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福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题 Word版含答案
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这是一份福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题 Word版含答案，共10页。试卷主要包含了8B， 莱昂哈德·欧拉等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2B. C. D. 1
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. iB. 1C. D.
3. 某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则m与所成角和n与所成的角相等
5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. 6.8B. 6.9C. 7D. 7.2
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点Q是单位圆内接正十二边形边上任意一点，设，则a的值可以为（ ）
A 22.5B. 23.5C. 24.5D. 25.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：
若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于之间
10. 莱昂哈德·欧拉（LenhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直
B. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
C. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若虚数i是方程的一个根，则______.
13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.
14. 空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.
（1）请直接写出和的数值；
（2）求；
（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.
（i）若，求证：四边形为等腰梯形；
（ii）若，求的取值范围.
19. 如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角大小为，二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）若，且.
（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值.品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲/kg
560
580
570
590
600
乙/kg
550
600
580
580
590
参考答案
1. B.
2. C
3. B.
4. C
5. A．
6. C
7. D.
8. B
9. ABD
10. AC．
11. BCD
12. 1
13.
14.
15. （1）
（2）
16. （1），平均数为99.64，上四分位数为102.14，
（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析
17. （1），，
（2）
（3）证明：掷4次硬币的样本空间为：
包含的样本点有
所以；
包含的样本点有
所以；
故，
18. （1）
（2）（i）证明；由正弦定理，则或，又，故，
则，故为外接圆直径，为中点，
又，故为等边三角形，故，
又，则，故，
又，则四边形为菱形，则，
故，故四边形为等腰梯形；
（ii）
19. （1）证明 在以，，，，，为顶点的五面体中，
，，平面，
平面．又平面，故
（2）（i）
（ii）由于平面，平面，故平面平面
过作，过作，连接,
则为二面角的平面角，
理由：，平面，平面平面，
故平面，平面，故,
又，平面,
故平面,平面,故,
故为二面角的平面角，
由于，所以,,
又，故,
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2B. C. D. 1
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. iB. 1C. D.
3. 某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则m与所成角和n与所成的角相等
5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. 6.8B. 6.9C. 7D. 7.2
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点Q是单位圆内接正十二边形边上任意一点，设，则a的值可以为（ ）
A 22.5B. 23.5C. 24.5D. 25.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：
若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于之间
10. 莱昂哈德·欧拉（LenhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直
B. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
C. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若虚数i是方程的一个根，则______.
13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.
14. 空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.
（1）请直接写出和的数值；
（2）求；
（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.
（i）若，求证：四边形为等腰梯形；
（ii）若，求的取值范围.
19. 如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角大小为，二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）若，且.
（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值.品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲/kg
560
580
570
590
600
乙/kg
550
600
580
580
590
参考答案
1. B.
2. C
3. B.
4. C
5. A．
6. C
7. D.
8. B
9. ABD
10. AC．
11. BCD
12. 1
13.
14.
15. （1）
（2）
16. （1），平均数为99.64，上四分位数为102.14，
（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析
17. （1），，
（2）
（3）证明：掷4次硬币的样本空间为：
包含的样本点有
所以；
包含的样本点有
所以；
故，
18. （1）
（2）（i）证明；由正弦定理，则或，又，故，
则，故为外接圆直径，为中点，
又，故为等边三角形，故，
又，则，故，
又，则四边形为菱形，则，
故，故四边形为等腰梯形；
（ii）
19. （1）证明 在以，，，，，为顶点的五面体中，
，，平面，
平面．又平面，故
（2）（i）
（ii）由于平面，平面，故平面平面
过作，过作，连接,
则为二面角的平面角，
理由：，平面，平面平面，
故平面，平面，故,
又，平面,
故平面,平面,故,
故为二面角的平面角，
由于，所以,,
又，故,
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