第10练 指数与指数函数（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数
【常用结论】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知集合或x≤−2}，则（ ）
A．或B．或x≤−2}
C．或D．
2．（2023·北京朝阳·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00B．6：40C．6：30D．6：00
4．（2023·陕西商洛·统考二模）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称取整函数，例如：，已知则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点中心对称
8．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．不是周期函数B．在(0，)上是单调递增函数
C．在(0，)内有且只有一个零点D．关于点(，0)对称
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）________.
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则______.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
12．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
13．（2023春·河南郑州·高三校考阶段练习）已知函数，若实数a，满足且，则___________.
14．（2023·全国·高三练习）若关于的方程有实根，则实数的取值范围为______．
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）函数定义域.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·甘肃武威·统考三模）函数 的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞bB．a＞b＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
6．（2023·贵州·统考模拟预测）若函数的最小值为，则( )
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，方程有两个解
8．（2023·全国·模拟预测）已知，为导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．当且时，恒成立
C．的值域为D．与曲线无交点
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数所过的定点在一次函数的图像上，则的最小值为__________.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．
11．（2023·北京朝阳·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是__________．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.
(1)求函数和的解析式；
(2)若的最小值为，求实数的值.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京朝阳·二模）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
4．（2023·北京东城·统考二模）定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：
①若为递增数列，则存在最大值；
②若为递增数列，则存在最小值；
③若，且存在最小值，则存在最小值；
④若，且存在最大值，则存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
5．（2023·全国·模拟预测）已知，若存在，使得，则的取值范围为___________.
四、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数