2023-2024学年辽宁省大连市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

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这是一份2023-2024学年辽宁省大连市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={−1,0,1,2}，集合B={x|−1A. {x|−12.命题“∀x∈R，x2−2x+3>0”的否定为( )
A. ∃x∈R，x2−2x+3≤0B. ∃x∈R，x2−2x+3<0
C. ∀x∈R，x2−2x+3≤0D. ∀x∈R，x2−2x+3<0
3.已知随机变量X~B(4,12), 且Y=3X+4, 则D(Y)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 9
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5=2a3，则S6S2=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.已知函数f(x)=x3−4xx2+4+1，且f(a)=−3，则f(−a)=( )
A. 4B. 5C. −4D. −3
6.设x，y，z的平均数为M，x与y的平均数为N，N与z的平均数为P.若xA. M=PB. MPD. 不能确定
7.小明每天从骑自行车、坐公交车两种方式中选择一种去上学.已知他选择骑自行车的概率为0.6，在他骑自行车的条件下，7:20之前到达学校的概率为0.95.若小明7:20之前到达学校的概率为0.93，则在他坐公交车的条件下，7:20之前到达学校的概率为( )
A. 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.6
8.已知函数f(x)，若数列an= f(n)，n∈N∗为递增数列，则称函数f(x)为“数列保增函数”，已知函数f(x)=−ln2x+λx为“数列保增函数”，则λ的取值范围是( )
A. (ln32,+∞)B. (ln2,+∞)C. [1,+∞)D. [12,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列函数中，最小值是2的是( )
A. y=x+1xB. y= x2−1+1 x2−1
C. y=1x−2，x∈(2,52]D. y=x2−4x+6
10.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S8=S14，则下列结论中正确的有( )
A. a1d=212B. S22=0
C. 当d>0时，a7+a17>0D. 当d<0时，|a7|>|a17|
11.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若g(x+3)为奇函数，且f(x+2)−g(1−x)=4，f′(x)=g′(x+1)，则下列说法中一定正确的是( )
A. 4是f(x)的一个周期B. 函数g′(x)的图象关于x=2对称
C. f(2)=4D. k=12024f(k)g(k)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=x+sinx，则f′(x)= ．
13.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤2m)=P(X≥5−m)，则m= ．
14.经研究发现：任意一个三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象都有且只有一个对称中心点(x0,f(x0))，其中x0是f′′(x)=0的根，f′(x)是f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数.若函数f(x)=x3+px2+x+q图象的对称中心点为(−1,2)，且不等式ex−mxe(lnx+1)≥[f(x)−x3−3x2+e]xe对任意x∈(1,+∞)恒成立，则m的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=(x2+ax+b)ex，(a,b∈R)，曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为6x+y+3=0．
(Ⅰ)求a，b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球．
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(Ⅱ)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
17.(本小题15分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn=an2+2an+1．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=bn+1−2n,n为奇数13an−1,n为偶数，{bn}的前n项和为Tn，求T2n．
18.(本小题17分)
现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏;否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(Ⅰ)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记t表示成功时抽球游戏的轮数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
经计算发现，非线性回归模型y=bt+a的拟合效果优于线性回归模型，求出y关于t的非线性回归方程，并预测第7轮成功的人数(精确到1);
(Ⅲ)证明：122+(1−122)132+(1−122)(1−132)142+⋯+[(1−122)(1−132)⋯(1−1n2)1(n+1)2]<12，(其中n∈N∗且n≥2)．
附：回归方程系数：b=i=1nxiyi−nx·yi=1nxi2−nx2，a=y−bx;
参考数据：设xi=1ti，i=15ti2=55，i=15xi2≈1.46，x=15i=15xi≈0.46，x2≈0.21，i=15tiyi=882，i=15xiyi=313.6．
19.(本小题17分)
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差(前项减后项)，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”.如数列1，2第1次“差扩充”后得到数列1，−1，2，第2次“差扩充”后得到的数列1，2，−1，−3，2.设数列a，b，c经过第n次“差扩充”后所得数列的项数为Pn，所有项的和为Sn．
(Ⅰ)若a=6，b=5，c=4，求P2，S2;
(Ⅱ)设满足Pn≥2024的n的最小值为n0，求出n0的值并求出Sn03关于a，b，c的表达式(其中[x]是指不超过x的最大整数，如[0.2]=0，[−3.6]=−4);
(Ⅲ)若a=2，b=−3，c=1，设an=3Sn−1，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在不同的三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的三项;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.C
5.B
6.B
7.A
8.B
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.1+csx
13.−1
14.(−∞,−e]
15.解：解：(Ⅰ)f′(x)=(x2+(a+2)x+a+b)ex，f(0)=b，f′(0)=a+b，
切线6x+y+3=0过点P，
∴f(0)=b=−3，
斜率k=f′(0)=a+b=−6，∴a=b=−3;
(Ⅱ)∵f(x)=(x2−3x−3)ex，∴f′(x)=(x2−x−6)ex=(x+2)(x−3)ex，解方程f′(x)=0，可得x=−2或x=3，
解不等式f′(x)>0，可得x<−2或x>3，解不等式f′(x)<0，可得−2因此，f(x)在(−∞,−2)上递增，在(−2,3)上递减，在(3,+∞)上递增而且f′(−2)=f′(3)=0，从而可知x=−2是函数的极大值点，极大值为f(−2)=7e−2，
x=3是函数的极小值点，极小值为f(3)=−3e3．

16.解：(Ⅰ)记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M，
所以P(M)=C31×C31×C21C83=928．
(Ⅱ)由题意可知，X的可取值为1，2，3
所以P(X=1)=C33C83=156;
P(X=2)=C31C32+C32C31+C33C83=1956，
P(X=3)=C21C62+C22C61C83=3656=914，
所以X的分布列为：
所以E(X)=1×156+2×1956+3×3656=14756=218．

17.解：(Ⅰ)
因为4Sn=an2+2an+1 ①，
n≥2时，4Sn−1=an−12+2an−1+1 ②，
①− ②整理得
(an+an−1)(an−an−1−2)=0，n≥2，
∵数列{an}是正项数列，∴an−an−1=2，n≥2，
当n=1时，∵4S1=a12+2a1+1，∴a1=1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n−1;
(Ⅱ)由题意知，设{bn}的前2n项中奇数项的和为An，偶数项的和为Bn，
Bn=b2+b4+b6+⋯+b2n
=13(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)
=13(2n2−n)，
An=b1+b3+b5+⋯+b2n−1
=b2−2+b4−23+b6−25+⋯+b2n−22n−1
=Bn−2(1−4n)1−4，
T2n=An+Bn=2(1−4n)3+23(2n2−n)．
18.解：(1)由题意，X的可取值为1，2，3，
所以P(X=1)=(1C21)2=14，
P(X=2)=[1−(1C21)2](1C31)2=112，
P(X=3)=[1−(1C21)2][1−(1C31)2]=23，
所以X的分布列为：
所以数学期望为E(X)=1×14+2×112+3×23=2912．
(2)令xi=1ti，则y=bx+a，
由题意知，i=15xiyi=315，y=90，
所以b=i=15xiyi−5x⋅yi=15xi2−5x2=313.6−5×0.46×901.46−5×0.21=，
所以a=90−260×0.46=−29.6，y=260x−29.6，
故所求回归方程为：y=260t−29.6，
所以，估计t=7时，y≈8；
预测第7轮成功的人数为8；
(3)由题意知，在前n轮就成功的概率为
P=122+(1−122)132+(1−122)(1−132)142+...+(1−122)(1−132)...(1−1n2)1(n+1)2，
又因为在前n轮没有成功的概率为
1−P=(1−122)(1−132)...(1−1n2)[1−1(n+1)2]
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)...(1−1n)(1+1n)(1−1n+1)(1+1n+1)
=12×32×23×43×...×n−1n×n+1n×nn+1×n+2n+1=n+22n+2=12+12n+2>12，
故122+(1−122)132+(1−122)(1−132)142+...+(1−122)(1−132)...(1−1n2)1(n+1)2 <12．
19.解：(Ⅰ)数列6，5，4，经第1次“差扩充”后得到数列为6，1，5，1，4，
数列6，5，4，经第2次“差扩充”后得到数列为6，5，1，−4，5，4，1，−3，4，
所以P2=5+4=9，
S2=6+5+1−4+5+4+1−3+4=19;
(Ⅱ)数列经每1次“差扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次“差扩充”后的项数为Pn，
则经第n+1次“差扩充”后增加的项数为Pn−1，
所以Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，所以Pn+1−1=2Pn−2=2(Pn−1)，
由(Ⅰ)得P1−1=4，{Pn−1}是首项为4，公比为2的等比数列，
所以Pn−1=4⋅2n−1=2n+1，所以Pn=2n+1+1，
由Pn=2n+1+1≥2024，即2n+1≥2023，解得n≥10，即n0=10，所以[n03]=3，
数列a，b，c经过第1次“差扩充”后得到数列a，a−b，b，b−c，c，
经过第2次“差扩充”后得到数列a，b，a−b，a−2b，b，c，b−c，b−2c，c，
经过第3次“差扩充”后得到数列a，a−b，b，2b−a，a−b，b，a−2b，a−3b，b，b−c，c，2c−b，b−c，c，b−2c，b−3c，c，
即S[n03]=S3=4a+b−2c;
(Ⅲ)不存在，
由(Ⅱ)可得，当a=2，b=−3，c=1时，Sn=a+b+c+n(a−c)=n，
∴an=3Sn−1=3n−1，∵an+1=an+(n+2−1)dn，∴dn=2×3n−1n+1，
假设在数列{dn}中存在不同的三项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，
(dk)2=dm⋅dp，即(2⋅3k−1k+1)2=2⋅3m−1m+1⋅2⋅3p−1p+1．∴4⋅32k−2(k+1)2=4⋅3m+p−2(m+1)⋅(p+1)，
∵m，k，p成等差数列，∴m+p=2k，
∴(k+1)2=(m+1)⋅(p+1)k2+2k+1=mp+m+p+1，k2=mp，(m−p)2=0，
∴m=k=p，与题设矛盾，
所以在数列{dn}中不存在不同的三项dm，dk，dp成等比数列． t
1
2
3
4
5
y
232
94
57
44
23
X
1
2
3
P
156
1956
914
X
1
2
3
P
14
112
23

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