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专题2.9 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题2.9 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题29有理数中规律和新定义综合应用的六大题型浙教版原卷版docx、专题29有理数中规律和新定义综合应用的六大题型浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
考卷信息：
本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！
【题型1 数列型规律探究】
1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．3n−2个B．3n+2个C．5n+1个D．5n−1个
2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380B．382C．384D．386
4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）
A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038
5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．
【题型2 裂差型规律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：
第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；
第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－12＋15|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
−1×12=−1+12
−12×13=−12+13
−13×14=−13+14
……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：−15×16+−16×17
(4)−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12021×12022=________
5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________
12×23×34=________
12×23×34×45=________
猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：1100−1×199−1×198−1×⋯⋯×13−1×12−1
②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?
6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
根据上面的规律，解答下列问题：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；
(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；
(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．
【题型3 新定义型规律探究】
1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．
2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；
（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．
利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．
3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：
f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .
4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；
(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；
(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；
(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；
0※(+8)=8；
(−6)※0=6．
小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．
两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．
(2)计算：
①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
②(−4)※3※(−10)※(−5)．
5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(−2)∗(−7)= ；(+4)∗(−3)= ；0∗(−5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【题型4 含n2型规律探究】
1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：
（1）13=12
（2）13+23=32
（3）13+23+33=62
（4）13+23+33+43=102
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45B．54C．55D．65
2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2−12，偶数项表示为n22．
如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…
现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．
第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
…
按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．
3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：
0×2+1＝12……①
1×3+1＝22……②
2×4+1＝32……③
3×5+1＝42……④
……
（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：
（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．
4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)
5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．
6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为 ．
【题型5 定义两个数的运算】
1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,aA．4B．11C．4或11D．1或11
2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a−3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(−3)=2×2−3×(−3)=4+9=13，1⊗2=2×1−3×2=2−6=−4．则−1⊗3⊗−2的值是（ ）．
A．−2B．−18C．−28D．−38
3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
(1)探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．
(2)有理数m，n满足(m+2)2+n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．
6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：−2★3=−22−−2×3=10，那么−3★−2★13的结果是 ．
【题型6 定义多个数的运算】
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P1(x , y)，定义其变换法则如下：P1(x , y)=(x+y , x−y)；且规定P0(x , y)=P1(Pn−1(x , y))（n为大于1的整数），如P1(1 , 2)=(3 , −1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , −1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , −2)，则P2011(1 , −1)=（ ）
A．(0 , 21005)B．(0 , −21005)C．(0 , −21006)D．(0 , 21006)
2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n<10fn,n≥10，其中fn表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F6=62=36，F123=12+32=10．规定F1n=Fn，Fk+1n=FFn（k为正整数），例如，F1123=F123=10，F2123=FF1123=F10=1．按此定义，则由F14= ，F20194= ．
3．（2023春·山东东营·八年级统考期中）对于正数x规定f(x)=11+x，例如：f(3)=11+3=14，f(15)=11+15=56，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)＝ ．
4．（2023春·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”写作−3④，读作“−3的圈4次方”
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷an个aa≠0记作：an，读作“a的圈n次方”别地，规定：a①=a．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果：2022②=______，−20232022③=______；
(2)若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或−1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：an=________；
(4)比较：−9⑤______−3⑦；（填“>”或“=”）
(5)计算：−142÷−12④×−7⑥−−48÷−17④+−1
5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c−a|−|c−b||，n=|c−a|+|c−b|
（1）当a=−3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．
（2）当a=−3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．
（3）当a=−3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a−b|，化简：|m−p|−|p−n|+2|m−n|
6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“−”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．1﹣122
(1+13)(1−13)
1﹣132
(1+15)(1−15)
1﹣142
(1+14)(1−14)
1﹣152
(1+12)(1−12)
考卷信息：
本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！
【题型1 数列型规律探究】
1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（ ）
A．3n−2个B．3n+2个C．5n+1个D．5n−1个
2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253B．255C．257D．259
3．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380B．382C．384D．386
4．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（ ）
A．−3029B．−3032C．−3035D．−3038
5．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．
【题型2 裂差型规律探究】
1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．
2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：
第1个等式：a1=11×3=12×1−13；第2个等式：a2=13×5=12×13−15；
第3个等式：a3=15×7=12×15−17；第4个等式：a4=17×9=12×17−19；
…
请回答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．
（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值
3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7＋2|＝ ；
②|－12＋15|＝ ；
（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．
4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：
−1×12=−1+12
−12×13=−12+13
−13×14=−13+14
……
(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________
(2)第n个等式是：________________________
(3)运用你发现的规律计算：−15×16+−16×17
(4)−1×12+−12×13+−13×14+⋯+−12021×12022=________
5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________
12×23×34=________
12×23×34×45=________
猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①计算：1100−1×199−1×198−1×⋯⋯×13−1×12−1
②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?
6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1−12=21×2−11×2=11×2；12−13=32×3−22×3=12×3；13−14=43×4−33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
根据上面的规律，解答下列问题：
(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；
(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；
(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．
【题型3 新定义型规律探究】
1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．
2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；
（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．
利用以上规律计算：f(12008)−f(2008)= ．
3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：
f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .
4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；
(−3)※(−5)=+(|3|+|5|)=+8；
(−3)※(+4)=−(|3|+|4|)=−7；
(+5)※(−6)=−(|5|+|6|)=−11；
0※(+8)=8；
(−6)※0=6．
小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．
两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；
特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．
(2)计算：
①(−5)※0※(−3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
②(−4)※3※(−10)※(−5)．
5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)∗(+3)=+5；(−1)∗(−9)=+10；(−3)∗(+6)=−9；(+4)∗(−4)=−8；0∗(+1)=1；0∗(−7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(−2)∗(−7)= ；(+4)∗(−3)= ；0∗(−5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）
6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【题型4 含n2型规律探究】
1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：
（1）13=12
（2）13+23=32
（3）13+23+33=62
（4）13+23+33+43=102
……
根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（ ）
A．45B．54C．55D．65
2．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2−12，偶数项表示为n22．
如：第一个数为12−12=0，第二个数为222=2，…
现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．
第1秒时，点P在原点，记为P1；
第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；
第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；
…
按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．
3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：
0×2+1＝12……①
1×3+1＝22……②
2×4+1＝32……③
3×5+1＝42……④
……
（1）第⑤个式子 ，第⑩个式子 ；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：
（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．
4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：
(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______
(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)
5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…
(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；
(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．
6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．
我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ．
【解决问题】
根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为 ．
【题型5 定义两个数的运算】
1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a−b,a≥ba−2b,a
2．（2023春·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b=2a−3b等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：2⊗(−3)=2×2−3×(−3)=4+9=13，1⊗2=2×1−3×2=2−6=−4．则−1⊗3⊗−2的值是（ ）．
A．−2B．−18C．−28D．−38
3．（2023春·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=12(|a−b|+a+b)
(1)探究性质：
①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3⊕−2=________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求【−92.5⊕16.33】⊕【−33.8⊕−4】的值；
②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是 ．
4．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−20232，1⊗2⊗3=1+2−20232+3−20232=−2017．
材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，−1.3=−2．
(1)2⊗6 =______，−ππ=______；
(2)求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：
(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出m⊗m+n的结果．
5．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有a⊙b=ab+b．例如：1⊙2=1×2+2=4．
(1)计算(−5)⊙(−1)的结果是______．
(2)有理数m，n满足(m+2)2+n−3∣=0，求(m⊙n)⊙(−1)的值．
6．（2023春·湖南邵阳·七年级校联考期中）定义一种运算符号“★”：a★b=a2−ab，如：−2★3=−22−−2×3=10，那么−3★−2★13的结果是 ．
【题型6 定义多个数的运算】
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）对一组数(x , y)的一次操作变换记为P1(x , y)，定义其变换法则如下：P1(x , y)=(x+y , x−y)；且规定P0(x , y)=P1(Pn−1(x , y))（n为大于1的整数），如P1(1 , 2)=(3 , −1),P2(1 , 2)=P1(P1(1 , 2))=P1(3 , −1)=(2 , 4)，P3(1 , 2)=P1(p2(1 , 2))=P1(2 , 4)=(6 , −2)，则P2011(1 , −1)=（ ）
A．(0 , 21005)B．(0 , −21005)C．(0 , −21006)D．(0 , 21006)
2．（2023春·全国·七年级期中）对于正整数n，定义Fn=n2,n<10fn,n≥10，其中fn表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F6=62=36，F123=12+32=10．规定F1n=Fn，Fk+1n=FFn（k为正整数），例如，F1123=F123=10，F2123=FF1123=F10=1．按此定义，则由F14= ，F20194= ．
3．（2023春·山东东营·八年级统考期中）对于正数x规定f(x)=11+x，例如：f(3)=11+3=14，f(15)=11+15=56，，则f (2019)＋f (2018)＋……＋f (2)＋f (1)＋f(12)+f(13)+⋯+f(12018)+f(12019)＝ ．
4．（2023春·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．
比如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”写作−3④，读作“−3的圈4次方”
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷an个aa≠0记作：an，读作“a的圈n次方”别地，规定：a①=a．
【初步探究】a的圈n次方
(1)直接写出计算结果：2022②=______，−20232022③=______；
(2)若n为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号）
A．任意非零数的圈2次方都等于1
B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或−1
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
E．互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数
F．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)请把有理数aa≠0的圈nn≥3次方写成幂的形式：an=________；
(4)比较：−9⑤______−3⑦；（填“>”或“=”）
(5)计算：−142÷−12④×−7⑥−−48÷−17④+−1
5．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c−a|−|c−b||，n=|c−a|+|c−b|
（1）当a=−3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．
（2）当a=−3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．
（3）当a=−3，b=4，且n=2m，求c的值．
（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a−b|，化简：|m−p|−|p−n|+2|m−n|
6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“−”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．1﹣122
(1+13)(1−13)
1﹣132
(1+15)(1−15)
1﹣142
(1+14)(1−14)
1﹣152
(1+12)(1−12)
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