湖南省邵阳市2024年中考二模数学试题(附参考答案)

这是一份湖南省邵阳市2024年中考二模数学试题(附参考答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列实数-π，-，-1，0，，-3中，其中最小的数是（ ）
A．-B．-1C．0D．-π
2．下列四个运算中，结果正确的是（ ）
A．a2·a3=a5B．(a2)3=a5C．a6÷a2=a3D．a2+a=a3
3．据不完全统计，北京冬奥会的收视率历届最高，在中国仅电视收视人数就超610000000人次，将610000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.61x109B．6.1x108C．6.1x109D．61x107
4．若一元二次方程x2-2x＋a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能是（ ）
A．2B．1C．0D．任意实数
5．2023年5月30日空间站内，神十五、神十六两个航天员乘组拍下“全家福”，浩瀚宇宙再现中国人太空“会师”的画面，下面是神州十五3位航天员的年龄统计如下：57，46，56，下列说法错误的是（ ）
A．神州十五航天员的平均年龄为53岁
B．神州十五航天员年龄的中位数为56岁
C．神州十五航天员50岁以上占
D．神州十五航天员45以上的频率为1
6．如图，是由个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
7． 如图，AB是⊙O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点，若AB＝12，tan∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A．12B．6C．16D．9
8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2＋4ax＋3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2④若y1＝y2，则x1＋x2＝-2．其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解：p2-2pq＋q2＝ .
12．若点M（m，1）与点N（2，n）关于x轴对称，则m＋n＝ .
13．分式方程 =2的解为： 。
14．不透明的袋中有除了颜色外其他都相同的一些球，其中红球12个和白球m个，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是红球的概率为，则这个袋中白球大约有 个.
15．已知方程x2＋mx-3＝0的一个根是1，则m的值为 。
16．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则ΔDEF的周长为 。
17．如图，在半径为5的☉O中，AB是☉的弦，C是 ͡AB的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，则CD＝ cm.
18．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则SΔABC＝ .
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：∣1-｜-4sin30°＋（3-π）0＋（- ）-2．
20．某“综合与实践”小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量方案及相关数据如下：
线段AB表示教学楼，测量角度的仪器的高度CF＝DG＝1.5m，点F、G、B在同一条水平直线上，点C、D、E在同一水平直线上，点E在线段AB上．∠ACE＝2∠ADE＝35°，CD＝28m，根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践”小组求出教学楼AB的高度.（结果保留一位小数，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70．）
21．春季防流感，人人有责，勤洗手，加强个人卫生可以更好的防范病菌。小王和小李计划每人购买一瓶某品牌免洗洗手液，该品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）.上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1）小王随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率．
22．为了“天更蓝，水更绿”，湘潭市政府加大了对空新污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善。市环保局随机五30天空气质增指数（AQI），绘制成扇形统计图．
（1）m= ，n= ；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）请根据样本数据，估测该城市一年（以360天计）中大约有 天AQI为中.
23． 由多项式乘法：（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）．
示例：分解因式：x2-5x-6＝（x-6）（x＋1）
（1）尝试：分解因式：x2＋6x＋5＝（x＋ ）（x＋ )；
（2）应用：请运用“十字相乘法”解方程：x2-7x＋12＝0
24． 如图，四边形ABCD内接于☉O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．
25．问题提出
如图（1），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在ΔABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
（1）问题探究：
①先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，易证ΔACD≌ΔBCE（SAS），请利用全等探究AF，BF，CF之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
②再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
（2）问题拓展：如图（3），在ΔABC和ΔDEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E 在ΔABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.
26．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，当以P、C、M为顶点的三角形与ΔMNB相似时，求出点P的坐标；
（3）D为CO的中点，在x轴上找一点E，在抛物线的对称轴上找一点F，连接DE、EF、FC，使DE＋EF＋FC的值最小.
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtΔCQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
答案
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】(p-q)2
12．【答案】1
13．【答案】x=6
14．【答案】4
15．【答案】2
16．【答案】5+5
17．【答案】2
18．【答案】12
19．【答案】解：原式=-1-4× +1+4
=2+
20．【答案】解：∵∠ACE=2∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AC=CD=FG=28 m.
又∵在Rt△ACE 中，∠ACE=35°，
∴AE=AC·sin∠ACE≈28×0.57≈15.96(m)，
∴AB=AE+BE=15.96+1.5≈17.5(m).
答：教学楼AB 的高度为17.5 m.
21．【答案】（1）
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中王和小李选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小王和小李选择同一种型号免洗洗手液的概率为 =
22．【答案】（1）4；2
（2）良的占比= ×100%=50%
（3）差的圆心角= ×360°=24°
（4）AQI为中：360× =108(天)
23．【答案】（1）1；5
（2）将方程左边因式分解得(x-3)(x-4)=0
则x-3=0或x-4=0 解得x1=3 x2=4
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 内接于☉O，
∴∠A=∠DCE，
∵∠1=∠2
∴，
∴AD=DC，
在△ABD 和△DCE 中， AB=CE， ∠A=∠DCE， AD=DC，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴BD=ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE 于M，
∵AB=4，BC=6，CE=AB，
∴BE=BC+EC=10，
∵BD=ED，DM⊥BE，
∴BM=ME= BE=5，
∴CM=BC-BM=1，
∵∠ABC=60°，∠1=∠2，
∴∠2=30°，
∴DM=BM·tan∠2=5× = ，
∴tan∠DCB= = .
25．【答案】（1）①如图(2)，由△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，
∵点D、F 重合，
∴BE=AD=AF，
∵△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE=EF=CF，
∴BF=BD=BE+ED=AF+ CF，
即BF-AF= CF
②如图(1)，过点C 作CG⊥CF 交BF 于点G，
由(1)知，△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAF=∠CBE，BE=AD，
∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，
∴∠ACF=∠BCG，
∵∠CAF=∠CBE，BC=AC，
∴△BCG≌△ACF(ASA)，
∴GC=FC，BG=AF，
故△GCF 为等腰直角三角形，则GF=CF，
则BF=BG+GF=AF+CF， 即BF-AF= CF；
（2）解：BF-kAF=·FC，理由如下
如图(2)，过点C 作CG⊥CF 交BF 于点G，
同理，∠ACD=∠BCF。
又∵ BC＝kAC，EC＝kDC ，
即，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CAF=∠CBE，
∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，
∴∠ACF=∠BCG，
∵∠CAF=∠CBE，
∴△BCG∽△ACF，
∴，
∴CG=kCF，BG=kAF，
在Rt△FCG中，
∴，
则BF=BG+GF=kAF+， 即BF-kAF=·FC.
26．【答案】（1）由题意得，点A、B、C 的坐标分别为(-2，0)、(4，0)、(0，8)，
设抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c，则
，
解得 ，
故抛物线的表达式为y=-x 2+2x+8；
（2）解：如图所示，
由（1）得，对称轴所在直线.
在Rt△BNM与Rt△BOC中，
∵tan∠CBO= = =2，
∴，解得MN=6，
即M（1，6）
∵∠MNB=90°，△MNB为直角三角形，若使得以P、C、M与△MNB相似，
易得点P在对称轴M点上方，即有∠CMP=∠MNB，
①当∠CP'M 为直角时，此时△CPM∽△BNM，
∴P'C∥x 轴， 则点P的坐标为(1，8)；
②当∠PCM 为直角时， 此时△CPM∽△NBM，
由勾股定理得，
设此时点P的坐标为(1，t)
同理可得，，，
在Rt△PCM中，有，
即，
解得：a=.
故点P 的坐标为 （1，） ，
综上所述，点P 的坐标为(1，8)或（1，）
（3）解：如图2，
∵D 为CO 的中点，则点D(0，4)，
作点C 关于函数对称轴的对称点C'(2，8)，
作点D 关于x 轴的对称点D'(0，-4)
， 连接C'D'交x 轴于点E，交函数的对称轴于点F，
则点E、F 为所求点，
由点C'、D'的坐标得，直线C'D'的表达式为y=6x-4，
对于y=6x-4，当y=6x-4=0时，
解得x= ，当x=1时，y=2，
故点E、F 的坐标分别为 （ ，0 ）、(1，2)；
则DE+EF+FC 的最小值为C'D'= =2；
（4）解：存在，理由如下：
如图4，
①当点Q 在y轴的右侧时， 过点Q 作y轴的平行线交x 轴于点N，交过点C 与x 轴的平行线于点M，
设点Q 的坐标为(x，-x2+2x+8)，
∵∠MQC+∠RQN=90°，∠RQN+∠QRN=90°，
∴∠MQC=∠QRN，
∵∠ANQ=∠QMC=90°，QR=QC，
∴△RNQ≌△QMC(AAS)，
∴QN=CM， 即x=-x2+2x+8，解得x= (不合题意的值已舍去)，
故点Q 的坐标为 （，） ；
②当点Q 在y轴的左侧时，
同理可得，点Q 的坐标为（ ，） .
综上，点Q 的坐标为 （ ，） 或 （，）空气质量等级
空气质量指数（AQI）
频数
优
AQI≤50
m
良
50＜AQI＜1100
15
中
100＜AQI≤150
9
差
AQI>150
n
A
B
C
A
(A，A)
(B，A)
(C，A)
B
(A，B)
(B，B)
(C，B)
C
(A，C)
(B，C)
(C，C)