专题4.9 代数式章末八大题型总结（拔尖篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5524" 【题型1 整式加减的循环运算】 PAGEREF _Tc5524 \h 1
\l "_Tc6962" 【题型2 利用整式加减计算周长】 PAGEREF _Tc6962 \h 5
\l "_Tc12936" 【题型3 整式加减的规律探究】 PAGEREF _Tc12936 \h 10
\l "_Tc31393" 【题型4 整式加减与绝对值的综合】 PAGEREF _Tc31393 \h 15
\l "_Tc9209" 【题型5 整式加减与数轴动点综合】 PAGEREF _Tc9209 \h 19
\l "_Tc24381" 【题型6 整式加减与数字综合】 PAGEREF _Tc24381 \h 24
\l "_Tc4859" 【题型7 整式加减中的新定义问题】 PAGEREF _Tc4859 \h 29
\l "_Tc25807" 【题型8 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc25807 \h 34
【题型1 整式加减的循环运算】
【例1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式M1=x+1，M2=x−1，用整式M1与整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2与整式M3作差后得到整式M4=−x−1，整式M3与整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4与整式M5作差后得到新的整式M6，…，依次交替进行“求和、作差”运算得到新的整式．下列说法：①当x=1时，M7=−2；②整式M2与整式M10结果相同；③M6=M11+M19；④M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=0．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意依次计算出M1=x+1，M2=x−1，M3=2x，M4=−x−1=−M1，M5=x−1=M2，M6=−2x=−M3，M7=−x−1=−M1，M8=−x+1=−M2，M9=−2x=−M3，M10=x+1=M1，M11=−x+1=−M2，M12=2x=M3，M13=x+1=M1，M14=x−1=M2，M15=2x=M3，
根据观察可发现每12个一循环，将x=1代入M7中可判断①；根据上述即可判断②；M19=M7，再代入计算即可判断③；先计算出M1+M2+⋅⋅⋅+M12，则M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=169M1+M2+⋅⋅⋅+M12，以此可判断④．
【详解】解：由题意计算可得：
M1=x+1，M2=x−1
M3=M1+M2=2x，
M4=M2−M3=−x−1=−M1，
M5=M3+M4=x−1=M2，
M6=M4−M5=−2x=−M3，
M7=M5+M6=−x−1=M4=−M1，
M8=M6−M7=−x+1=−M5=−M2，
M9=M7+M8=−2x=M6=−M3，
M10=M8−M9=x+1=−M7=−M4=M1，
M11=M9+M10=−x+1=M8=−M5=−M2，
M12=M10−M11=2x=−M9=−M6=M3，
M13=M11+M12=x+1=M1，
M14=M12−M13=x−1=M2，
M15=M13+M14=2x=M3，
以此类推，每12个一循环，
∴当x=1时，M7=−x−1=−2，故①说法正确；
由上述可知，整式M2与整式M10结果不相等，故②说法错误；
∵ M19=M7，M6=−2x，
∴ M11+M19=M11+M7=−x+1+−x−1=−2x
∴ M6=M11+M19，故③说法正确；
∵ M1+M2+⋅⋅⋅+M12=M1+M2+M3−M1+M2−M3−M1−M2−M3+M1−M2+M3=0，
∴ M1+M2+⋅⋅⋅+M2027+M2028=169M1+M2+⋅⋅⋅+M12=0，故④说法正确．
∴正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减、规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意进行正确的计算，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出规律．
【变式1-1】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【答案】4036
【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……
由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.
【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；
第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；
第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；
……
由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；
∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.
故答案为4036.
【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.
【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期末）用-5、-2、1，三个数按照给出顺序构造一组无限循环数据．
(1)求第2018个数是多少？
(2)求前50个数的和是多少？
(3)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“-2所在的位置数；
(4)请你算出第n个,第n+1个,第n+2个这三个数的和？n≥50
【答案】（1）－2；（2）－103；（3）3k-1（k为正整数）；（4）－6．
【分析】（1）根据每3个数一组，从第四个数开始循环，即可得到结论；
（2）前50个数分成16组，每一组数的和为－5－2+1=－6，余下两个数为－5，－2，即可得到结论；
（3）根据－2的位置为第2个，第5个，第8个，即可得到结论；
（4）任意取三个连续位置的数，有三种可能：-5，-2，1或-2，1，-5或1，-5，-2，其和为都等于－5－2+1=－6，即可得到结论．
【详解】（1）∵从第四个数开始循环，2018÷3=672．．．2，∴第2018个数是－2；
（2）∵50÷3=16．．．2，∴前50个数的和是（－5－2+1）×16+（－5）+（－2）=－103；
（3）-5，-2，1，-5，-2，1，-5，-2，1．．．，－2的位置为第2个，第5个，第8个，即第3k-1个，k为正整数；
（4）从-5，-2，1，-5，-2，1，-5，-2，1．．．，中任意取三个连续位置的数，有三种可能：-5，-2，1或-2，1，-5或1，-5，-2，其和为都等于－5－2+1=－6．
【点睛】本题考查了数字变化规律．弄清3个数为一组，进行循环是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去．
(1)填表：
(2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪n次，共剪出_____________个小正方形；
(3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次；
(4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________．
【答案】(1)4,13
(2)31，3n+1
(3)33
(4)164
【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整；
（2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪n次，共剪了多少个正方形；
（3）根据（2）中算出的用n表示的式子，令其等于100，即可算出n的值，即剪了多少次；
（4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积．
【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13，
故答案为：4,13；
（2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：4+3×10−1=4+27=31个，
第n次剪成的正方形个数为：4+n−1×3=3n+1，
故答案为：31，3n+1；
（3）解：根据题意得，令3n+1=100，
解得n=33，
故答案为：33，
（4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为18，
所以小正方形的面积为：18×18=164，
故答案为：164．
【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
【题型2 利用整式加减计算周长】
【例2】（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB=m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
【答案】C
【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【详解】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，
由图（1）得4x=n；
由图（2）得2x+y=m，y=3x；
∴5x=m，
∴x=m5，
图（1）中阴影部分的周长为：2n+2y+m−y+m−y−x+x=2n+2m=8x+2m=185m，
图（2）中阴影部分的周长为：2n−3x+2m=24x−3x+2m=2x+2m=125m，
∴阴影部分的周长之差为：185m−125m=65m，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·浙江·七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）
A．C1B．C3+C5C．C1+C3+C5D．C1+C2+C4
【答案】B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为C和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为C为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为C=2a+2b+2c+2ℎ为定值，
∴C2=2a+2b，C3=2c+2d，C4=2e+2f，C5=2ℎ+2g，
∵①是正方形，
∴c−f=e−ℎ=g−b=a−d
∴a+b=g+d，
∴C3+C5=2c+2d+2ℎ+2g=2a+2b+2c+2ℎ=C，
C1+C3+C5=4a−d+2c+2d+2ℎ+2g=4a−2d+2c+2ℎ+2g，
C1+C2+C4=4a−d+2a+2b+2e+2f=6a−4d+2b+2e+2f，
∴C3+C5为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．
【变式2-2】（2023春·广西南宁·七年级南宁三中校考期末）将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．
(1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示）
(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；
(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．
【答案】(1)y−x，2x−y；
(2)6；
(3)88．
【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长；
（2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即：x+y，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和，即：x+(2x−y)=3x−y，又知长方形的周长，即可求出x的值，从而得出3号正方形的边长；
（3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形ABCD的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出AB的长，从而解得阴影部分的周长．
【详解】（1）解：∵3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，
∴1号正方形的边长为y−x， 2号正方形的边长为x−(y−x)=2x−y，
（2）解：长方形的长为：x+y，宽为：x+(2x−y)=3x−y，
∵长方形的周长为48，即2(x+y)+(3x−y)=8x=48，
∴x=6，
∵3号正方形的边长为x，
∴ 3号正方形的边长为6；
（3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形ABCD的周长，
由（2）可知3号正方形的边长为6，
4号正方形的边长为y，
5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：2x−y−(y−x)=3x−2y=3×6−2y=18−2y，
∴AD=6+y+18−2y=24−y，
周长为100的长方形的长为：AB+6，宽为24−y，
∴2AB+6+(24−y)=100，
∴AB=20+y，
则长方形ABCD的周长为：
20+y+(24−y)×2=88，
即阴影部分的周长为88．
【点睛】本题考查了整式的加减应用，列代数式表示各线段的长从而可解决问题．
【变式2-3】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是C1，最小正方形的周长是C2，则C1C2= ．
【答案】432
【分析】如图（见解析），设AB=x,BC=y，根据正方形的定义可得最小正方形的边长为14x−11y，而且x和y满足等式：8y−10x=14x−11y，再根据正方形的周长公式C1,C2即可得．
【详解】如图，设AB=x,BC=y，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下：
0号：1号+2号得x+y，
5号：1号-2号得y−x，
3号：2号-5号得x−(y−x)=2x−y，
4号：0号-2号-3号得x+y−x−(2x−y)=2y−2x，
7号：3号-4号得2x−y−(2y−2x)=4x−3y，
6号：4号-7号得2y−2x−(4x−3y)=5y−6x，
10号：0号-1号得x，
9号：0号-4号-6号-10号得x+y−(2y−2x)−(5y−6x)−x=8x−6y，
8号：10号-9号得x−(8x−6y)=6y−7x，
11号：6号-7号得5y−6x−(4x−3y)=8y−10x，
或9号-6号得8x−6y−(5y−6x)=14x−11y，
因此x和y满足等式：8y−10x=14x−11y，
整理得：x=1924y，
所以最大正方形（0号）的周长C1=4(x+y)=436y，
最小正方形（11号）的周长C2=4(14x−11y)=13y，
则C1C2=432．
【点睛】本题考查了用代数式表示几何图形的周长，设定未知数，利用正方形的性质将最大正方形的周长和最小正方形的周长求出是解题关键．
【题型3 整式加减的规律探究】
【例3】（2023春·重庆江北·七年级统考期末）有依次排列的3个正整数：x，y，z，且y>z>x，现规定：对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新数串：x，y−x，y，z−y，z，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后可产生又一个新数串，……，继续依次操作下去．下列说法：
①第一次操作后，所有数之和为：2z+y．
②第二次同样操作后的数串是：x，y−2x，y−x，x，y，z−2y，z−y，y，z．
③第n次同样操作后，所有数之和为：x+y+z+n(z−x)．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据题意进行操作，求出第一次，第二次，第三次操作后的新数串，并根据整式的加减计算法则对新数串进行求和，可以发现可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加−x+z，据此即可得到答案．
【详解】解：第一次操作后，得到的新数串为：x，y−x，y，z−y，z，
∴第一次操作后，所有数之和为x+y−x+y+z−y+z
=x+y−x+y+z−y+z
=y+2z，故①正确；
第二次操作后，得到的新数串为：x，y−2x，y−x，x，y，z−2y，z−y，y，z，故②正确；
∴第二次操作后，所有数之和为：
x+y−2x+y−x+x+y+z−2y+z−y+y+z
=x+y−2x+y−x+x+y+z−2y+z−y+y+z
=x+y+z+2−x+z，
第三次操作后，得到的新数串为：x，y−3x，y−2x，x，y−x，2x−y，x，y−x，y，z−3y，z−2y，y，z−y，2y−z，y，z−y，z，
∴第二次操作后，所有数之和为：
−x+z+y+2z+y−3x+x+2x−y+y−x+z−3y+y+2y−z+z−y
=−x+z+y+2z+y−3x+x+2x−y+y−x+z−3y+y+2y−z+z−y
=x+y+z+3−x+z ，
…．
∴可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加−x+z，
∴第n次同样操作后，所有数之和为：x+y+z+n−x+z，故③正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·全国·七年级期末）观察下面算式，解答问题：
1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52……
(1)1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；
(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1的值为_____________；
(3)请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详细解答过程）．
【答案】(1)225
(2)n+12
(3)1023744
【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可；
（2）用（1）的猜想写出结果；
（3）先把原式化为1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023−1+3+5+⋯+37+39，再利用前面猜测的结论去计算；
【详解】（1）解：1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
依次可得，1+3+5+7+9+…+29=1+2922=152=225，
故答案为：225
（2）解：1+3=4=1+322=22；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
1+3+5=9=1+522=32；
1+3+5+7+9=25=1+922=52；
⋯⋯
1+3+5+7+9+…+2n−1+2n+1 =1+2n+122=n+12；
故答案为：n+12
（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023
=1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023−1+3+5+⋯+37+39
=1+202322−1+3922
=10122−202
=1012−201012+20
=1032×992
=1023744
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键．
【变式3-2】（2023春·江苏徐州·七年级校考期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，则20，8表示整数是 ．

【答案】198
【分析】根据4，3表示整数9，3，2表示的数是5，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对m，n n≤m有：m，n=mm−12+n，由此方法解决问题即可．
【详解】解：∵若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，3，2表示的数是5，
∴ 3，2=3×3−12+2=5，4，3=4×4−12+3=9，
…，
∴对所有数对m，n n≤m有：m，n=mm−12+n，
∴20，8=20×20−12+8=198，
故答案为：198．
【点睛】本题考查数字类规律探索，解答此类题目的关键是根据题目中给出的数值，认真分析，找出规律．
【变式3-3】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）有依次排列的两个整式：x，x−2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x−2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x−2，2，4−x，x−2，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当x<2时，所有整式的积为正数；②第三次操作后整式串共有9个整式；③第n次操作后整式串共有2n+1个整式（n为正整数）；④第2023次操作后，所有的整式的和为2x+4044．四个结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据第二次操作后，当x<2时，各个整式的正负，判断所有整式的积的正负：②根据第三次操作后整式的个数判定；③根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答
【详解】解：①原整式为：x，x−2，
第1次操作后所得整式串为：x，2，x−2，
第2次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，
此次所有整式之积为，2xx−224−x，
∵x<2，
∴当−20，4−x>0，
∴2xx−224−x≤0，①不正确；
②第3次操作后所得整式串为：x，2，x−2，x−4，2，x−2，4−x，6−2x，x−2，共有9个整式，②正确；
③第1次操作后整式串共有3个整式，3=2+1，
第2次操作后整式串共有5个整式5=22+1，，
第3次操作后整式串共有9个整式，9=23+1，
第4次操作后整式串共有17个整式，17=24+1，
……，
第n次操作后整式串共有整式个数为：2n+1，③正确；
④第1次操作后所得整式串为：x，2，x−2，所有整式之和为：2x，
第2次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，所有整式之和为：2x+2，
第3次操作后所得整式串为：x，2，x−2，x−4，2，x−2，4−x，6−2x，x−2，所有整式之和为：2x+4，
第4次操作后所得整式串为：x，x−2，2，4−x，x−2，2，x−4，x−6，2，4−x，x−2，2x−6，4−x，x−2，6−2x，8−3x，x−2，所有整式之和为：2x+6，
……，
第n次操作后所得所有整式的和为：2x+2n−1，
故操作第2023次操作后所有整式之和为：2x+2×2013−1=2x+4044．④正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．
【题型4 整式加减与绝对值的综合】
【例4】（2023春·湖南娄底·七年级统考期中）规定：fx=x−2，gy=y+3．例如f−4=−4−2，g−4=−4+3．下列结论中：
①若fx+gy=0，则2x−3y=13；
②若x<−3，则fx+gx=−1−2x；
③若x>−3，则fx+gx=2x+1；
④式子fx−1+gx+1的最小值是7．
其中正确的所有结论是（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①根据新定义运算和非负数的性质求得x、y，再代值计算便可判断①的正误；
②根据新定义运算和绝对值的性质进行计算便可；
③根据新定义运算和绝对值的性质，分两种情况：−3④根据新定义运算和绝对值的性质，进行解答便可．
【详解】①∵fx+gy=0，
∴x−2+y+3=0，
∴x−2=0，y+3=0，
∴x=2，y=−3，
∴2x−3y=4+9=13，
故①正确；
②∵x<−3，
∴fx+gx=x−2+x+3=2−x−x−3=−1−2x，
故②正确；
③∵x>−3，fx+gx=x−2+x+3|
∴当−3当x≥2时，fx+gx=x−2+x+3=x−2+x+3=2x+1，
故③错误；
④fx−1+gx+1=x−1−2+x+1+3=x−3+x+4，
当−4≤x≤33时，式子fx−1+gx+1=x−1−2+x+1+3=x−3+x+4有最小值为：3−x+x+4=7，
故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，非负数的性质，绝对值的定义，关键是应用新定义和绝对值的性质解题．
【变式4-1】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式2021x+20212+x+2021+2022x+20222的值是同一个常数，则此常数为 ．
【答案】2022
【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．
【详解】由题意，得将2021x+20212+x+2021+2022x+20222进行化简后代数式中不含x，才能满足题意．
因此，当−2022≤x≤−2021时，
原式=−20212−2021x−x−2021+2022x+20222
=−2021x−x+2022x−20212−2021+20222
=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减、整式的加减，解题的关键是确定x的取值范围．
【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）已知x+2+x−43y+2+y−2z−1+2z+1=24，设x−3y−2z的最大值为P，最小值为Q，则2P−Q等于 ．
【答案】13
【分析】采用分情况讨论去绝对值方法，分别找出x+2+x−4、3y+2+y−2、z−1+2z+1的取值范围，以及取最小值时对应的x、y、z的取值范围，然后计算x−3y−2z的最大和最小值，从而确定了2P−Q的值．
【详解】解：x+2+x−4，
当x<−2时，x+2+x−4=(−x−2)+4−x=−2x+2>6
当−2≤x≤4时，x+2+x−4=x+2+4−x=6
当x>4时，x+2+x−4=x+2+x−4=2x−2>6
故当，−2≤x≤4时，x+2+x−4取得最小值为6；
3y+2+y−2，
当y<−23时，3y+2+y−2=−3y−2+2−y=−4y>83
当−23≤y≤2时，3y+2+y−2=3y+2+2−y=4+2y，83≤4+2y≤8
当y>2时，3y+2+y−2=3y+2+y−2=4y>8
故当y=−23时，3y+2+y−2取得最小值为83；
z−1+2z+1，
当z<−12时，z−1+2z+1=1−z−2z−1=−3z>32
当−12≤z≤1时，z−1+2z+1=1−z+2z+1=2+z，32≤2+z≤3
当z>1时，z−1+2z+1=z−1+2z+1=3z>3
故当z=−12时，z−1+2z+1取得最小值为32；
则x+2+x−43y+2+y−2z−1+2z+1≥6×83×32=24，
当且仅当−2≤x≤4，y=−23，z=−12时，x+2+x−43y+2+y−2z−1+2z+1=24成立
故x−3y−2z最大为P=4−3×−23−2×−12=7，
x−3y−2z最小为Q=−2−3×−23−2×−12=1，
则2P−Q=2×7−1=13
故答案为：13
【点睛】本题考查了绝对值化简、求最值，掌握分情况讨论思想是解题关键．
【变式4-3】（2023春·湖北武汉·七年级校考期中）数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c．
(1)若ac<0,a=−a,a+b>0,b①请将a、b、c填入括号内．

②化简a−b+a+c−c−b．
③若点X在数轴上表示的数为x，则x−a+x−b+x−c有最小值__________．
(2)若a+b+c=a+b−c，且c≠0，求c−3−a+b−c+1的值．
【答案】(1)①见解析；②2b；③c−a；
(2)2
【分析】（1）①根据ac<0,a=−a,a+b>0,b0,b>0,c>b，故a<00,c−b>0，去绝对值化简计算即可．③根据两点之间线段最短，故当x=b时，取得最小值，化简计算即可．
（2）分a+b+c>0,a+b+c<0两种情况计算．
【详解】（1）①∵ac<0,a=−a,a+b>0,b∴a<0,c>0,b>0,c>b，
故a<0
②∵a<0∴a−b<0,a+c>0,c−b>0，
∴a−b+a+c−c−b
=b−a+a+c−c+b=2b．
③∵a<0根据两点之间线段最短，
故当x=b时，x−a+x−b+x−c有最小值，
且x−a+x−b+x−c
=b−a+0+c−b
=c−a，
故答案为：c−a．
（2）当a+b+c>0时，
则a+b+c=a+b+c，
∵a+b+c=a+b−c，
∴a+b+c=a+b−c，
∴c=0，
∵c≠0，
故不成立；
当a+b+c<0时，
则a+b+c=−a−b−c，
∵a+b+c=a+b−c，
∴−a−b−c=a+b−c，
∴a+b=0，
∴c=−c
∴c<0，
∴c−3−a+b−c+1
=−c+3−1+c=2．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值的化简，数的大小比较是解题的关键．
【题型5 整式加减与数轴动点综合】
【例5】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB=15，且OA=2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP−mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m= ．
【答案】2.5或5.5
【分析】设经过t秒，可得AP=5+4t−(−10+5t)=15−t，OP=5+4t，BP=5+4t−(5+2t)=2t，所以3AP+2OP−mBP=(5−2m)t+55，可知当m=2.5时，3AP+2OP−mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化．
【详解】解：∵AB=15，OA=2OB，
∴AO=23AB=10，BO=13AB=5，
∴A点对应数为−10，B点对应数为5，
设经过t秒，则AP=5+4t−(−10+5t)=15−t，OP=5+4t，BP=5+4t−(5+2t)=2t，
当t≤15时，
3AP+2OP−mBP
=45−3t+10+8t−2mt
=(5−2m)t+55，
∴当5−2m=0，即m=2.5时，3AP+2OP−mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，
当t>15时，
3AP+2OP−mBP
=3t−45+10+8t−2mt
=(11−2m)t−35，
∴当11−2m=0，即m=5.5时，上式为定值−35，也不随t发生改变，
故m为2.5或5.5．
故答案为：2.5或5.5
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示点运动后表示的数．
【变式5-1】（2023春·浙江温州·七年级统考期中）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的数为 ，这样第 次移动到的点到原点的距离为2020．
【答案】 7 1346
【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解．
【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点B向右移动12个单位长度至点E，则E表示的数为﹣5+12＝7；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣12（3n+1），
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：3n+22，
当移动次数为奇数时，﹣12（3n+1）＝﹣2020，n＝40393（舍去），
当移动次数为偶数时，3n+22＝2020，n＝1346．
故答案为：7，1346．
【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，在数轴上原点 O 的右边有 A、B、E 三点，点 E 在数轴上表示的数是18，以 AB为边在数轴上方作正方形ABCD，已知 AB=6且 OA=12AB.动点 P 从点 O 出发，沿 O→A→D→C→B→E 以每秒 3 个单位的速度运动，设运动时间为 t．
(1)点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 ；
(2)在点 P 的运动过程中，当A、C、P 为顶点能构成三角形时，设以点 A、C、P 为顶点的三角形的面积为 S，请求出 S 与 t 的关系式及相应 t 的取值范围．
【答案】(1)3；9
(2)当0≤t＜1时，S=−9t+9；当1＜t≤3时，S=9t−9；当3＜t＜5时，S=−9t+45；当5＜t≤10时，S=9t−45；
【分析】（1）直接求出OA=3，OB=9，即可求解；
（2）分点P在不同的线段上进行讨论，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵AB=6且 OA=12AB，
∴OA=3，OB=9，
∴A点表示的数是3；点 B 在数轴上表示的数为9；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AD=6，
如图①，当点P在OA上时，0≤t＜1，
S=123−3t×6=−9t+9；
如图②，当点P在AD上时，1＜t≤3，
S=123t−3×6=9t−9；
如图③，当点P在CD上时，3＜t＜5，
S=1215−3t×6=−9t+45；
如图④，当点P在CB上时，5＜t≤7，
S=123t−15×6=9t−45；
如图⑤，当点P在BE上时，7＜t≤10，
S=123t−15×6=9t−45；
综上可得：当0≤t＜1时，S=−9t+9；
当1＜t≤3时，S=9t−9；
当3＜t＜5时，S=−9t+45；
当5＜t≤10时，S=9t−45．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是读懂题意，能利用数轴上的点表示的数得到对应线段的长，能进行分类讨论并列出代数式用来表示三角形的面积，并能利用三角形的面积公式进行求解等．
【变式5-3】（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度．
(1)从如图的位置开始，若完成了1次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距 个单位长度；
(2)从如图的位置开始，若完成了8次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了n次，且他最终停留的位置对应的数为m．
①用含n的代数式表示m；
②求该位置距离原点O最近时n的值；
(3)从如图的位置开始，当甲乙相遇时游戏结束，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出k的值．
【答案】(1)6
(2)①m=13−3n；②该位置距离原点O最近时n的值是4
(3)k的值为3或4或5
【分析】（1）利用规则：若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，即可得结论；
（2）根据题意乙赢n次，则乙输了(10−n)次，利用平移规则即可推算出结果；
（3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离．
【详解】（1）解：完成了1次移动游戏，结果为平局，则甲向东移动1个单位长度到−2，乙向西移动1个单位长度到4，
∴移动后甲、乙两人相距4−(−2)=6个单位，
故答案为：6；
（2）解：①∵乙赢了n次，
∴乙输了(8−n)次．
∵乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度，
∴乙赢了n次后，乙停留的数字为：5−2n．
∵若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度；
∴乙输了(8−n)次后，乙停留的数字为：5−2n+(8−n)，
根据题意得：5−2n+(8−n)=m，
∴m=13−3n．
②∵n为正整数，
∴当n=4时，该位置距离原点O最近；
（3）解：由题意可得刚开始两人的距离为8，
∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度，
∴若平局，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∵若甲赢，则甲向东移动2个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度，
∴若甲赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位．
∵若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动2个单位长度．
∴若乙赢，移动后甲乙的距离缩小1个单位．
∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位或1个单位．
∵甲与乙的位置相距3个单位，共需缩小个5单位．
当没有平局的情况，需要移5次，即k=5；
当有一次平局的情况，还需要移3次，即k=4；
当有两次平局的情况，还需要移1次，即k=3；
∴k的值为3或4或5．
【点睛】本题主要考查了列代数式，数轴的知识，解题的关键是掌握移动后甲乙距离变化的规律．
【题型6 整式加减与数字综合】
【例6】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）一个四位数m=1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为不小于1，且不大于9的整数），若a+b=k（c−d），且k为整数，称m为“k型数”，例如，对于4675，∵4+6=5×7−5，则4675为“5型数”；对于3526，∵3+5=−2×2−6，则称3526为“−2型数”；若四位数m是“3型数”， m−3是“−3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数数n，n也是“3型数”，则满足条件的所有四位数m为 ．
【答案】7551或6662
【分析】设m=abcd，m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数n，n也是“3型数”，可得b=c，设m=axxd，由m−3是“−3型数”，分两种情况：（Ⅰ）d≥3时，m−3=axxd−3，可得2d−2x=3，因x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，此种情况不存在；（Ⅱ）d<3时，m−3=axx−1d+7，可得a+4x−3d=24①，a−2x+3d=0②，即有a+x=12，a+d=8，从而可得m是7551或6662．
【详解】解：设m=abcd，
∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数n，n也是“3型数”，
∴a+b=3c−d且a+c=3b−d，
将两式相减整理得：b=c，
∴m的十位与百位数字相同，设m=axxd，
由m−3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，m−3=axxd−3，
∵四位数m=axxd是“3型数”，
∴a+x=3x−d，
∵m−3是“−3型数”，
∴a+x=−3x−d−3，
∴3x−d=−3x−d−3，
整理化简得：2d−2x=3，
∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d−2x=3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d<3时，m−3=axx−1d+7，
∵m−3是“−3型数”，
∴a+x=−3x−1−d+7，即a+4x−3d=24①，
∵m是“3型数”，
∴a+x=3x−d，即a−2x+3d=0②，
①+②化简得a+x=12，
①+②×2化简得a+d=8，
∴当d=1时，a=7，x=5，此时m=7551，
当d=2时，a=6，x=6，此时m=6662．
综上所述，满足条件的所有四位数m是7551或6662．
故答案为：7551或6662．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【变式6-1】（2023春·重庆·七年级统考期末）若一个三位正整数m=abc（各个数位上的数字均不为0），若满足a+b+c=9，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记Fm=m+n9，则F234= ，对于一个“合九数”m，若Fm能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是 ．
【答案】 53 171
【分析】按照Fm的定义计算即可；设m=abc=100a+10b+c,则n=acb=100a+10c+b,由题可得F(m)=8(23a+12)+(5a+3)，由Fm能被8整除，即(5a+3)是8的整数倍，得到a=1，即b最大时，“合九数”m最大，得到结果．
【详解】解：F234=234+2439=53，
设m=abc=100a+10b+c，则n=acb=100a+10c+b，
∴F(m)=(100a+10b+c+100a+10c+b)÷9=(200a+11b+11c)÷9，
又∵a+b+c=9，
∴c=9−a−b，
即F(m)=200a+11b+11(9−a−b)÷9
=(189a+99)÷9
=8(2a+1)+(5a+3)，
∵Fm能被8整除，
∴5a+3是8的整数倍，
又1≤a≤7的整数，
∴a=1，
即：b+c=8，
∵b最大时，“合九数”m最大，
所以当b=7时，m最大为171．
故答案为：53，171．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5．某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1该小组成员分别得到一个结论：
甲：取a2=6，5个正整数不能同时满足上述3个条件；
乙：取a2=12，5个正整数能同时满足上述3个条件；
丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数能同时满足上述3个条件；
丁：若5个正整数a1，a2，a3，a4，a5同时满足上述3个条件，则a5=3k+4（k为正整数）；
戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的是 同学．
【答案】甲乙丙丁戊
【分析】根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出a1，a2，a3，a4，a5，5个数，通过各自的特点与要求进行求解．
【详解】∵a1，a2，a3是三个连续偶数，且a1∴a1+a2+a3=3a2．
∵a4，a5是两个连续奇数，且a4∴a4=a5−2，
∴a4+a5=2a5−2．
∵a1+a2+a3=a4+a5，
∴3a2=2a5−2．
当a2=6时，
3×6=2a5−2，
∴a5=10，不满足条件，
故甲正确．
当a2=12时，3×12=2a5−2，
∴a5=19，满足条件，
故乙正确．
∵偶数a2是4的倍数，
∴设a2=4k（k为正整数）．
∵3a2=2a5−2，即3×4k=2a5−2，
∴a5=6k+1，满足条件，
故丙正确．
设a1=2k（k是正整数），则a2=2k+2，a3=2k+4，由条件②得a5=a4+2，由条件③得a4+a5=6k+6，
解得a5=3k+4，
故丁正确．
由5个正整数满足上述3个条件，
∴3a2=2a5−2，
∴a5=32a2+1，
若a2=2k（k是正整数），则a5=32a2+1=3k+1，
当k为奇数时，a5为偶数，与题设矛盾，
当k为偶数时，a5为奇数，符合题意，
∴不妨设k=2p（p是正整数），即a2=4p，
∴偶数a2是4的倍数，
∴a2=4p（p为正整数），则a5=6p+1，
∴a1+a2+a3=3a2=12p，a4+a5=2a5−2=12p，
∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是12p3+12p2=10p（p是正整数），
故戊正确．
故答案为：甲乙丙丁戊
【点睛】本题考查了数字类规律题，求平均数，整式的加减，根据题意得出个数之间的关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·重庆江北·七年级校考期中）在任意n（n>1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”．在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324−13264=3060，3060÷17=180，所以1324是“最佳拍档数”．若一个首位是5的四位“最佳拍档数”，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求符合条件的奇数N的值是 ．
【答案】5835
【分析】设数N的十位数字为x，百位数字为y（x，y都为整数），则个位数字为(8−x)，则0≤y≤9，0≤x≤8，x≤y，N=5000+100y+10x+(8−x)，由定义列代数式计算，得(66−x−10y)是17的倍数；又N 是奇数，可求得x=7或x=5或x=3或x=1，相应得出y值，依次试算，得解．
【详解】解：设数N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为(8−x)，则0≤y≤9，0≤x≤8，x≤y，N=5000+100y+10x+(8−x)，
∵N 是“最佳拍档数”
∴50000+6000+100y+10x+(8−x)−50000+1000y+100x+60+(8−x)
=5940−90x−900y
=90(66−x−10y)
∴(66−x−10y)是17的倍数．
∵N 是奇数
∴8−x=1，或8−x=3或8−x=5或8−x=7
∴x=7或x=5或x=3或x=1
当x=7时，y=7、8、9，经计算，(66−x−10y)不是17的倍数；
当x=5时，y=5、6、7、8、9，经计算，(66−x−10y)不是17的倍数；
当x=3时，y=3、4、5、6、7、8、9，经计算，y=8时，66−x−10y=66−3−80=−17是17的倍数；
当x=1时，y=1、2、3、4、5、6、7、8、9，经计算，(66−x−10y)不是17的倍数；
∴符合条件的奇数N的值是5835．
故答案为：5835．
【点睛】本题主要考查用代数式表示数，掌握用代数式表示多位数，能够根据题意列出代数式是解题的关键．
【题型7 整式加减中的新定义问题】
【例7】（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足p=m2−n，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，−1，a，−4，b，…，是理想数列，则a= ，b= ；
(2)若数列x，3x，4，…，是理想数列，求代数式23x2−2x+3的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且p−12q=2，求代数式nn2−3m2+4+9m2−n+2022的值．
【答案】(1)5，29；
(2)173；
(3)2034．
【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可；
（2）根据理想数列的定义代入计算，求出x2−3x，再整体代入整式计算即可；
（3）m，n，p，q，是理想数列，所以q=n2−p，p=m2−n，求出q=n2−m2+n，
结合p−12q=2得3m2−n2−3n=4，结合问题变形为n2−3m2+4=−3n或n2−3m2−3n=−4，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵p=m2−n，
∴a=22−−1=5，
b=52−−4=29，
故答案为：5，29；
（2）由题意可知：
4=x2−3x，
即x2−3x=4，
23x2−2x+3
=23x2−3x+3
=23×4+3
=173；
（3）m，n，p，q，…，是理想数列，
∴q=n2−p，
∵p=m2−n，
∴q=n2−m2−n=n2−m2+n，
∵p−12q=2，
∴m2−n−12n2−m2+n=2，
∴2m2−2n−n2+m2−n=4，
∴3m2−n2−3n=4，
即n2−3m2+4=−3n或n2−3m2+3n=−4，
∴nn2−3m2+4+9m2−n+2022
=n−3n+9m2−n+2022
=−3n2+9m2−9n+2022
=−3n2−3m2+3n+2022
=−3×−4+2022
=12+2022
=2034．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·全国·七年级期末）（1）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，若3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
（2）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝a+b2，a⊕b＝a−b2．
若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．
【答案】（1）y＝2；（2）A＜B．
【分析】（1）把A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2-xy+1，代入3A+6B计算后，使x的系数为0即可；
（2）根据新定义的运算进行计算即可．
【详解】解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，
∴3A+6B
＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2﹣xy+1）
＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2﹣6xy+6
＝3xy﹣6x+3
＝（3y﹣6）x+3，
∵与x的取值无关，
∴3y﹣6＝0，
即y＝2；
（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝3b−a2+a−2+3b2=3b−1，
B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝a−3b2+−a+2+9b2 ＝3b+1，
∵3b﹣1＜3b+1，
∴A＜B
【点睛】本题考查整式的加减，有理数的运算，理解新定义的运算是正确解答的关键．
【变式7-2】（2023春·江苏泰州·七年级校考期中）类似于运算符号“+,−,×,÷”，新定义一种运算符号“⊙”，观察下列运算：
1⊙3=1×5 +3 =8；
3⊙(－1)= 3×5+(－1)=14；
(－3)⊙4=(－3)×5+4=－11
(－5)⊙(－4)=(－5)×5+(－4)=－29 ；
(1) 归纳：用代数式表示a⊙b的结果为： ；
(2) 若2x⊙−6x+3=16，求x的值；
(3) 若a⊙−2b= 4，请计算2a+b⊙5a−11b的值；
(4) 比较 (a2−2b)⊙3b与2b⊙(6a2−17b+1)的大小，并说理由．
【答案】（1） 5a+b ；（2）x=134 ；（3） 12 ；（4）2b⊙(6a2−17b+1)＞(a2−2b)⊙3b;理由见解析.
【分析】（1）观察算式，可知：a⊙b=5a+b；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）先分别表示出a⊙−2b= 4， 2a+b⊙5a−11b，再整体代入求值.
（4）先分别表示出(a2−2b)⊙3b与2b⊙(6a2−17b+1)，再求差比较.
【详解】解：（1）观察可知：a⊙b=5a+b
（2）∵2x⊙−6x+3=16
∴5×2x+(−6x+3)=16
∴4x=13
∴x=134
（3）∵a⊙−2b= 4
∴5a−2b=4
∴2a+b⊙5a−11b=5(2a+b)+(5a−11b)
=15a−6b=3(5a−2b)=3×4=12
（4）∵(a2−2b)⊙3b=5(a2−2b)+3b=5a2−7b
2b⊙(6a2−17b+1)=5×2b+6a2−17b+1=6a2−7b+1
∴2b⊙(6a2−17b+1)-(a2−2b)⊙3b=6a2−7b+1-（5a2−7b）=a2+1>0
∴2b⊙(6a2−17b+1)>(a2−2b)⊙3b
故答案为（1） 5a+b ；（2）x=134 ；（3） 12 ；（4）2b⊙(6a2−17b+1)>(a2−2b)⊙3b．
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算在新定义下的应用，读懂新定义运算，掌握有理数加减的运算法则是解题的关键．
【变式7-3】（2013·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(mn)=d(m)-d(n)．
根据运算性质，填空：da3da= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)= ，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
【答案】(1)1，﹣2
(2)3；0.6020；0.6990；﹣1.097
(3)详见解析
【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算性质计算即可得到结果；
（3）利用反证法，通过9=32，27=33，可以判断d(3)正确，同理据5=10÷2，假设d(5)正确，可以求得d(2)的值，即可通过d(8)，d(6)正确．再运用正确的求出d(1.5)和d(12)的值．
(1)
根据定义可知，10b=n与b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系，d(10)和d(10﹣2)就是指10的指数，
所以d(10)=1，d(10﹣2)=－2．
故答案为：1，﹣2；
(2)
∵d(a3)=d(a×a×a)=d(a)+d(a)+d(a)=3d(a)，
∴da3da=3dada=3；
∵d(2)=0.3010，
∴d(4)=2 d(2)= 0.6020，
d5=d102=d10−d2=1−d2=1−0.3010=0.6990，
d(0.08)= d(10-2×23)=-2＋3d(2)=-2+3×0.3010=﹣1.097，
故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.097；
(3)
应用反证法：
若d3=2a−b，则d9=d3×3=2d3=4a−2b，d27=3d3=6a−3b，
∴若d3≠2a−b，表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d3=2a−b，d9=4a−2b，d27=6a−3b；
若d5=a+c，则d2=d105=d10−d5=1−a+c=1−a−c，
∴d8=3d2=3−3a−3c，d6=d2+d3=1+a−b−c．
∴若d5≠a+c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d5=a+c，d8=3−3a−3c，d6=1+a−b−c．
∴表中只有d(1.5)和d(12)的值是错误的，应纠正为：
d1.5=d3+d5−1=3a−b+c−1，d12=d3+2d2=2−b−2c．
【点睛】本题考查整式的运算，理解“劳格数”的意义，掌握“劳格数”的性质是得出正确答案的前提．
【题型8 整式加减的应用】
【例8】（2023春·广东中山·七年级中山纪念中学校考期中）某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）：
(1)当a=2时，某户一个月用了28m3的水，求该户这个月应缴纳的水费．
(2)设某户月用水量为nm3，当n>20时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）．
(3)当a=2时，甲、乙两户一个月共用水40m3，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水xm3，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）．
【答案】(1)80
(2)2na−16a
(3)当12【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可；
（3）分当12【详解】（1）解：12×2+20−12×1.5×2+28−20×2×2
=24+24+32
=80元，
∴该户这个月应缴纳的水费为80元；
（2）解：12a+20−12×1.5a+n−20×2a
=12a+12a+2an−40a
=2na−16a元，
∴当n>20时，该户应缴纳的水费为2na−16a元；
故答案为：2na−16a；
（3）解：∵12×2=24，
∴x>12，
当12∴12×2+x−12×1.5×2+12×2+20−12×2×1.5+40−x−20×2×2
=24+3x−36+24+24+80−4x
=116−x元；
当20∴12×2+20−12×1.5×2+x−20×2×2+12×2+40−x−12×2×3
=24+24+4x−80+24+84−3x
=x+76元，
当28≤x≤40时，甲的用水量超过20m3，乙的用水量不超过12m3，
∴12×2+20−12×1.5×2+x−20×2×2+40−x×2
=24+24+4x−80+80−2x
=2x+48元；
综上所述，当12【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·陕西汉中·七年级统考期末）某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元，“国庆节”假期期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．
某客户要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x>20且为整数）．
(1)用含x的代数式表示按两种方案购买各需付款多少元？
(2)若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较合算；
(3)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】(1)方案一需付款：20x+1200元；方案二需付款：18x+1440元
(2)按方案一购买较合算
(3)能，先按照方案一购买乒乓球拍20副，送乒乓球20盒；再按照方案二购买10盒乒乓球；
【分析】（1）方案一需付款：20副乒乓球拍子的费用加上x−20盒乒乓球的费用；方案二需付费：用20副乒乓球拍的费用与x盒乒乓球的费用之和乘以90%即可
（2）当x=30时，按照两种优惠方案分别计算出付款额度，付款少的方案购买即可
（3）先按照方案一购买乒乓球拍20副，送乒乓球20盒，再按照方案二购买10盒乒乓球即可
【详解】（1）方案一需付费：20×80+x−20×20=20x+1200，即20x+1200元；
方案二需付费：20×80+20x×0.9=18x+1440，即18x+1440元
（2）当x=30时：
方案一需付费：20×30+1200=1800元；
方案二需付费：18×30+1440=1980元；
∵1800<1980，
∴按方案一购买较合算
（3）先按照方案一购买乒乓球拍20副，送乒乓球20盒；再按照方案二购买10盒乒乓球；
则需付费：20×80+10×20×0.9=1780（元）
【点睛】本题考查列代数式及代数式求值问题，读懂题意是解决问题的关键
【变式8-2】（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
(1)若王老师一次性购物600元，他实际付款___________元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是___________元；
(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款___________元，当x大于或等于500元时，他实际付款___________元（用含x的代数式表示并化简）；
(3)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200【答案】(1)470，160或200
(2)0.8x，0.7x+50
(3)0.1a+680，195
【分析】（1）500元按8折计算，超出的7折计算，实际付款160元，分两种情况讨论：一次性购物160元，没有优惠；一次性购物超过200元，有八折优惠；
（2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时．他实际付款，500这部分按8折计算，超出的x−500这部分7折计算；
（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．
【详解】（1）解：500×0.8+(600−500)×0.7=400+100×0.7=400+70=470（元），
实际付款160元，有两种可能：
一是一次性购物160元，没有优惠；
二是一次性购物超过200元，则有八折优惠，则原价为160÷0.8=200（元）．
所以，王老师一次性购物可能是160或200元．
（2）解：当x小于500元但不小于200时，实际付款x×0.8=0.8x（元）
x大于或等于500元时，实际付款：500×0.8+(x−500)×0.7=0.7x+50（元）
（3）因为第一天购物原价为a元(200则第二天购物原价为900−a元，则900−a>500
第一天购物优惠后实际付款 a×0.8=0.8a（元）
第二天购物优惠后实际付款500×0.8+(900−a)−500×0.7=680−0.7a（元）
则一共付款0.8a+680−0.7a=0.1a+680（元）
当a=250元时，实际一共付款680+0.1×250=680+25=705（元）
一共节省900−705=195（元）
【点睛】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握要正确列代数式，只有分清数量之间的关系，表示超出的部分是解题关键．
【变式8-3】（2023春·浙江·七年级期中）某农户2020年承包荒山若干亩，投资7800元改造后，种果树2000棵．今年水果总产量为36000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b(1)当a=3，b=2时，农户在水果市场或在果园中出售完全部水果的总收入分别是多少元？
(2)用a，b分别表示农户在水果市场或在果园中这两种方式出售完全部水果的纯收入？（纯收入=总收入−总支出）
(3)若a=b+kk>0，k−2=2−k且k是整数，若两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，试讨论当k为何值时，选择哪种出售方式较好．
【答案】(1)此水果在果园出售总收入为72000元，在水果市场出售总收入为68400元
(2)农户在果园中出售完全部水果的纯收入为(36000b−7800)元，农户在水果市场出售完全部水果的纯收入为(36000a−47400)元；
(3)当k=1时，选择果园出售；当k=2时，选择水果市场出售
【分析】（1）根据题意可知，水果直接在果园的出售收入为36000b元，在水果市场出售收入=水果的总收入−额外支出，列出代数式并代入求值即可获得答案；
（2）根据“纯收入=总收入−总支出”，计算即可；
（3）由题意知k=1或2，分两种情形分别计算即可解决问题．
【详解】（1）解：根据题意，
此水果在果园出售，总收入w1=36000b元，
此水果在水果市场出售，总收入w2=36000a−360001000×(100×8+300)=(36000a−39600)元，
当a=3，b=2时，
此水果在果园出售，总收入w1=36000×2=72000元，
此水果在水果市场出售，总收入w2=36000×3−39600=68400（元）；
（2）农户在果园中出售完全部水果的纯收入为m1=(36000b−7800)元，
农户在水果市场出售完全部水果的纯收入为m2=36000a−39600−7800=(36000a−47400)元；
（3）∵k−2=2−k且k是整数，
∴k=1或2，
当k=1时，a=b+1，
在果园中出售完全部水果的纯收入m1=(36000b−7800)元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入m2=36000×(b+1)−47400=(36000b−11400)元，
∵36000b−7800>36000b−11400，
∴选择果园出售方式较好；
当k=2时，a=b+2，
在果园中出售完全部水果的纯收入m1=(36000b−7800)元，
在水果市场出售完全部水果的纯收入m2=36000×(b+2)−47400=(36000b+24600)元，
∵36000b−7800<36000b+24600，
∴选择水果市场出售方式较好．
综上所述，当k=1时，选择果园出售；当k=2时，选择水果市场出售．
【点睛】本题考查了列代数式、代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．剪的次数
1
2
3
4
正方形个数
7
10
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d(x)
3a−b+c
2a−b
a+c
1+a−b−c
3−3a−3c
4a−2b
3−b−2c
6a−3b
用户月用水量
单价
不超过12m3的部分
a元/m3
超过12m3但不超过20m3的部分
1．5a元/m3
超过20m3的部分
2a元/m3
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
八折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予八折优惠，
超过500元部分给予七折优惠