第03练 不等式与不等关系（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
思路一：
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
思路二：
比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误；
对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；
对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式性质判断即可．
【详解】解：令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C.
【详解】∵lgax＞lgay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D错误；
选项B，当,取x，y时，,但；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得，故C正确；
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
二、多选题
5．（2023·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性质判断.
【详解】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，， 显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
6．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.
【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；
由，取，可得，故B错误；
由可得，当且仅当即取等号，C错误；
由基本不等式可知，当且仅当取等号，
但，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】运用不等式的性质，结合对数函数的单调性、作差比较法逐一判断即可.
【详解】A：由，因此本选项不正确；
B：由，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项正确；
D：因为，所以
，因此本选项正确，
故选：BCD
三、填空题
8．（2023·高三课时练习）以下三个命题：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的充要条件；③“”是“”的充要条件．其中，真命题的序号是______．（写出所有满足要求的命题序号）
【答案】②③
【分析】根据不等式的性质一一判断求解.
【详解】对于①，若，则，
所以“”不是“”的充分条件，①错误；
对于②，因为，
所以“”是“”的充要条件，②正确；
对于③，若，则，
若，则即，
所以“”是“”的充要条件，③正确，
故答案为:②③.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，的取值范围是_______________
【答案】
【分析】设，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．
【详解】设，即，
∴，解得.
∴，
∵，∴①，
∵，∴②，
①②，得，即的取值范围.
故答案为：.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
（1）试比较与的大小，并证明；
（2）分别求，的最小值．
【答案】（1）；证明见解析 ；（2） ，的最小值都是8．
【分析】（1）利用作差比较法，得到，即可求解；
（2）化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）与的大小为，
证明：由，
因为，，所以，，，，
所以，所以.
（2）因为
，
当时取等号，
又由（1），所以，的最小值都是8．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·高三课时练习）已知且，则（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值D．有最大值
【答案】A
【解析】根据，变形为，再利用不等式的基本性质得到，进而得到，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为，再由，利用不等式的性质构造，再利用基本不等式求解.
2．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）给定下列四个命题:
命题①: ;命题②: ;
命题③: ;命题④: .
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐项分析①③④，利用指数函数的单调性判断②.
【详解】①中，当时，不成立，是假命题；
②中，是R上的单调递减函数，所以时，，是真命题；
③中，当时，右边成立，而左边不成立，是假命题；
④中，，是真命题.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.
【详解】.
设，
所以，解得：，
，
因为，，
所以，
因为单调递增，
所以.
故选：C
4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．a【答案】D
【分析】先通过简单的放缩比较和的大小，再通过构造函数,利用图像特征比较和的大小，由此可得答案.
【详解】
，
设，，
当时，
与相交于点和原点
时，
，即
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由利用指数的性质可判断A；当时可判断B；由得可判断C；作差比较大小可判断D.
【详解】因为，所以，所以，故A错误；
因为，当时，，故B错误；
由，且时，，
所以，故C错误；
因为，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
二、填空题
6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知角满足，，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】结合题意可知：，
且：，
利用不等式的性质可知：的取值范围是.
点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】把用表示，可得,由，利用不等式的性质可得结论.
【详解】由题意得
解得
所以,
因为，
所以；
因为，
所以．
两式相加得，
故的取值范围是.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及对不等式的性质掌握的熟练程度，考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
三、解答题
8．（2023·高三课时练习）（1）已知，，试比较与的大小，并说明理由；
（2）设，，且，证明：.
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）
当时，，，所以，即
当时，，，所以，即
综上：
（2）证明：由得.
∴.
因此构造以、为根的一元二次方程.
令.
由、及，得
解得，所以
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（ ）．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象与性质判断（1），再由不等式的性质判断（2）（3），构造函数，利用导数的单调性判断（4）.
【详解】方程的两个根为a，b，所以，如图，
，，即，，故（1）正确；
，，解得，故（2）正确；
由，，因为在上单调递减，故，所以，故（3）正确；
由知，，
设，则，令解得，
故当时，，故在上递增，
因为，所以，，
故，又
由在上递增知，则，故（4）错误.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，满足，则下列错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式可判断A;判断a，，将化为,构造函数，利用导数判断B; 当时，，可判断C;利用柯西不等式判断D.
【详解】A，由，得，当时等号成立，正确；
B，,故，故a，，
由，得且a，，
令且，则，递减，
所以，，即成立，正确；
C，当时，，错误；
D，，当且仅当时等号成立，正确，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】特殊化的方法，取可判断A，取，可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确.
【详解】对于A，取，该不等式成立，但不满足；
对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
下面证明B
法一
不等式等价于，而.
函数在上单增，故.
法二
若，则，故，矛盾.
故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，则a、b满足的关系有__________.（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①③
【分析】对于①，先得到，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于④，先作差，再求出，即可判断得解.
【详解】解：，，，
对于①，，
所以（由于，所以不能取等）.
所以该命题正确；
对于②，由得，因为.
，所以，所以该命题错误；
对于③，
，所以，所以该命题正确；
对于④，,
，，
所以，所以，
所以，
所以，所以该命题错误.
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到，然后用利用，得到，即可求解
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性