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阜南县第五初级中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)
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这是一份阜南县第五初级中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页．
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：由题意可知：，
解得，
故选D．
2. 下列各组数中是勾股数的为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、，这组数不勾股数，故本选项不符合题意；
B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意；
故选：D．
3. 若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 若，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
答案：A
解析：
详解：解：，
而，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6. △ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A. b2＝a2﹣c2B. a∶b∶c＝1∶2∶2
C. 2∠C＝∠A＋∠BD. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
答案：A
解析：
详解：解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；
B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，故不符合题意；
C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；
故选A．
7. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
8. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A. 3B. 5C. 4.2D. 4
答案：C
解析：
详解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：x＝4.2
故折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故答案选：C．
9. 如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
∵，，，
不能证明与全等，
∴不能得到与平行，
∴添加不能证明四边形是平行四边形．故C符合题意．
故选C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上．若点 A的坐标是， 且，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：点的坐标为，
，
，，
∴四边形是菱形，
∴，，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知是方程的一个实数根，则的值为______．
答案：
解析：
详解：解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴
∴
故答案为：．
12. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 _____．
答案：
解析：
详解：解：∵和的中点、，米
∴
∴，
故答案为：．
13. 若，则的值是______．
答案：
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为_______．
答案：2
解析：
详解：解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：
．
小问2详解：
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），；
（2），．
解析：
小问1详解：
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，；
小问2详解：
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．
（1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形．
答案：（1）见解析；（2）见解析
解析：
详解：
（1）本题中 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，如图①线段即为所求线段；
（2）本题中 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，据此可找出如图②中的三角形即为所求．
18. 一个多边形的内角和比它的外角和的 4 倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？
答案：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
解析：
详解：解：设这个多边形是n边形，则，
；
这个多边形的对角线有：（条）．
答：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，点为的中点，是上的一点，且，延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
证明：点为的中点，
，
在和中，
，，．
；
小问2详解：
由（1）证得，
，
，
∵，
四边形是平行四边形．
20. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
答案：该材料符合设计要求，理由见解析
解析：
详解：解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
六、（本题满分12分）
21. 阅读与思考：
材料阅读：二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）化简；
（2）计算：的值．
答案：（1）2 （2）9
解析：
小问1详解：
解：
小问2详解：
七、（本题满分12分）
22. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该跳绳销售量的月增长率；
（2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价．
答案：（1）跳绳销售量的月增长率为；
（2）该跳绳的实际售价为50元条．
解析：
小问1详解：
解：设跳绳销售量的月增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：跳绳销售量的月增长率为；
小问2详解：
解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该跳绳的实际售价为50元条．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
答案：（1）
（2）见解析 （3）9
解析：
小问1详解：
解：∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
小问2详解：
证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
小问3详解：
解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页．
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：由题意可知：，
解得，
故选D．
2. 下列各组数中是勾股数的为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、，这组数不勾股数，故本选项不符合题意；
B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意；
故选：D．
3. 若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 若，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
答案：A
解析：
详解：解：，
而，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6. △ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A. b2＝a2﹣c2B. a∶b∶c＝1∶2∶2
C. 2∠C＝∠A＋∠BD. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
答案：A
解析：
详解：解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；
B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，故不符合题意；
C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；
故选A．
7. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
8. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）
A. 3B. 5C. 4.2D. 4
答案：C
解析：
详解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：x＝4.2
故折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故答案选：C．
9. 如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
∵，，，
不能证明与全等，
∴不能得到与平行，
∴添加不能证明四边形是平行四边形．故C符合题意．
故选C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上．若点 A的坐标是， 且，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：点的坐标为，
，
，，
∴四边形是菱形，
∴，，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知是方程的一个实数根，则的值为______．
答案：
解析：
详解：解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴
∴
故答案为：．
12. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 _____．
答案：
解析：
详解：解：∵和的中点、，米
∴
∴，
故答案为：．
13. 若，则的值是______．
答案：
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为_______．
答案：2
解析：
详解：解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：
．
小问2详解：
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），；
（2），．
解析：
小问1详解：
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，；
小问2详解：
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．
（1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形．
答案：（1）见解析；（2）见解析
解析：
详解：
（1）本题中 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，如图①线段即为所求线段；
（2）本题中 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，据此可找出如图②中的三角形即为所求．
18. 一个多边形的内角和比它的外角和的 4 倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？
答案：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
解析：
详解：解：设这个多边形是n边形，则，
；
这个多边形的对角线有：（条）．
答：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，点为的中点，是上的一点，且，延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
证明：点为的中点，
，
在和中，
，，．
；
小问2详解：
由（1）证得，
，
，
∵，
四边形是平行四边形．
20. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
答案：该材料符合设计要求，理由见解析
解析：
详解：解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
六、（本题满分12分）
21. 阅读与思考：
材料阅读：二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）化简；
（2）计算：的值．
答案：（1）2 （2）9
解析：
小问1详解：
解：
小问2详解：
七、（本题满分12分）
22. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该跳绳销售量的月增长率；
（2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价．
答案：（1）跳绳销售量的月增长率为；
（2）该跳绳的实际售价为50元条．
解析：
小问1详解：
解：设跳绳销售量的月增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：跳绳销售量的月增长率为；
小问2详解：
解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该跳绳的实际售价为50元条．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
答案：（1）
（2）见解析 （3）9
解析：
小问1详解：
解：∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
小问2详解：
证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
小问3详解：
解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
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