山东省烟台市2023-2024学年高一下学期7月期末学业水平诊断数学试卷(含答案)

这是一份山东省烟台市2023-2024学年高一下学期7月期末学业水平诊断数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知事件A与事件互为对立事件,且,则( )
A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7
2．给定一组数据：10,12,15,16,18,20,21,则其分位数为( )
A.17B.18C.19D.20
3．某公司A,B,C三个部门的员工数量之比为,现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查,若从B部门抽取员工6名,则从A部门抽取员工的数量为( )
A.2B.4C.5D.6
4．在正方体中,直线与所成角的大小为( )
A.B.C.D.
5．袋子中有4个除颜色外完全相同的小球,其中1个红球､3个白球,从中不放回地依次随机摸出2个球,则“第二次摸到白球”的概率为( )
A.B.C.D.
6．若a,b是异面直线,则下列结论一定正确的是( )
A.存在与a,b都平行的直线B.存在与a,b都垂直的平面
C.存在过a且与b垂直的平面D.存在过a且与b平行的平面
7．如图,是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图,其中.以为轴,将旋转一周得到的几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
8．先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子,观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”,乙表示事件“两次点数之和为7”,丙表示事件“至少有一次的点数为4”,则( )
A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥C.甲与乙独立D.乙与丙独立
二、多项选择题
9．已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列结论正确的有( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,,则
10．已知一组样本数据,,,,满足,则去掉后的新数据与原数据相比( )
A.平均数不变B.中位数不变C.方差不变D.极差不变
11．已知D,E,F是边长为2的等边三角形相应边的中点,分别沿着,,把,,向上折起,使得每个三角形所在的平面都与平面垂直,再顺次连接A,B,C,得到多面体,则( )
A.多面体中直线与所成的角为
B.多面体中直线与平面所成的角为
C.多面体的体积为
D.多面体外接球的表面积为
三、填空题
12．已知数据-1,2,4,x,7,8的众数为4,则其标准差为_________________.
13．若某正四棱台的上､下底面的边长分别为2和4,侧棱长为,则其体积为___________.
四、双空题
14．如图,在三棱锥中,底面是边长为2的正三角形,且平面,点M为的中点,点N为棱上一动点,且.若直线与底面所成角的正切值为,则的值为_____________.在A,M,B,P,N,C,6个点中任取4个,则这4个点能构成三棱锥的概率为_______________.
五、解答题
15．抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子,记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x,黄色骰子与地面接触的面上的数字为y,
(1)求“为偶数”的概率;
(2)求“”的概率.
16．每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况,某学校从本校学生中随机抽取了200名学生,对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查,并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）;
(3)已知落在样本数据的平均值是53,方差是4;落在样本数据的平均值是68,方差是9.求落在样本数据的平均值和方差.
17．如图,在四棱锥中,,,.
(1)求证：平面平面;
(2)若,E,F分别为,的中点,求证：平面平面.
18．甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛;规则如下：对抗赛分为若干局;每局比赛只有胜负两种结果,胜者得1分,负者得0分;积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛,对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为;且各局比赛结果互不影响.
(1)求经过3局比赛,对抗赛结束的概率;
(2)求甲代表队赢得对抗赛的概率.
19．如图,在直三棱柱中,,,P,Q分别为,的中点.
(1)求证：平面;
(2)设平面与平面的交线为l,求二面角的正切值;
(3)在线段上是否存在点M,使直线与平面所成角的大小为？若存在,求出的长度;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为事件A与事件互为对立事件,
所以,
故选：C.
2．答案：D
解析：这组数从小到大已排列好,
因为,
所以分位数为第6个数20,
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意得,解得,
所以从部门抽取员工的数量为.
故选：B.
4．答案：C
解析：设正方体的棱长为a,连接,,
因为且,所以四边形是平行四边形,
可得,
所以或其补角即为直线与所成角,
在中,,所以,
所以直线与所成角大小为,
故选：C.
5．答案：A
解析：袋子中有4个除颜色外完全相同的小球,其中1个红球､3个白球,
从中不放回地依次随机摸出2个球,第二次摸到白球的情况有两种：
①第一次摸到白球,第二次摸到白球,概率为：,
②第一次摸到红球,第二次摸到白球,概率为：,
则第二次摸到白球的概率为.
故选：A.
6．答案：D
解析：对于A,如果存在存在与a,b都平行的直线,则,与a,b是异面直线矛盾,故A错误;
对于B,如果存在与a,b都垂直的平面,则,与a,b是异面直线矛盾,故B错误;
对于C,如果存在过a且与b垂直的平面,则,因为a,b是异面直线,不一定垂直,故C错误;
对于D,设A为直线a上一点,在b上取两点B,C,则A,B,C确定一个平面,
在内过A作,此时a与d确定一个平面即为过a且与b平行的平面,故D正确,
故选：D.
7．答案：B
解析：如图为的原图,可得,
所以,所以以为轴,
将旋转一周得到的几何体是C为顶点为半径的圆锥,
,,所以几何体的表面积为.
故选：B.
8．答案：C
解析：先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子的样本点共有个,
甲表示事件“第一次的点数大于4”的样本点有,,,,,,,,,,,,12个,
乙表示事件“两次点数之和为7”的样本点有,,,,,,6个,
丙表示事件“至少有一次的点数为4”的样本点有,,,,,,,,,,,11个;
对于A,事件甲与事件乙都包含,,所以甲乙不互斥,A错误;
对于B,事件乙与事件丙都包含,,所以乙丙不互斥,B错误;
对于C,事件甲的概率为,事件乙的概率为,事件甲与事件乙同时发生的概率为,
因为,所以甲与乙独立,C正确;
对于D,事件丙的概率,事件丙与事件乙同时发生的概率为,
因为,所以乙与丙不独立,D错误;
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A,若,,则或,故A错误;
对于B,若,,,由线面垂直的性质定理,则,故B正确;
对于C,若,,则或,
当时,又,所以,
当时,则内必存在一直线,而,则,
,故,故C正确;
对于D,若,,,,则与平行或相交,故D错误,
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：由得,,,.
对于A：,,,,的平均数,
又,,,的平均数等于,故A正确;
对于B：,,,,的中位数为,
又,,,的中位数为,故B正确;
对于C：,,,,的方差等于,
又,,,的方差等于,
故C错误;
对于D：,,,,与,,,的极差都等于,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：分别取,,中点M,N,P,连接,,,,,如图所示：
因为平面平面且平面平面,又,
所以,又平面,于是平面,
同理可得,平面,平面,因此.
因又为,
所以,
综上可得,四边形,,是矩形,
又,即且,
同理,,.
对于A：因为,所以直线与所成的角,
又是正三角形,于是,故A正确;
对于B：取的中点Q,连接,,,如下图：
因为且,所以四边形是平行四边形,即;
因为平面平面,,平面,
所以平面,而且平面,于是平面,
从而可知,直线与平面所成的角为,
,,
进而,故B错误;
对于C：多面体的体积等于
,故C正确;
对于D：分别取,的中心,,连接,,
由题意易知,该多面体外接球球心在上,记球心O,如下图：
则,,
,由,
得,即,
于是多面体外接球的表面积为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：3
解析：因为数据-1,2,4,x,7,8的众数为4,
所以,
所以平均数为：,
所以标准差为：,
故答案为：3.
13．答案：
解析：如图所示,
在正四棱台中,点,O分别为上、下底面的中心,
连接,,,则由题意可知底面,,,
过点作交于点E,则底面,
进而得四边形为矩形,,所以,
又因为,所以,
即正四棱台的高为4,
所以正四棱台的体积为.
故答案为：.
14．答案：;
解析：如图,过点N作,交于点E,连接,
因为平面,
所以平面,
因为直线与底面所成角的正切值为,
所以,
又,,,
所以,,
又在中,
所以,
所以,即,
所以;
从A,M,B,P,N,C,6个点中任取4个,共有个结果,
其中4个点共面的取法有6个,
所以这4个点能构成三棱锥的概率为,
故答案为：;.
15．答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意知,样本空间,,共16个样本点.
设事件“为偶数”,则,共12个样本点.
所以,即“为偶数”的概率为.
(2)由（1）知,样本空间包含16个样本点.
设事件“”,则,共10个样本点.
所以,即“”的概率为.
16．答案：(1)
(2)54.4
(3)59,60
解析：(1)由题意知,,
解得;
(2)根据频率分布直方图,
所以;
(3)由频率分布直方图知,
落在､的样本数据的频数分别为60,40,
所以,
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)因为,,所以.
又因为,,平面,平面,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
(2)延长交于G,
因为E,F分别为,中点,
所以,又平面,平面,
所以平面.
因为,所以,又E为中点,所以,
注意到,所以,所以.
又因为,所以G为中点,所以.
又因为平面,平面,所以平面.
因为,平面,平面,
所以平面平面.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设事件“甲第局获胜”,事件“经过3局比赛,对抗赛结束”,
由题意知,前3局比赛中,甲全胜或者全负,即,
,
,
于是,
经过3局比赛,对抗赛结束的概率为.
（2）设事件“甲赢得对抗赛”,“经过局比赛,甲赢得对抗赛”,.
则.
若,则甲､乙的积分之比为,;
若,则甲､乙的积分之比为,即在前三局比赛中,甲胜两局负一局,第四局甲获胜,
所以
;
若,则甲､乙的积分之比为,即在前四局比赛中,甲､乙两人各胜两局,第五局甲获胜,
所以
故.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,
解析：(1)证明：设,连接,
因为四边形为平行四边形,所以N为中点,
又因为P为中点,所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(2)设平面与平面的交线为l,
又平面,平面,所以.
因为三棱柱为直三棱柱,所以平面,
因为平面,所以
设O为中点,连接,则,,
因为,,所以,,
因为,,平面,
所以平面.
因为平面,所以.
过O作,因为,,平面,
所以平面.
连接,因为平面,所以,
所以为二面角的平面角.
因为,所以,
因为,
所以,所以,即,所以.
在中,,,所以,
即二面角的正切值为.
(3)设A在面上射影为E,则为与平面所成角.
由,得,
因为,,,
所以,所以,
所以,
因为,所以,解得.
由,所以.
在中,由余弦定理,
解得,
所以,在线段上存在点M,当时,与平面所成角大小为.