福建省福州市联盟校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份福建省福州市联盟校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数z满足，则＝（ ）
A．5+2iB．5﹣2iC．4+2iD．4﹣2i
2．（5分）已知α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n
C．若β⊥α，γ⊥α，则β∥γD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
3．（5分）若数据x1、x2、…、xn的平均数是4，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、…、3xn+1的平均数是m，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝12，s＝36B．m＝12，s＝6C．m＝13，s＝36D．m＝13，s＝6
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，下面使得△ABC有两组解的a的值可以为（ ）
A．3B．C．2D．
5．（5分）某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知轴截面为正方形ABCD的圆柱，AB为下底面直径，E是弧，则AE与BD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）我国许多地方都有风格迥异的古塔．现在在某塔底共线三点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，且．设该塔高为PO，示意图如图（ ）m．
A．60B．30C．D．
8．（5分）已知非零向量，，在同一平面，其中，与的夹角为，|﹣2，则|﹣|的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则（ ）
A．z为纯虚数B．C．D．
（多选）10．（6分）连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b（ ）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
C．事件“m＞11”的概率为
D．事件“m为偶数”与“m≥8”互为独立事件
（多选）11．（6分）已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA＝CB＝2AB＝4．设E为空间内任一点，且A，B，C，D，则（ ）
A．四面体ABCD的面积为
B．四面体ABCD的体积为
C．当时，点E的轨迹长度为4π
D．当三棱锥E﹣ABC的体积为时，点E的轨迹长度为
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知平面向量＝（1，1），＝（﹣2，1），＝（n，2），若（+）⊥，则n＝ ．
13．（5分）已知1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（其中p、q为实数）的一个根，则p﹣q的值为 ．
14．（5分）已知A，B，C，D是表面积为20π的球体表面上四点，若AB＝4，，且三棱锥A﹣BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为 ．
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z1＝a+4i，z2＝4+3i，i为虚数单位，其中a是实数．
（1）若是实数，求a的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围．
16．（15分）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40，[50，60），70），[70，[80，90），100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；
（2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
17．（15分）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）（各租一车一次），设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，
（1）求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，内角A的角平分线交边BC于E，b＝4；
（3）若a＝7，边BC上的中线，设点O为△ABC的外接圆圆心，求
19．（17分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点．
（1）证明：|A1B|＝|A1D|．
（2）证明：平面EFH∥平面A1CD．
（3）若，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积V．
2023-2024学年福建省福州市联盟学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z满足，则＝（ ）
A．5+2iB．5﹣2iC．4+2iD．4﹣2i
【分析】根据复数的运算可得z＝5﹣2i，再根据共轭复数的概念分析判断．
【解答】解：因为，则z＝5﹣2i（1+2i）＝1﹣2i+3＝5﹣2i，
所以＝5+2i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）已知α，β，γ为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m⊥n
C．若β⊥α，γ⊥α，则β∥γD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
【分析】由间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：对于A、若m∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面；
对于B、若m⊥α，则m∥n；
对于C、若β⊥α，则β∥γ或β与γ相交；
对于D、若m∥α，由直线与平面垂直的性质可得m⊥n．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
3．（5分）若数据x1、x2、…、xn的平均数是4，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、…、3xn+1的平均数是m，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝12，s＝36B．m＝12，s＝6C．m＝13，s＝36D．m＝13，s＝6
【分析】结合平均数、方差的线性公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，m＝3×4+4＝13．
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、方差的计算，属于基础题．
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，下面使得△ABC有两组解的a的值可以为（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】由正弦定理算出sinB＝，根据角B的范围并利用正弦函数的图象与性质，推导出sinB∈（），由此解出a的取值范围，进而可得所求答案．
【解答】解：由正弦定理，得，所以sinB＝＝，
因为B∈（0，），且有两个角B使sinB＝，
所以＜B＜，可得sinB＝），解得a∈（）．
对照各个选项，可知a＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，
5．（5分）某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：设命中为“A”，不中为“”，
则所有可能情况为：，，，，，，，，，，共有10种，
其中3枪中恰有2枪连中有6种情况，
故所求概率为P＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及排列组合的知识，属于中档题．
6．（5分）已知轴截面为正方形ABCD的圆柱，AB为下底面直径，E是弧，则AE与BD所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过B作BF∥AE，交圆柱底面圆于F，则∠FBD即异面直线AE与BD所成的角，求解即可．
【解答】解：如图，过B作BF∥AE，连接AF，
则∠FBD即异面直线AE与BD所成的角．
不妨设AB＝AD＝2，则，
由题意可得△ABF是等腰直角三角形，所以，
在直角△AFD中，DF＝，
所以DF2+BF4＝BD2，所以△BDF是直角三角形，
又BD＝2BF，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与直线所成的角，属于中档题．
7．（5分）我国许多地方都有风格迥异的古塔．现在在某塔底共线三点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，且．设该塔高为PO，示意图如图（ ）m．
A．60B．30C．D．
【分析】根据锐角三角形，用含PO的式子表示出OA，OB和OC，再结合∠OBA+∠OBC＝180°，分别在△OAB和△OBC中，运用余弦定理，列出关于PO的方程，解之即可．
【解答】解：在Rt△OPA中，OA＝＝＝，
同理可得，OB＝POPO，
在△OAB中，由余弦定理知＝，
在△OBC中，由余弦定理知＝，
因为∠OBA+∠OBC＝180°，
所以cs∠OBA+cs∠OBC＝0，
所以+＝0．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知非零向量，，在同一平面，其中，与的夹角为，|﹣2，则|﹣|的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】设，，，，作出图形，由题意将问题转化为求|BA|的最小值，结合圆的性质即可求得．
【解答】解：如图，设，，，，
则根据题意可知，，，，，
所以B在以F为圆心，1为半径的圆上，且，
所以，
而|BA|的最小值为F到OP射线的距离减去半径，
又F到OP射线的距离为，
所以的最小值是．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积与模的求法，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则（ ）
A．z为纯虚数B．C．D．
【分析】设出复数z，结合复数模公式，求出a，再结合共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
|z﹣1|＝|z+1|，
则，解得a＝4，
对于A，z＝bi，z不为纯虚数；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，z2＝（bi）2＝﹣b2，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查复数模公式，共轭复数的定义，属于基础题．
（多选）10．（6分）连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b（ ）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
C．事件“m＞11”的概率为
D．事件“m为偶数”与“m≥8”互为独立事件
【分析】对于AC，求出对应的概率判断；对于B，根据互斥的概率判断；对于D：计算P（A）P（B）与P（AB）是否相等来判断．
【解答】解：连掷一枚均匀骰子两次，共有6×6＝36种情况，
事件“m＝3”只有（1，1）一种情况，A错误；
事件“m是奇数”与“a＝b”不能同时发生，故他们为互斥事件；
事件“m＞11”只有（6，6）一种情况，C错误；
事件“m为偶数”，则a，
设“m为偶数”为事件A，“m≥8”为事件B
事件A中基本事件有（2，2），4），6），3），4），6），5），4），6），
（7，1），3），2），1），3），4），1），3），6）共18种
事件B中基本事件有（2，6），8），6），4），3），6），3），6），5），6），2），3），4），6），6）共15种，
事件A与B同时发生的基本事件有（2，5），4），6），7），4），6），8）（5，（5
所以，
所以，即事件“m为偶数”与“m≥8”不相互独立．
故选：ACD．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件和相互独立事件相关知识，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA＝CB＝2AB＝4．设E为空间内任一点，且A，B，C，D，则（ ）
A．四面体ABCD的面积为
B．四面体ABCD的体积为
C．当时，点E的轨迹长度为4π
D．当三棱锥E﹣ABC的体积为时，点E的轨迹长度为
【分析】先计算一个三角形的面积，根据四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，即可判断选项A；
根据棱锥的体积公式计算可判断选项B；
根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断选项C，D．
【解答】解：对于A：因为四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，
依题意，可知DA＝CB＝DB＝AC＝4，
设F为AB的中点，连接CF，
所以＝，
所以四面体ABCD的面积为，故A正确；
对于B，将四面体ABCD放入长方体中，y，z，
则x2+y2＝3，x2+z2＝16，y7+z2＝16，
解得，，由于，
即异面直线AB和CD的距离为，且AB⊥平面CFD，
所以四面体ABCD的体积为，故B错误；
对于C，由以上分析可知，
由，知点E的轨迹为一个圆，
则，解得r＝5，
所以E的轨迹长度为2πr＝4π，故C正确；
对于D，由题意可得，
所以，
故△ABC的外接圆半径为，
所以球心到△ABC所在平面的距离为，
设三棱锥E﹣ABC的高为h，
由三棱锥E﹣ABC的体积为时，可得，
所以，又由，
所以E点轨迹为外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距两为的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，所以点E的轨迹长度大于．
故选：AC．
【点评】本题考查空间几何体的体积与表面积的计算，属于中档题．
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知平面向量＝（1，1），＝（﹣2，1），＝（n，2），若（+）⊥，则n＝ 4 ．
【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
【解答】解：由已知得：，由于，
所以﹣n+8＝0，解得n＝4．
故答案为：7．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13．（5分）已知1﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（其中p、q为实数）的一个根，则p﹣q的值为 ﹣7 ．
【分析】把x＝1﹣2i代入方程x2+px+q＝0中，再利用复数相等求出p、q，即可得解．
【解答】解：由已知可得（1﹣2i）4+p（1﹣2i）+q＝2，即（p+q﹣3）﹣（4+6p）i＝0，
所以，解得，
所以p﹣q＝﹣2．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知A，B，C，D是表面积为20π的球体表面上四点，若AB＝4，，且三棱锥A﹣BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为 ．
【分析】根据题意分别作出图形，根据题中几何关系分别求出△ABC外接圆的半径为2及面积，设出点D到平面ABC的距离d，从而求出点D所在截面圆的半径，从而再利用几何知识从而可求解．
【解答】解：由球的表面积为20π，可得球的半径，AC＝2，，
∴AB2＝AC8+BC2，∴，∴，
则△ABC外接圆的半径为．
设D到平面ABC的距离为h，则，
解得，则点与平面ABC在球心的异侧．
设球心O到平面ABC的距离为d，则，
设D在球的截面圆所在的平面为α，故球心到平面α的距离为2，
则截面圆的半径为．
设D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，
则CEmax＝2+2＝3，故CD长度的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数z1＝a+4i，z2＝4+3i，i为虚数单位，其中a是实数．
（1）若是实数，求a的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围．
【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可；
（2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可．
【解答】解：（1），
因为是实数，∴．
（2），
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则，
故a的取值范围为（﹣∞，﹣8）．
【点评】本题主要考查复数的运算，复数的几何意义，属于基础题．
16．（15分）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40，[50，60），70），[70，[80，90），100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数；
（2）试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
【分析】（1）由频率之和等于1得出a的值，利用百分位数的定义求出样本的60百分位数；
（2）由频率分布直方图数据计算平均数即可．
【解答】解：（1）由（0.005+0.010+4.015×2+a+0.030）×10＝2，解得a＝0.025，
因为[40，50），60），70）对应的频率分别为0.05，4.3，
0.05+5.15+0.3＝8.5，
即该样本的60百分位数在区间[70，80），
设该样本的60百分位数为x，
则0.3+（x﹣70）×0.025＝0.6，解得x＝74，
即该样本的60百分位数为74分；
（2）45×0.05+55×0.15+65×7.3+75×0.25+85×3.15+95×0.1＝71分，
故本次数学测试成绩的平均分为71分．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，百分位数的求解，平均数的求解，属中档题．
17．（15分）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）（各租一车一次），设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，
（1）求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．
【分析】（1）先分别求出甲乙超过2小时，且不超过3小时的概率的概率，再计算题意中的概率即可．
（2）甲、乙两人所付的租车费用相同的情况有0元，2元，4元三种情况相加即可．
（3）根据分布列计算即可．
【解答】解：（1）甲、乙两人租车时间超过2小时，，
所以甲、乙两人租车时间超过2小时．
（2）甲、乙两人所付的租车费用相同的情况有0元，4元三种，
付7元的概率为，付5元的概率为，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
（3）设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，
则P（ξ＝3）＝．
所以甲、乙两人所付的租车费用之和为8元的概率为．
【点评】本题考查了相互独立事件的乘法概率公式，属于基础题．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，内角A的角平分线交边BC于E，b＝4；
（3）若a＝7，边BC上的中线，设点O为△ABC的外接圆圆心，求
【分析】（1）由正弦定理和三角函数的恒等变换，化简可得所求角；
（2）由三角形的面积公式和等积法，计算可得所求值；
（3）由三角形的中线长定理和向量数量积的性质，计算可得所求值．
【解答】解：（1）由c﹣acs，
结合正弦定理可得sinC﹣sinAcsB＝sinB﹣sinAsinB，
即为sin（A+B）﹣sinAcsB＝csAsinB＝sinB﹣sinAsinB，
由sinB＞0，可得csA+，即sin（A+，
由8＜A＜π，可得A+＝；
（2）由△ABC的面积为，可得×8c×，
解得c＝4，
由等积法可得S△ABC＝S△ABE+S△ACE，
即为4＝c•AE•+＝AE•（c+b）＝2，
解得AE＝2；
（3）若a＝7，边BC上的中线，
由中线长定理可得4AD2＝6（b2+c2）﹣a6，
即有b2+c2＝（4AD3+a2）＝×（11+49）＝30，
则＝•（+（•+•）
＝（7+6）＝（c3+b2）＝＝．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式，以及中线长定理和向量数量积的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．（17分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点．
（1）证明：|A1B|＝|A1D|．
（2）证明：平面EFH∥平面A1CD．
（3）若，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积V．
【分析】（1）证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明；
（2）证明出平面EFH中的两条相交直线均平行于平面A1CD即可；
（3）结合题意先求出|AB|，再求出ABCD﹣A1B1C1D1的体积即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AC，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD1⊥BD，
又因为BD⊥A6C，AA1∩A1C＝A7，
所以BD⊥平面AA1C，
因为AC⊂平面AA1C，所以AC⊥BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，
因为AA8⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，
所以，即|A1B|＝|A1D|．
（2）证明：延长EF交AA5于点M，连接MH，
由中位线性质可得EF∥A1B1，因为A7B1∥AB∥CD，所以EF∥CD，
因为EF⊄平面A1CD，CD⊂平面A3CD，
所以EF∥平面A1CD，
所以M为AA1的中点，则MH∥A8D，
因为MH⊄平面A1CD，A1D⊂平面A7CD，所以MH∥平面A1CD，
因为EF∩MH＝M，所以平面EFH∥平面A1CD．
（3）设|AB|＝m，m＞2，
所以|AC|＝|BC|＝|AB|＝m，则，，
设点B到平面A1CD的距离为d，A6B与平面A1CD所成的角为α，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立4B与平面A1CD所成的角最大，
ABCD﹣A1B5C1D1的体积
＝
＝．
【点评】本题考查空间位置关系的判定以及基本不等式求最值的应用，属于难题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:14:29；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359