2024年山东省枣庄市薛城区中考二模数学试题

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亲爱的同学：
这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获．请认真审题，看清要求，仔细答题．预祝你取得好成绩！
请注意：
1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里．
2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写．
3．考试时，不允许使用科学计算器．
4．试卷分值：120分．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共30分．
1. 有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的是（）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了乘方运算以及有理数的混合运算，算术平方根，据此逐个分析进行计算，即可作答．
解：，故①是错误的；
，故②是错误的；
，故③是正确的；
，故④是错误的；
故选：C
2. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
3. 小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（）
A. 5，10B. 5，9C. 6，8D. 7，8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出已知数组的中位数和众数，再根据中位数和众数的定义逐项判断即可．
数列5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7，
去掉两个数后中位数和众数保持不变，据此逐项判断：
A项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故A项错误；
B项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故B项错误；
C项，去掉6和8之后，新数列的中位数和众数依旧保持不变，故C项正确；
D项，去掉7和8之后，新数列的中位数为6，发生变化，故D项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数和众数的知识，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
4. 进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期．细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染．今年支原体感染较为突出，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施．支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，先进行单位换算，再用科学记数法表示．
解：，
故选：B．
5. 现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
解：
，
若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为7张．
故选：A．
6. 如图，与位于平面直角坐标系中，，若，反比例函数恰好经过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解含角的直角三角形，依次求出，的长，再求出的度数，求出点的坐标，即可求得的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标．
解：过点作轴，垂足为，
，，，，
，，
在中，，
即，
，
在中，，
即，，
，
即，
，
点，
．
故选：A．
7. 如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（）
A. 2.5B. 2C. 3.5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，
∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，
∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF=CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE==2.5，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
8. 小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形情况，再利用概率公式计算即可．
解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
9. 如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：C．
10. 如图，在矩形中，，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是④线段长度的最小值是；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是________．（写出所有正确判断的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出，可判断②正确；推出点D、G、F三点共线，证明，可判断③正确；当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，由于F是线段上的一点，不存在D、G、E三点共线，可判断④不正确；证明是等边三角形，可判断⑤．
解：连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由折叠的性质知是的垂直平分线，
∴，∴，
∴，故②正确；
由折叠的性质知，
∵，
∴点D、G、F三点共线，连接，
在和中，，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，，
∴当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，但F是线段上的一点，∴D、G、E三点不可能共线，故④不正确；
当点G落在矩形的对角线上时，
由折叠性质知，
∵E是的中点，由①知，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴的长度是3；由于F是线段上的一点，则点G不会落在矩形的对角线上，故⑤不正确；
综上，①②③说法正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若，且关于的方程有实数根，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性，以及方程的实数根，先算出，代入，得出，注意条件没有说这个方程为一元二次方程，所以要进行分类讨论，即可作答．
解：∵
∴
∴
解得
∴有实数根，
则，
解得且
当时，，解得，也满足有实数根
综上：的取值范围是．
故答案为：，
12. 今年植树节，枣庄某中学九年级一班45名同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵．已知这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问该中学至少购买了甲树苗_______棵．
【答案】80
【解析】
【分析】设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，利用总价单价数量，结合总价不超过5400元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
解：∵该班的学生人数为45人；
设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为80．
答：至少购买了甲树苗80棵．
故答案为：80
13. 如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由△EDF∽△CBF，可得，由此即可解决问题．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．AD＝BC，
设AD＝3a，则AE＝a，
∵DE∥BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14. 点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出，把代入解析式得，用含t的式子表示出，找到最大值即可．
解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，
故答案为：．
15. 现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等，（如图②），小华用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加______平方米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，熟练掌握相关性质定理，正确计算弓形的面积，是解答本题的关键．
设圆心为，连接，过点作于点，根据题意，求出，，从而得到，利用，由此求出答案．
解：根据题意，圆形桌面如图所示，
设圆心为，连接，过点作于点，
则，
是⊙的直径，
，，
，
和平行且相等，
，
（米），
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（平方米），
故答案为：．
16. 如图，点O是正方形的中心，．中，，过点D．分别交于点G、M，连接．若，，则的长______．
【答案】
【解析】
【分析】过点F做于点H，根据求出的长度，再证明，求出的长度，证得，得出的结论，进而求得的长度．
解：如图，过点F做于点H，
正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形和全等三角形的判定，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本题共8道大题，满分72分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算和分式运算；
（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
【小问1】
原式
．
【小问2】
原式
．
18. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【解析】
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1】
解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
【小问2】
解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，
由题意得：，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得：，
∴w与m的函数关系式为；
②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，
∴当时，w最大，最大值，
则，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
19. 某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
（1）补全小明求解过程中①②③所缺的内容；
（2）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，）
【答案】（1）①（或）；②；③
（2）旗杆的高度约为
【解析】
【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题．
（2）本题考查解直角三角形，根据题意得出、，利用，求得，再根据，即可解题．
【小问1】
解：由测量知，，，，
法线，，
，
，
，
，即，
（），
故旗杆的高度为．
故答案为：（或）；；；
【小问2】
解：由题知，，，，，
，，
，
，即，解得（），
（），
，
旗杆的高度约为．
20. 中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：
随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下：
10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6
8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8
9 9 10 8 8 6 7 8 9 10
整理分析：
数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图和扇形统计图补充完整．
（2）简要说明这50名学生知识竞赛成绩的分布情况．（写出一条即可）
（3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数．
（4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）得9分的人最多，得6分的人最少；
（3）240名；（4）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用样本估计总体，画树状图法求概率．
（1）根据总数减去其他得分的人数，即可求出得7分的人数，补全条形统计图；用得8分的人数除以总人数，得到得8分学生所占的百分比，补全扇形统计图即可；
（2）根据统计图写出成绩分布情况即可；
（3）用总人数乘以得“10分”学生的百分比，即可得到答案；
（4）根据题意画树状图，再根据概率公式求解即可．
【小问1】
解：，
，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
【小问2】
解：由统计图可知，得9分的人最多，得6分的人最少；（答案不唯一）
【小问3】
解：（名），
答：估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数为240名；
【小问4】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的情况有2种，
所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率为．
21. 如图①，有一块边角料，其中，，，是线段，曲线可以看成反比例函数图象的一部分．测量发现：，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4．
（1）小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为；点B的坐标为．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形；
（2）求直线，曲线的函数表达式；
（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形，其中M，N在上（点M在点N左侧），点P在线段上，点Q在曲线上．若矩形的面积是，则PM=________________．
【答案】（1）见解析（2）直线的函数表达式，曲线的函数表达式
（3）
【解析】
【分析】（1）根据A的坐标为，点B的坐标为补全平面直角坐标系，根据，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分画图；
（2）设线段的解析式为，把，代入，得到k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，即得线段的解析式；再设曲线的解析式为，把代入，得到方程，解方程得到的值，即得曲线的解析式；
（3）设，根据轴，，点P在上，点Q在上，用m的表达式写出点P、Q的坐标，得到线段、的长的表达式，根据建立方程，解方程得到m的值，即可求出的长．
【小问1】
根据点A的坐标为，点B的坐标为，补全x轴和y轴，
∵，，，点C到，所在直线的距离分别为2，4，
∴，，
根据，，，是线段，曲线是反比例函数图象的一部分，画出图形ABCDE，如图所示，
【小问2】
设线段的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴，
设曲线的解析式为，
把代入得，，，
∴；
【小问3】
设，则，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，或（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了补全平面直角坐标系，画图形，一次函数，反比例函数，矩形面积，解决问题的关键是熟练掌握依照点的坐标补全平面直角坐标系，画出坐标系中的图形，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数性质，根据点坐标写线段长的表达式，运用矩形面积公式列方程解方程．
22. 如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若是的中点，，．
①求的长；
②求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】（１过点作于点，根据菱形的性质得到，证明出△OEB≌△OMB，得到对应边相等，对应边为圆的半径，得出结论；
（2）①根据菱形的性质得到，再由是的中点，，，根据，推出，，，再由弧长的计算公式得到结果；
②先由平行相似，得到，对应边成比例求出，推出BN=3，OE=4，DN=6，再由勾股定理求出即可．
（1）证明：如图，过点作于点，
∵是菱形的对角线，
∴，
∵，，
∴∠OEB=∠OMB=90︒，
∵OB=OB，
∴△OEB≌△OMB（AAS）
∴，
∴是的切线．
（2）解：①如图，
∵是的中点，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由弧长公式，得到的长：．
②方法一：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DG//NE，DN//GE，∠GEN=90︒
∴四边形是矩形，
∴，BN=3，OE=4，DN=6，
在菱形中，AD=AB，在中，设，
∴，
∴．
方法二：如图，过作于点，
∵，，，
∴，，，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形的性质．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
（3）如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）有最大值；
（3）点的横坐标为或6或或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，可得四边形是平行四边形，再由，，推导出，设，，可得，当时，有最大值；
（3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，设，当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点；当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点．
【小问1】
解：将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2】
解：当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
，
，
设，，
，
当时，有最大值；
小问3】
解：抛物线沿方向平移个单位，
抛物线沿轴负半轴平移2个单位，沿轴正方向平移2个单位，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
解得或（舍，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点横坐标为或6；
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
，
解得（舍或，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点的横坐标为或；
综上所述：点的横坐标为或6或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
24. 综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点引射线，交边于点（点与点不重合）．通过翻折，使点落在射线上点处，折痕交于点，延长交于点．
【问题探究】：
（1）如图②，当点与点重合时，与的大小关系是 ， ．
（2）如图③，当点为边上任意一点时（点与点不重合），连接，若时，求的长．
（3）如图④，连接，交于点，交于点，若，求的长．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，可证，由此即可求解；
（2）根据折叠的性质，证明三角形全等，结合勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可证，结合勾股定理即可求解．
【小问1】
解：如图②，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【小问2】
解：如图③，
由翻折得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的长是．
【小问3】
解：如图4，将绕点顺时针旋转得到，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴的长是．
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．

【步骤二】准备测盘工具
筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：
测量过程：
小明将镜子放在距离旗杆底部的点C处，然后看若镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得，小明的眼睛离地面的高度．
求解过程：
由测量知，，，．
法线，，
①______，
．
，即．
②______（）．故旗杆的高度为③______．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角．量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度．