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江苏省苏州市部分学校2025届新高三暑期调研考试暨高考模拟考试数学试题（原卷版）
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这是一份江苏省苏州市部分学校2025届新高三暑期调研考试暨高考模拟考试数学试题（原卷版），共6页。
暨普通高等学校招生全国统一考试数学科模拟试卷
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知函数的图像如图所示，则可能为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（ ）
A. 侧棱与底面所成角的大小为
B. 设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于
C. 侧面与底面所成角的大小为
D. 设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为
5. 命题为的根，命题若，则，则命题为命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在实际生活中，我们会用铁片焊接到钢管上以保证管道正常使用．更极端地，我们可以用有限个铁片焊接到钢管上绕整个钢管侧面一周，其类似下面的数学概念．称为紧致的，如果对任意满足的开集族，都存在有限的，使得．称一个集合为开集，如果对其中任意一个点，都存在一个，使得以为球心，为半径的球的内部包含于．则以下集合中，紧致的集合的个数为（ ）
①，②，③.
A 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 奇函数于上连续，满足当时，，且，若对任意使得直线，垂直正数，都有：，则的最大可能值为（ ）
A. B. C. D.
8. 考虑从到的所有正整数．我们作一个的数表，使得若为的倍数，则在位置填入，否则填为，则据数表中的数之和最接近的数为（ ）（已知）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得6分，漏选得部分分，错选或不选得0分．
9. 1843年，Hamiltn在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Brughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（ ）
A. 集合的元素按乘法得到一个八元集合
B. 若非零元，则有：
C. 若，则有：
D. 若非零元，则有：
10. 考虑函数，记函数，其中为的整数部分，定义为在上满足的根的个数，则以下说法正确的有（ ）
A. 的值域为B.
C. 为周期函数当且仅当为有理数D. 对成立
11. 在现实的经济生活中，投资者在面对不确定性时往往表现出风险厌恶的特征．当投资者的财富发生变化时，其用于投资风险资产的绝对量和相对量都将会发生变化．假设一名风险厌恶的投资者的效用函数（，为一连续区间）是可导且其导函数也可导的．若函数在上单调递减，则称该投资者是递减绝对风险厌恶的；若函数在上单调递减，则称该投资者是递减相对风险厌恶的．则以下哪些效用函数对应的投资者是递减绝对风险厌恶的，但不是递减相对风险厌恶的？（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的两个空中，第一个空2分，第二个空3分．
12. 已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：
则流水线2的均值为__________，流水线3的标准差为__________．
13. 数列满足，其中，，．当，时，该数列的通项公式为__________，若该数列满足对任意的正整数，都有：，当时，符合条件的正整数对的个数为__________．其中为的最大公因数．
14. 已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为___________，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线：___________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 双曲线，为两焦点，为的顶点，为上不同于的一点．
（1）证明：，的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程；
（2）若平面上仅有的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定的两个焦点的位置的方法并给出作长为的线段的方法．（叙述即可）
16. 在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数．
（1）按此定义，验证导数除法公式在复函数求导下仍然成立．
（2）更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明：
①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点．
②为上的解析函数．
（3）已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：．
（ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数．
此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：．
17. 将全体定义在上的函数的集合记为．对，，定义上的函数之间的加法和数乘运算：，．已知为一个满足线性关系的映射，即，，这里，，且满足对任意整数，有，数列，，其中．
（1）求，的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由，组成）
（2）若满足，，且为单调递减的正项数列：
①求，的通项公式；
②记，记为的前项和，证明：为定值，并求出该定值．
18. 在中，，的外接圆圆心为，内切圆的圆心为，垂心为，为的中点，在上的投影为，以为半径作．
（1）证明：，相切；
（2）记，的切点为，直线交于点，为线段上一点，满足，证明：直线和的交点在的外接圆上．
19. 设为空间直角坐标系中的一个非空闭凸集，即，且若，则对任意有，且对任意的，都存在，使得，这里为线段的长度．称的下确界或最大下界为，定义为小于等于在中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为．已知若为闭集，则为开集.
（1）设点，，证明：为非空闭凸集，并求．
（2）证明：对任意，存在唯一的一个，使得；
（3）证明：对任意，存在非零向量以及实数，使得对任意，都有：．
流水线1
流水线2
流水线3
总计
方差
0.825
0.634
0.810
均值
9.0
9.4
9.2
暨普通高等学校招生全国统一考试数学科模拟试卷
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知函数的图像如图所示，则可能为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知正四棱锥的8条棱长均相等，为顶点在底面的射影，则（ ）
A. 侧棱与底面所成角的大小为
B. 设，为正方形边上的两点，则二面角的值大于
C. 侧面与底面所成角的大小为
D. 设为正方形上的点，则直线与底面所成角的最大值为
5. 命题为的根，命题若，则，则命题为命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在实际生活中，我们会用铁片焊接到钢管上以保证管道正常使用．更极端地，我们可以用有限个铁片焊接到钢管上绕整个钢管侧面一周，其类似下面的数学概念．称为紧致的，如果对任意满足的开集族，都存在有限的，使得．称一个集合为开集，如果对其中任意一个点，都存在一个，使得以为球心，为半径的球的内部包含于．则以下集合中，紧致的集合的个数为（ ）
①，②，③.
A 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 奇函数于上连续，满足当时，，且，若对任意使得直线，垂直正数，都有：，则的最大可能值为（ ）
A. B. C. D.
8. 考虑从到的所有正整数．我们作一个的数表，使得若为的倍数，则在位置填入，否则填为，则据数表中的数之和最接近的数为（ ）（已知）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得6分，漏选得部分分，错选或不选得0分．
9. 1843年，Hamiltn在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Brughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（ ）
A. 集合的元素按乘法得到一个八元集合
B. 若非零元，则有：
C. 若，则有：
D. 若非零元，则有：
10. 考虑函数，记函数，其中为的整数部分，定义为在上满足的根的个数，则以下说法正确的有（ ）
A. 的值域为B.
C. 为周期函数当且仅当为有理数D. 对成立
11. 在现实的经济生活中，投资者在面对不确定性时往往表现出风险厌恶的特征．当投资者的财富发生变化时，其用于投资风险资产的绝对量和相对量都将会发生变化．假设一名风险厌恶的投资者的效用函数（，为一连续区间）是可导且其导函数也可导的．若函数在上单调递减，则称该投资者是递减绝对风险厌恶的；若函数在上单调递减，则称该投资者是递减相对风险厌恶的．则以下哪些效用函数对应的投资者是递减绝对风险厌恶的，但不是递减相对风险厌恶的？（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的两个空中，第一个空2分，第二个空3分．
12. 已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：
则流水线2的均值为__________，流水线3的标准差为__________．
13. 数列满足，其中，，．当，时，该数列的通项公式为__________，若该数列满足对任意的正整数，都有：，当时，符合条件的正整数对的个数为__________．其中为的最大公因数．
14. 已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为___________，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线：___________．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 双曲线，为两焦点，为的顶点，为上不同于的一点．
（1）证明：，的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程；
（2）若平面上仅有的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定的两个焦点的位置的方法并给出作长为的线段的方法．（叙述即可）
16. 在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若在附近连续，且若存在，则为点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数，若在附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若存在，则为点处的导数．
（1）按此定义，验证导数除法公式在复函数求导下仍然成立．
（2）更一般地，若在某个区域上均可导，我们称为上解析的函数．考虑复函数，其中为一个模长小于的复数，为一个模长为的复数．证明：
①该复函数将上的点映为上的点，且将上的点映为上的点．
②为上的解析函数．
（3）已知：（ⅰ）若函数为上的解析函数，且值域在中，满足，则有：．
（ⅱ）若函数，分别为，上的解析函数，则为上的解析函数．
此时若为上的解析函数，且值域在中，满足，证明：．
17. 将全体定义在上的函数的集合记为．对，，定义上的函数之间的加法和数乘运算：，．已知为一个满足线性关系的映射，即，，这里，，且满足对任意整数，有，数列，，其中．
（1）求，的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由，组成）
（2）若满足，，且为单调递减的正项数列：
①求，的通项公式；
②记，记为的前项和，证明：为定值，并求出该定值．
18. 在中，，的外接圆圆心为，内切圆的圆心为，垂心为，为的中点，在上的投影为，以为半径作．
（1）证明：，相切；
（2）记，的切点为，直线交于点，为线段上一点，满足，证明：直线和的交点在的外接圆上．
19. 设为空间直角坐标系中的一个非空闭凸集，即，且若，则对任意有，且对任意的，都存在，使得，这里为线段的长度．称的下确界或最大下界为，定义为小于等于在中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为．已知若为闭集，则为开集.
（1）设点，，证明：为非空闭凸集，并求．
（2）证明：对任意，存在唯一的一个，使得；
（3）证明：对任意，存在非零向量以及实数，使得对任意，都有：．
流水线1
流水线2
流水线3
总计
方差
0.825
0.634
0.810
均值
9.0
9.4
9.2
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