数学（山东专用）-2024年新高二开学摸底考试卷

这是一份数学（山东专用）-2024年新高二开学摸底考试卷，文件包含数学解析版docx、数学考试版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得集合，可求得.
【详解】依题得，则．
故选：C.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，解得，
所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.
【详解】由题意可知，，所以，
又，即.
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
4．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值.
【详解】由曲线，得，
在处的切线斜率为，当时，，
曲线在处的，即，
曲线，导数为，
设切点为，则，解得，切点在切线上，
即有，得.
故选：A.
5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果.
【详解】
，
所以.
故选：A.
7．已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，判断每段的单调性，继而列出满足题意的不等式，结合函数单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知时，，在上单调递增，最小值为，
时，，单调递减，在上无最小值．
则由已知需满足，即，
设，易知该函数为R上的增函数，且，从而．
故选：A．
8．已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解.
【详解】
令，即，
则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数，
做出函数与函数的图像，如图所示，
当直线与曲线相切时，
又当时，，则，则，则，即且点为，此时，
因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点，
所以，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．当时，的图象关于对称
B．当时，在上的最大值为
C．当为的一个零点时，的最小值为1
D．当在上单调递减时，的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．
【详解】时，，因为，
所以关于对称，故A正确；
时，由可得，
根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误；
若，则，，所以，，且，
所以的最小值为1，故C正确；
因为在上单调递减，且，
根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为：
，，，，
所以，，所以，故D正确．
故选：ACD．
10．若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，下列函数为“函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】通过分析可得“函数”满足两个条件，即是定义域为的偶函数，且在上为增函数，然后再对各选项进行判断.
【详解】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，
变形可得，即．
若，则，可得，
即在上为增函数．
又为偶函数，在上为减函数．
对于选项，易知在上单调递减，在上单调递增，不符合题意．
对于选项，函数的定义域为，且为偶函数．
，当时，在上为增函数，符合题意．
对于选项，函数的定义域为，不符合题意．
对于选项D，易知的定义域为，且为偶函数．
易知当时，单调递增，符合题意．
故选：BD.
11．定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的值是
C．函数有一个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
【答案】BD
【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，判断关于的方程的根的个数即可判断D.
【详解】由，所以，，
令，得，由函数的对称中心为，
所以且，解得，故A错误；
因为的对称中心为，
即，
令,
则，
所以，所以，故B正确；
因为，则，
所以当时，，当或时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
因此函数的极大值为，极小值为；
又，即，，
所以在和上存在零点，所以函数有三个零点， 故C错误；
设切点为，则切线方程为，
又切线过，则，
化简得，令 ，
则，
当或时，，单调递增，当时，，
单调递减，而，，，，所以有3个零点，即方程有3个不等实根，所以过可以作三条直线与图象相切，故D正确.
故选：BD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，，若，，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.
【详解】因为，所以,
因为，所以,
所以.
故答案为：.
13．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答
【答案】南偏西
【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案.
【详解】如图，在中，，

由正弦定理得 ，解得，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以解得，
由正弦定理得 ，解得，
故 或，
因为，故为锐角，所以，
此时灯塔位于游轮的南偏西方向．
故答案为：南偏西
14．若，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【详解】由，则，
即
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
15．已知平行四边形中，，点是线段的中点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【详解】（1）
（2），
，
，
，
即，解得：.
16．已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）若，，，
令，因为，所以，
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以，；
（2）因为在上恒成立，
即在上恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
17．已知在中，的面积为．
(1)求角的度数；
(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．
【详解】（1）设，则，又，因此，
由为的内角，所以.
（2）由（1）知，，又，则，因此，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，
，
显然，则有，因此当时，取到最小值，
此时，即，
所以的值.
18．已知，其中，.
(1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间；
(2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式.
【详解】（1）由题，，解得，故.
令，
所以的单调减区间为.
（2）由题，可得，，
因此，，又，得.
由，得.
再将代入，即.
由，解得.
因此的解析式为.
19．已知函数，其中实数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若在上的最大值是0，求的取值范围；
(3)当时，证明：.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以函数图象在处的切线方程为.
（2）当时，，，
当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值；
当时，由，得，函数在上单调递增，
，，则0不可能是在上的最大值；
当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减，
，，即0是在上的最大值，
所以的取值范围.
（3）当时，，不等式，
令函数，求导得，
显然函数在上单调递增，而，
则存在，使得，即，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
所以恒成立，即成立.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.