2024年新高二开学摸底考试（全国通用，人教A版2019）数学试卷一及参考答案

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教A版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．/
13．
14
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，．
(1)若与垂直，求实数k的值；
(2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，．若A，B，C三点共线，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量坐标线性运算结合垂直关系的坐标运算，列出方程求解即可；
（2）由向量的加减、数乘运算表示，，再由共线定理解出实数m的值．
【详解】（1），
则，
因为与垂直，所以，
解得．
（2），
，
，
，
因为A，B，C三点共线，所以．
所以，
解得．
16．（本题满分15分）（23-24高一下·湖南长沙·期末）对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差.
【答案】(1)众数为；平均数为
(2)平均数为；方差为
【分析】（1）根据频率分布直方图的众数和平均数的定义和计算方法，即可求解；
（2）根据题意，得到分数在区间的学生为10人，分别为，得到，设第三组分别为，得到，设第四组分别为，其平均数和方差为，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，
由，
可得，解得，
所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
17．（本题满分15分）（23-24高一下·湖南郴州·期末）随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，，
(1)已知概率，
（i）求的值．
（ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．
(2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
【答案】(1)（i）；（ii）；
(2).
【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解；
（2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）（i）由题知，
解得：，
（ii）由（i）知：，
设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与互斥，与与分别相互独立，
所以
，
因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为．
（2）由题知：，
，
设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则
与互斥，与与分别相互独立，
所以
，
，当且仅当时等号成立，
．
故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为.
18．（本题满分17分）（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，当与重合时，使得∥平面.
【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论；
（2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：连接交于点，
因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，
所以，
因为平面，平面，所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
假设存在点，使得∥平面，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
由，得，
此时与重合，平面，
所以存在点，当与重合时，使得∥平面.
19．（本题满分17分）（23-24高一下·河北衡水·期末）对于平面向量，定义“变换”： ，其中表示中较大的一个数，表示中较小的一个数.若，则.记.
(1)若，求及；
(2)已知，将经过次变换后，最小，求的最小值；
(3)证明：对任意，经过若干次变换后，必存在，使得.
【答案】(1)
(2)1349.
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据已知的新定义求出，从而可求出及；
（2）根据求出，从而可求出，进而可得且，则可求出的最小值；
（3）分，，和四种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以.
（2）因为，
所以或
所以，
即.
由题意可得，
，
，
根据规律可得且，
由且可得的最大值为674，所以，
所以，此后进入循环.
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以最小时，的最小值为1349.
（3）证明：当时，显然存在，使得.
当时，，即，存在，使得.
同理，当时，存在，使得.
当时，若，则，存在，使得.
若，设.
假设对任意，则均不为0.
因为，所以.
若，则，
若，则，
所以，
所以，即.
因为，所以，
所以，
与矛盾，故假设不正确，即存在，使得.
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使得.
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的新定义，解题的关键是对平面向量新定义的正确理解，根据新定义求解，考查分析问题的能力、理解能力和计算能力，属于难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
A
D
B
A
题号
9
10
11
答案
BD
BD
ABC