中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第2章 平面向量2.2 向量的线性运算2.2.3 向量的数乘运算优秀练习

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基础巩固
一、单选题
1．已知，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C；由数乘向量的模的意义可知，故AB错误，C正确，当或时，，故D错误.
2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.因为，所以或.
④错误.当λ＝μ＝0时，，此时，与可以是任意向量.
所以错误命题有3个.
3．在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A；,所以 ，
4．如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D；由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；
，故C错误；，故D正确.
故选：D
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为( )
A．B．C．D．
【答案】D；．
6．如图，已知分别是的中点，交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A.设，利用三点共线求得，进而求得的值，进而得到的值.
因为分别是的中点，易知，设，由向量加法的平行四边形法则可得，由于三点共线，则，解之得
从而=，所以，则
7．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C；因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
8．已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数 （ ）
A．6B．C．3D．
【答案】B，．向量，，．
．是平面上的两个不共线向量，，．
9．已知向量a=e1-2e2，，其中不共线，则与的关系是（ ）
A．不共线B．共线C．相等D．无法确定
【答案】B；因为a=e1-2e2，，所以，
因此与的关系是共线，
10．如图，在矩形中，为中点，那么向量=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A;因为在矩形中，为中点，所以，所以，
二、填空题
11．等于 ．
【答案】.故答案为：
12．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若，用表示 .

【答案】
.
13．如图，C，D将线段AB等分为三段，则
（1） ；
（2）AB= ；
（3） ．
【答案】 1 3 -2
（1）因为方向相同，且，故，
（2）由于方向相同，且，故，
（3）由于方向相反，且，故.
14．化简：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
解：（1）原式
.
（2）原式，
.
15．如图所示，已知，则用表示为 ．
【答案】;．
三、解答题
16．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】（1）.
（2）
.
（3）.
17．已知，，求，与．
【答案】解：因为，，则，
，
.
18．已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.
【答案】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，
即＝－8＋9－3.
能力进阶
19．如图，在正方形ABCD中，若E是AB的中点，，，试用，表示．
【答案】.
20．设，若用与表示，求的表达式.
【答案】因，
则，
所以.