2022-2023学年山东省淄博市周村区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市周村区九年级（上）期末数学试卷（五四学制），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点（0，0）的是（ ）
A．y＝x+1B．y＝x2C．y＝（x﹣4）2D．
2．（4分）如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
3．（4分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（ ）
A．4sin47°米B．4cs47°米C．4tan47°米D．米
4．（4分）如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（ ）
A．114°B．66°C．57°D．52°
5．（4分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
6．（4分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米
7．（4分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A．70°B．50°C．20°D．40°
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（4分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．D．2π﹣2
10．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3B．C．D．4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是 ．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，那么AC的长为 ．
13．（4分）已知圆锥的高为32cm，母线长为40cm，则圆锥侧面展开图的圆心角为 °．
14．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，圆O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．若AB＝5，AC＝3，则OD＝ ．
15．（4分）如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为 ．
三、解答题（共90分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，．
（1）求tanB的值；
（2）若BC＝24，求斜边AB的长．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（4，b）．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．求：
（1）k和b的值；
（2）求OA所在直线的解析式．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0）、B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的最大值；
（3）结合图象，解答问题：当y＞3时，x的取值范围是 ．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
20．某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？
21．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．
22．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A，B重合），O为圆心，OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．
（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；
（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求sin∠ABC的值；
（3）连接OF，若圆O的直径为4，当△DFO是等腰三角形时，请直接写出AD的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线y＝沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
2022-2023学年山东省淄博市周村区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点（0，0）的是（ ）
A．y＝x+1B．y＝x2C．y＝（x﹣4）2D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：A、直线y＝x+1不经过点（0，0），故不符合题意；
B、抛物线y＝x2经过点（0，0），故符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣4）2不经过点（0，0），故不符合题意；
D、双曲线y＝不经过点（0，0），故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
2．（4分）如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，
∴抛物线y＝x2向左移2个单位得原函数解析式y＝（x+2）2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
3．（4分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（ ）
A．4sin47°米B．4cs47°米C．4tan47°米D．米
【分析】在Rt△A′OH中，利用正弦的定义可得出sin∠AOA′＝，进而可得出A′H＝4sin47°米．
【解答】解：在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，
∴sin∠AOA′＝，
∴A′H＝OA′•sin∠AOA′＝4sin47°（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦的定义是解题的关键．
4．（4分）如图，在⊙O中，点C在上，，若∠BOD＝114°，则∠ACD的大小是（ ）
A．114°B．66°C．57°D．52°
【分析】连接BC，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，先求出∠BCD的度数，再利用等弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接BC，
∵∠BOD＝114°，
∴∠BCD＝∠BOD＝57°，
∵，
∴∠ACD＝∠BCD＝57°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（4分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
【解答】解：∵中，k＝2＞0，
∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
6．（4分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A．2分米B．3分米C．4分米D．5分米
【分析】连接OA，先由垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径为10分米，
∴OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC＝AB＝4分米，
∴OC＝＝＝3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．
7．（4分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A．70°B．50°C．20°D．40°
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】连接OE，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，从而得出四边形OEB′H是矩形且OE＝OD＝OC＝5，继而求得B′E＝OH＝＝4，由A′E＝A′B′﹣B′E可得答案．
【解答】解：连接OE，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，
∴四边形OEB′H是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B′H＝OE＝5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝3，
∴B′E＝OH＝＝4，
则A′E＝A′B′﹣B′E＝10﹣4＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质等知识点．
9．（4分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．D．2π﹣2
【分析】根据图形得出△AOC、△OBC、△OBD都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出OC，再分别求出扇形COE，扇形OFE，扇形EOD和△OBD的面积即可．
【解答】解：∵AC＝AO＝2，∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
同理∠BCO＝∠COB＝45°，OB＝BC＝BD＝2，
由勾股定理得：OC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝（S扇形COE﹣S扇形FOB）+（S扇形EOD﹣S△OBD）
＝[﹣]+[﹣]
＝π﹣+π﹣2
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
10．（4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3B．C．D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∵CF＝1，
∴DE＝＝，
∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，
∴△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是 （2，1） ．
【分析】已知抛物线为解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
【点评】顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
12．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，那么AC的长为 6 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，
∴AC＝＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
13．（4分）已知圆锥的高为32cm，母线长为40cm，则圆锥侧面展开图的圆心角为 216 °．
【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为24cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据弧长公式得到2π×24＝，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的底面圆的半径＝＝24（cm），
根据题意得2π×24＝，
解得n＝216，
即圆锥侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：216．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，圆O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．若AB＝5，AC＝3，则OD＝ 1 ．
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形OECD是矩形，可得OD＝CE，再由切线长定理可得AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE，设OD＝CD＝CE＝r，可得AF＝AE＝3﹣r，BF＝BD＝4﹣r，可得到关于r的方程，即可求解．
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∴OD＝CE，
∵圆O是△ABC的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE，
设OD＝CD＝CE＝r，
∵AB＝5，AC＝3，
∴，AF＝AE＝3﹣r，
∴BF＝BD＝4﹣r，
∵AF+BF＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得：r＝1，
即OD＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．
15．（4分）如图，在⊙O中，C是弦AB上一点，AC＝2，CB＝4．连接OC，过点C作DC⊥OC，与⊙O交于点D，DC的长为 2 ．
【分析】延长DC交⊙O于点E．由相交弦定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：延长DC交⊙O于点E．
∵OC⊥DE，
∴DC＝CE，
∵AC•CB＝DC•CE（相交弦定理，可以证明△ADC∽△EBC得到），
∴DC2＝2×4＝8，
∵DC＞0，
∴DC＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查垂径定理，相交弦定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（共90分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，．
（1）求tanB的值；
（2）若BC＝24，求斜边AB的长．
【分析】（1）根据题意可设AC＝5x，AB＝13x，根据勾股定理可得BC＝12x，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）由（1）可得12x＝24，从而得到x＝2，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，，
∴可设AC＝5x，AB＝13x，
∴，
∴；
（2）由（1）得：BC＝12x，
∵BC＝24，
∴12x＝24，即x＝2，
∴AB＝13x＝26．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
17．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（4，b）．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．求：
（1）k和b的值；
（2）求OA所在直线的解析式．
【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到•k＝2，求出k得到反比例函数解析式，然后把A（4，b）代入反比例函数解析式可求出b；
（2）利用待定系数法求直线OA的解析式．
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，
∴•k＝2，解得k＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
把A（4，b）代入y＝得b＝1；
（2）由（1）得A（4，1），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把A（4，1）代入得4m＝1，解得m＝，
所以直线OA的解析式为y＝x．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0）、B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的最大值；
（3）结合图象，解答问题：当y＞3时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数的最大值；
（3）观察函数图象，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0）、B（﹣2，3）．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），
∴该二次函数的最大值为4．
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
观察函数图象，可知：当y＞3时，x的取值范围是﹣2＜x＜0，
故答案为﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据待定系数法求得解析式；（2）根据二次函数的性质求得最大值；（3）观察函数图象，找出结论．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）试说明：∠BCO＝∠ACD；
（2）若AE＝4cm，BE＝16cm，求弦CD的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到＝，则根据圆周角定理得到∠ACD＝∠B，加上∠B＝∠BCO，从而得到∠BCO＝∠ACD；
（2）先计算出OA＝10，OE＝6，再利用勾股定理计算出CE＝8，然后利用垂径定理得到CE＝DE，从而可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠ACD；
（2）∵AE＝4，BE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OCE中，CE＝＝8，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝16，
答：弦CD的长为16cm．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
20．某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？
【分析】（1）根据表中数据用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润＝每件的利润×销售量﹣200列出函数解析式，由函数的性质和自变量x的取值范围求函数最值．
【解答】（1）设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
根据题意得：，
解得：，
∴每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数解析式为y＝﹣30x+600；
（2）设每天获得的纯利润为w元，
根据题意得：w＝（﹣30x+600）（x﹣6）﹣200，
＝﹣30x2+780x﹣3800＝﹣30（x﹣13）2+1270
∵﹣30＜0，
∴x＜13时w随x的增大而增大，
∵销售单价不得高于12元，
∴当x≤12时，
∴当x＝12时，w有最大值，w最大值＝﹣30×（12﹣13）2+1270＝1240，
答：当销售单价定为12元时，小明每月获得的纯利润最大，最大纯利润是1240元．
【点评】本题考查二次函数、一次函数的性质，解题的关键是搞清楚利润、销售量、进价、销售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
21．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理易证得△BCD是等腰直角三角形，即可证得OD⊥BC，根据平行线的性质证得OD⊥DE，即可证得结论；
（2）延长DO交AB于F，通过证得△OBF∽△ABC，求得BF、OE，然后根据平行线分线段定理即可求得BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∵OB＝OC，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：延长DO交AB于F，
∵AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵∠BOF＝∠BAC＝90°，∠OBF＝∠ABC，
∴△OBF∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴OF＝，BF＝，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴BE＝．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
22．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A，B重合），O为圆心，OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．
（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；
（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求sin∠ABC的值；
（3）连接OF，若圆O的直径为4，当△DFO是等腰三角形时，请直接写出AD的长．
【分析】（1）可利用同圆中等弦对等弧以及垂径定理判断的关系，再求弧所对的圆周角即可．
（2）根据题目给的AF与DF的比值构造相似三角形，利用相似三角形的性质表示含∠ABC的直角三角形的三条边，利用解直角三角形计算正弦值即可．
（3）分类讨论，DF＝OF，DF＝DO，OF＝OD，排除不符合题意的情况，针对不同情况，结合等腰三角形“三线合一”的性质，圆的性质及勾股定理求解，相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵AD＝BC，
∴，
∴，
∵OD⊥BC，OD是半径，
∴，
∴，
∴，
∵∠BEO＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BEO﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（2）连接AC，如图3，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠DEF＝∠ACF＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OD，
∴△ACF∽△DEF，△BOE∽△BAC，
∴，
设OE＝a，
∴，
∴，
∴；
（3）当DF＝OF时，
连接OF，BD，如图4，
∵OD⊥BC，OF＝DF，
∴OE＝DE，
∵半圆直径为4，
∴OE＝DE＝1，OB＝2，
∵，
∴∠EOB＝60°，
∴△DBO是等边三角形，
∴BD＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴，
当DF＝DO时，
连接AC，OF，过点O作OG⊥AD，垂足为G，如图5，
∴DG＝AG，
∵DF＝DO＝2，OD⊥BC，
∴GO＝EF，
∵FO＝FO，
∴△GOF≌△EFO（HL），
∴GF＝OE，
设GF＝OE＝xDG＝AG＝DE＝2﹣x，
∴AF＝AG﹣GF＝2﹣x﹣x＝2﹣2x，
∵△ACF∽△DEF，△BOE∽△BAC，
∴AC＝2OE＝2x，
∴，
∴，
解得：，
∵x＜2，
∴，
∴；
∵点F在圆内，
∴OF≠OD，
∴OF＝OD不存在．
综上所述，AD长或2．
【点评】本题主要考查圆和相似三角形的性质，三角函数值，熟练掌握圆和相似三角形的性质及三角函数值的解法是解决本题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
（3）把抛物线y＝沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．
【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝bx+c，即可求解；
（2）过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），由PE∥OC，则＝＝﹣（t﹣2）2+，即可求解；
（3）求出平移后的抛物线解析式y'＝﹣x2+2x+，设N（2，y），M（m，﹣m2+2m+），分三种情况讨论：①当MN、BC为平行四边形的对角线时；②当MB、NC为平行四边形的对角线时；③当MC、BN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式求出N点坐标即可．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝bx+c，
得，
∴，
∴y＝x+4；
（2）过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，
∵y＝x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，
∵PE∥OC，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，
当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）；
（3）∵A（﹣2，0）、C（0，4），
∴AC＝2，
∵抛物线y＝x+4沿射线AC方向平移个单位，
∴抛物线沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴正方向平移2个单位，
∴y'＝﹣（x﹣1﹣1）2++2＝﹣（x﹣2）2+＝﹣x2+2x+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设N（2，y），M（m，﹣m2+2m+），
①当MN、BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（2，﹣）；
②当MB、NC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（2，﹣）；
③当MC、BN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴N（2，）；
综上所述，N点的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）或（2，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
销售单价x（元/千克）
10
11
销售量y（千克）
300
270
销售单价x（元/千克）
10
11
销售量y（千克）
300
270