P 点沿 PQ 方向射入磁场，忽略离子重力及离子间相
互作用力.对能够打到探测器上的离子，下列分析正确的是(图 10-2-15
A.打在 Q 点的左侧的离子带正电B.打在 MQN 上离 Q 点越远的离子，入射速度一定越大C.打在 MQN 上离 Q 点越远的离子，比荷一定越大D.入射速度相同的氢离子和氘离子，打在 MQN 上的位置更靠近 Q 点的是氘离子解析：由左手定则可知，正电荷受到的洛伦兹力向右，则打在 Q 点的右侧的离子带正
电，A 错误.作出离子的运动轨迹如图 D53 所示.
由上图可看出，只有在圆形磁场区域的下半圆射出的离子才可能打到 MQN 上，且轨迹半径越小的离子离 Q 点越远，且 qvB＝
子的轨迹半径越小，离子离 Q点越远，B、C错误.入射速度相同的氢离子和氘离子，由于氘离子的比荷较小，则氘离子运动轨迹的半径越大，故打在 MQN 上的位置更靠近 Q 点的是氘离子，D正确.答案：D
“数学圆”模型在电磁学中的应用模型一 “放缩圆”模型的应用
【典题 8】一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边界如图 10-2-16 中虚线所示，ab为半圆，ac、bd 与直径 ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径.一束质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最
长的粒子，其运动时间为(
，则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心
角越大，运动时间越长.如图 D54 所示，采用放缩圆解决该问题，粒子垂直 ac 射入磁场，则轨迹圆心必在 ac 直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.当半径 r≤0.5R 和 r≥1.5R 时，粒子分别从ac、bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期.
当 0.5R
【典题 9】(多选，2022 年河南开封二模)如图 10-2-17 所示，在直角坐标系 xOy 第一象限内 x 轴上方存在磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为 m，电荷量大小均为 q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的
重力及粒子间的相互作用均不计，则(
D.从 x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短
结合“在轨迹圆中，轨迹的直径为最长的弦”和题中“所有粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点”可知 SP是其中一个
由几何知识可得从 O 点射出的粒子，轨迹所对的圆心角为 60°，
方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到 O 点的距离为 d，C 错误.从 x 轴上射出磁场的粒
子，从原点射出时在磁场中运动时间最短，运动轨迹与 x 轴相切
模型三 “平移圆”模型的应用
【典题 10】如图 10-2-18 所示，边长为 L 的正方形有界匀强磁场 ABCD，带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场，恰好从 C 点飞出磁场.若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P垂直 AD 射入磁场，从 DC 边的 M 点飞出磁场(M点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为t1，由 P 点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重
力不计)，则 t1∶t2 为(
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