2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级上学期数学月考试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中是无理数是( )
A. B. 3.14C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如(两个1之间依次增加1个0)等．
【详解】解：A． 是有理数；
B． 3.14是有理数；
C． 是无理数；
D． 2有理数；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及乘法公式计算得出答案．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意；
B.，故此选项错误，不符合题意；
C.，故此选项错误，不符合题意；
D.，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除，平方差公式、完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法法则以及平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
4. 用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．
【详解】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
5. 把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．根据“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律求解即可．
【详解】解：的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得．
故选A．
6. 对于双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. k＜3B. k≤3C. k＞3D. k≥3
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象性质选出正确选项．
【详解】解：当时，y随着x的增大而减小，所以，即．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象性质．
7. 如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
【详解】解：由已知得：，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形．
8. 如图，已知，，则下列比例式中错误是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，
，故A正确；
，
，即，故B正确；
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9. 如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.

A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数
【详解】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选C．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，所以②错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以③正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为小数点向右移动的位数的相反数．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 函数中，自变量的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数的表达式是分式时，分母不能为；（3）当函数的表达式是二次根式时，被开方数大于或等于零．
【详解】由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. 计算：的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解．
详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键．
14. x3y﹣xy3因式分解结果为_____．
【答案】xy（x+y）（x﹣y）．
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）．
故答案为：xy（x+y）（x﹣y）．
【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意多种方法灵活运用．
15. 不等式组的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：
故不等式组的解集为：
故答案为：
16. 一个扇形的圆心角为，这个扇形的直径是，则这个扇形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，则的内切圆半径______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
18. 小明的卷子夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页、数学页、英语页，他随机地从卷子夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式的应用，由小明的卷子夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页，数学页，英语页，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵小明的卷子夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页，数学页，英语页，
∴他随机地从讲义夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：．
故答案为：．
19. 在矩形中，点在直线上，，若，则点A到直线的距离为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①点在边上时，连接，作于，由矩形的性质得出，，，求出，，在中，由勾股定理得出，再由的面积的面积的面积矩形的面积，即可得出结果；②点在边的延长线时，作于，延长线与延长线交于点，由矩形的性质得出，，，，，证出是的中位线，得出，，在中，由勾股定理得出，再由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①点在边上时，
如图1所示：连接，作于，

四边形是矩形，
，，，
，
，，
在中，，
的面积的面积的面积矩形的面积，
，
解得：；
②点在边延长线时，
如图2所示：作于，延长线与延长线交于点，

四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是的中位线，
，
，在中，，
的面积，
；
综上所述，点到直线的距离为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键．
20. 如图，在中，若，若，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】作的角平分线，作，设，可证得，再证得，在直角三角形中利用勾股定理即可求出，即可求解．
【详解】解：作的角平分线，作

设，则
∵
∴，
∵
∴
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
解得：（舍去）
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、一元二次方程等知识点，综合性较强，需要学生具备较强的逻辑推理能力，作出辅助线是解题关键．
三、解答题（共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin60°+tan45°．
【答案】
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝，
当x＝2×时，原式＝．
【点睛】考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 如图，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）将绕点C顺时针旋转，得到，在图中画出；
（3）直接写出点B所经过的路径弧的长．（结果保留π）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点A、点B绕点C顺时针旋转所得对应点，再顺次连接可得；
（3）根据弧长公式求解可得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：∵，，
∴点B所经过的路径弧的长．
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称和旋转变换的定义及其性质．
23. 为了解某校九年级学生数学期末考试情况，小亮随机抽取了部分学生的数学成绩（成绩都为整数）为样本，分为A（90～100分）、B（89～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题：

（1）求这次随机抽取的样本容量；
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
【答案】（1）40人 （2）见解析
（3）480人
【解析】
【分析】（1）由等级人数及其所占百分比可得总人数，用乘以等级人数所占比例即可；
（2）用总人数乘以等级对应的百分比求出其人数，据此可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中、等级人数所占比例．
【小问1详解】
解：∵C等级的人数是20人，占总数的百分比是50%，
∴这次随机抽取的学生人数：（人）；
【小问2详解】
解：B等级的人数是：（人），补全统计图如下：
【小问3详解】
解：根据题意得：
（人），
∴这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且点，分别在边上，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）平行线与间的距离是
【解析】
【分析】（1）先根据是平行四边形可得，再根据角平分线性质得到，即可证明四边形是平行四边形，从而证明是菱形；
（2）连接，过点A作，根据题中条件和四边形是菱形，可得，从而根据的面积求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，过点A作，如图，
∵，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
由（1）得：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴的长即平行线与间的距离，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴的面积等于，即，解得：，
∴平行线与间的距离是；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，三角形外角等，正确作出辅助线和灵活运用所学知识是关键．
25. 某工厂现有74台机器，每台机器平均每天生产360件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加台机器，每天的生产总量为件，求与之间的关系式，并写出的取值范围；
（2）在（1）的条件下，增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是多少？
【答案】（1）
（2）台，件
【解析】
【分析】本题主要考查了列二次函数的关系式，求二次函数最大值，
对于（1），根据总产量机器的台数每台机器产量列出关系式，再整理即可；
对于（2），根据二次函数图象的性质讨论极值．
【小问1详解】
根据题意，得，
∵解得：；
【小问2详解】
∵中，
∴二次函数图象有最高点，函数有最大值，
即当，．
所以增加8台机器，可以使每天的生产量最大，最大总量是26896件．
26. 已知的直径与弦交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接，弦交直径于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接交直径于点，，过点的直线交的延长线于点，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）见详解； （3）．
【解析】
【分析】（1）利用弧、弦之间的关系及线段垂直平分线的判定定理即可证明；
（2）利用已知条件证明，得圆心角相等即可证明；
（3）根据角平分线、三角函数及已知条件作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理及三角函数使问题得以解决．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，即．
【小问2详解】
证明：作的平分线，交于点G，连接，
，
是的直径，
，即，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
作于M，设，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
连接，
，
，同理，
，，
，
，
，设，
，
，
中，，
，
中，，
， ，
作于N，
， 平分，
，
， ，
即，
，
，，
连接，
，
，
，即，
，
，
，，
．
【点睛】本题是圆的综合题，有难度，考查了线段垂直平分线的判定、圆周角、弧、弦及圆心角的关系、勾股定理、三角函数、角平分线的性质及判定，熟练掌握角平分线性质及判定是本题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，与轴交于点．
（1）如图1，求的值；
（2）如图2，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图3，在（2）的条件下，点是第一象限内，直线上方任意一点，点在线段上，连接，线段与线段交于点，过点作交抛物线于点，若，时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意先得出，，根据得出，代入解析式，即可求解；
（2）设，得出的解析式为，则，则；进而根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）作交轴于点，设与轴交于点，与轴交于点，先证明，进而得出，，设，则，在中，，勾股定理得出，则，进而得出直线的解析式为，联立抛物线求得点的坐标，得出直线的解析式为，设，勾股定理求得，则，得出直线的解析式为，联立抛物线，即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
当，则，
解得：，
∴，，则
∵
∴
∴，
∴
解得：
∴；
【小问2详解】
设，
∵点，设的解析式为，
将点代入得，
解得：，
∴
领，
∴
∴
∴
【小问3详解】
解：如图所示，作交轴于点，设与轴交于点，与轴交于点，
∵
设，则
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴四点共圆，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，设，则
又∵
∴，
∵，，
∴,
又∵,
∴，
∴
∵
∴
在中，
∴
解得：（舍去）或
∴
设直线的解析式为，则
解得：
∴
联立
解得：或
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设
∴，,
∵
∴
即
∴
∴
设直线的解析式为
将点代入，得
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理，面积问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质以及灵活导角是解题的关键．