安徽省阜阳市阜南县第五初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．“试题卷”共4页，“答题卡”共2页．
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．根据二次根式的条件即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
故选D．
2. 下列各组数中是勾股数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数定义，根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、，这组数不勾股数，故本选项不符合题意；
B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意；
故选：D．
3. 若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项的系数不能为0，可得，由此可解．
【详解】解：由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、解一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 若，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先计算根的判别式的值可得，再利用即可判断，最后根据根的判别式的意义进行判断．
【详解】解：，
而，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6. △ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A. b2＝a2﹣c2B. a∶b∶c＝1∶2∶2
C. 2∠C＝∠A＋∠BD. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．
【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；
B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，故不符合题意；
C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．
7. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可借助平移性质得到小路的长为、宽为的矩形，再减去一个重叠的边长为的正方形的面积，列方程即可．
【详解】解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．
8. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）

A. 3B. 5C. 4.2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA是x尺，折断处离竹梢AB是（10－x）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：x＝4.2
故折断处离地面的高度OA是4.2尺．

故答案选：C．
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
9. 如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质与判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
∵，，，
不能证明与全等，
∴不能得到与平行，
∴添加不能证明四边形是平行四边形．故C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法．
10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上．若点 A的坐标是， 且，则点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质和点坐标，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，，由此即可得出答案．
【详解】解：点的坐标为，
，
，，
∴四边形是菱形，
∴，，
点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4，
即，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知是方程的一个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得出，整体代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴
∴
故答案为：．
12. 如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测量得米，则、两点间的距离为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，即可求解．
【详解】解：∵和的中点、，米
∴
∴，
故答案为：．
13. 若，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得，进而代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，再按照二次根式的混合运算顺序进行计算即可；
（2）按照二次根式的混合运算顺序进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，；
【小问2详解】
解：，
整理得：，
∴原方程的解是，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点．
（1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答；
（2） 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，即可解答．
【详解】
（1）本题中 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，如图①线段即为所求线段；
（2）本题中 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，据此可找出如图②中的三角形即为所求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是确定直角三角形的直角边长后根据边长画出所求的线段和三角形．
18. 一个多边形的内角和比它的外角和的 4 倍少，求：这个多边形是几边形？这个多边形共有多少条对角线？
【答案】这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成，外角和是固定的，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍列方程求解．多边形对角线的条数可以表示成．
【详解】解：设这个多边形是n边形，则，
；
这个多边形的对角线有：（条）．
答：这个多边形是九边形，这个多边形共有27条对角线．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，中，点为的中点，是上的一点，且，延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再按照证明两个三角形全等即可；
（2）先证明，结合即可得到结论．
【小问1详解】
证明：点为的中点，
，
在和中，
，，．
；
【小问2详解】
由（1）证得，
，
，
∵，
四边形是平行四边形．
20. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】该材料符合设计要求，理由见解析
【解析】
【分析】在和中，根据勾股定理逆定理，可得，，从而得到，即可．
【详解】解：该材料符合设计要求，理由如下：
在中，，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该材料符合设计要求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 阅读与思考：
材料阅读：二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）化简；
（2）计算：的值．
【答案】（1）2 （2）9
【解析】
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【小问1详解】
解：

【小问2详解】

七、（本题满分12分）
22. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该跳绳销售量的月增长率；
（2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价．
【答案】（1）跳绳销售量的月增长率为；
（2）该跳绳的实际售价为50元条．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
【小问1详解】
解：设跳绳销售量的月增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：跳绳销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该跳绳的实际售价为50元条．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）9
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式：
（1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
【小问2详解】
证明：根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
小问3详解】
解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．