浙江省平阳县2022-2023学年数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析

这是一份浙江省平阳县2022-2023学年数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析，共24页。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3
2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC等于（ ）
A．B．4C．36D．
3．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为( )
A．1B．C．D．
5．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．67.5°
6．已知函数的图像上两点，，其中，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法判断
7．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为( )．
A．3B．4C．5D．6
9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
11．下列函数属于二次函数的是
A．B．
C．D．
12．如图，周长为28的菱形中，对角线、交于点，为边中点，的长等于( )
A．3.5B．4C．7D．14
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE＝2：1，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则的值为_____．
15．若抛物线 的开口向上，则 的取值范围是________．
16．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．
17．高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
18．如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为__．
三、解答题（共78分）
19．（8分）解一元二次方程：
（1）
（2）
20．（8分）如图，点在上，，交于点，点为射线上一动点， 平分，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，则当_______时，四边形是矩形．
21．（8分）已知：为的直径，,为上一动点（不与、重合）.

（1）如图1，若平分，连接交于点.①求证：；②若，求的长；
（2）如图2，若绕点顺时针旋转得，连接.求证：为的切线.
22．（10分）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．
(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．
(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?
23．（10分）先化简，再求值：已知，，求的值.
24．（10分）如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）若AE=5cm，求四边形ABCD的面积．
25．（12分）（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；
（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．
26．如图，在中，，，，求和的长.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
详解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．
故选A．
点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
2、B
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴＝，
解得BC＝4，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.
3、B
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．
【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称
∴FD=FB
∴FD+FE=FB+FE=BE最小
又∵正方形ABCD的面积为16
∴AB=1
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．
4、B
【解析】以上图形中轴对称图形有菱形、等腰梯形、圆，所以概率为3÷4=．故选B
5、D
【分析】利用圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴∠OCA＝×45°=22.5°．
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质定理,熟练掌握圆的切线的性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
6、B
【分析】由二次函数可知，此函数的对称轴为x＝2，二次项系数a＝−1＜0，故此函数的图象开口向下，有最大值；函数图象上的点与坐标轴越接近，则函数值越大，故可求解．
【详解】函数的对称轴为x＝2，二次函数开口向下，有最大值，
∵，
A到对称轴x＝2的距离比B点到对称轴的距离远，
∴
故选：B．
【点睛】
本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象性质．
7、A
【分析】根据概率公式解答即可.
【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：．
故选A.
【点睛】
本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
8、B
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或1，
因为，即，
所以．
故选B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
9、A
【解析】要使方程为一元二次方程，则二次项系数不能为0，所以令二次项系数不为0即可．
【详解】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程的性质，二次项系数不为0，掌握这个知识点是解题的关键．
10、D
【详解】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
csA===，
故选D．
11、A
【分析】一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.
【详解】由二次函数的定义可知A选项正确，B和D选项为一次函数，C选项为反比例函数.
【点睛】
了解二次函数的定义是解题的关键.
12、A
【解析】根据菱形的周长求出其边长，再根据菱形的性质得出对角线互相垂直，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【详解】∵四边形是菱形，周长为28
∴AB=7,AC⊥BD
∴OH=
故选：A
【点睛】
本题考查的是菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1：1
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
14、
【分析】设则，根据是平行四边形，可得，即，和，可得，由于是的中点，可得，因此，，，再通过便可得出．
【详解】解：∵
∴设，，则
∵是平行四边形
∴，
∴，，
∴
∴
又∵是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求证两个三角形相似，再通过比值等量代换表示出边的数量关系是解题的关键．
15、a＞2
【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.
【详解】解:∵抛物线的开口向上，
∴a-2>0，
∴a＞2，
故答案为a＞2.
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键.
16、．
【解析】试题分析：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．
考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换
17、40
【分析】根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答案.
【详解】解：设建筑物的的高为x米，可得方程：
，解得：=40
答：此建筑物的高度为40米.
故答案是：40.
【点睛】
本题主要考察投影中的实际应用，正确理解相似三角形在平行投影中的应用是解题的关键.
18、1．
【分析】作CE⊥x轴于E，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝＝，设D（m，n），则C（2m，2n），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4mn，则A（m，4n），然后根据三角形面积公式用m、n表示S△AOD和S△BCD，从而得到它们的比．
【详解】作CE⊥x轴于E，如图，
∵DB∥CE，
∴＝＝＝，
设D（m，n），则C（2m，2n），
∵C（2m，2n）在反比例函数图象上，
∴k＝2m×2n＝4mn，
∴A（m，4n），
∵S△AOD＝×（4n﹣n）×m＝mn，S△BCD＝×（2m﹣m）×n＝mn
∴△AOD与△BCD的面积比＝mn：mn＝1．
故答案为1．
【点睛】
考核知识点：平行线分线段成比例，反比例函数；数形结合，利用平行线分线段成比例，反比例函数定义求出点的坐标关系是关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）;（2）
【分析】（1）利用直接开方法求解；
（2），故用因式分解法解方程；
【详解】（1）
（2）
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，根据每题情况不一样选择合适的方法是解题的关键。
20、（1）见详解；（2）1
【分析】(1)先证，再证，可得，即可得出结论；
(2)根据矩形的性质可得∠BCA=90°，再证△ABC≌△ADC，即可解决问题.
【详解】(1)证明：∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
(2) 当1时，四边形是矩形．
当四边形是矩形,
∴∠BCA=90°,
又∵平分，
∴∠BAC=∠DAC
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC
又∵
∴DC=1
故答案为1．
【点睛】
本题考查矩形判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）①见解析，②2；（2）见解析
【分析】（1）①先根据圆周角定理得出，再得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角定理即可求证；②取中点，连接，可得是中位线，根据平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后再根据中位线的性质得出；
（2）上截取，连接，由题意先得出，再得出，然后由旋转性质得、，再根据同角的补角相等得出，然后证的，最后得出即可证明.
【详解】解：（1）①证明：为的直径，
.
，
，.
.
平分，
.
，
，
.
；
②解法一：如图，取中点，连接，
为的中点，
，.
.
，，
.
.
；
解法二：如图，作，垂足为，
平分，，
.
.
.
.
.
.
.
在中，.
；
解法三：如图，作，垂足为，
设
平分，，
.
∴
∴，即
∴
解得：
∴
（2）证明（法一）：如图，在上截取，连接.
，
.
.
.
.
由旋转性质得，，.
，
.
.（没写不扣分）
.
.
.
为的切线．
证法二：如图，延长到，使.
由旋转性质得，，.
.
，
.
.（没写不扣分）
，.
，
.
.
.
.
.
.
.
为的切线．
证法三：作交延长线于点.（余下略）
由旋转性质得，，
∴
，
∴.
∵
∴
∴、
∴
∴
∴
∴
∵为的直径，
∴
∴
∴
∴.
∴为的切线．
【点睛】
本题主要考察圆周角定理、角平分线定义、中位线性质、全等三角形的判定及性质等，准确作出辅助线是关键.
22、 (1)或1；(2)当且时，有1个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个．
【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；
（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；
【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需，即，
解得AF=1或1；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需，即，
解得AF=1；
综上所述AF=1或1．
（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F1．
当m=4时，由已知条件可得DE=1，则CE=5，
即图中圆的直径为5，
可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F1重合，
即当m=4时，符合条件的F有2个，
当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F1不存在，即此时符合条件的F只有1个，
当1＜m＜4且m≠1时，由所作图形可知，符合条件的F有1个，
综上所述：
当1＜m＜4且m≠1时，有1个；
当m=1时，有2个；
当m=4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23、，原式.
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后把，代入化简的结果计算即可.
【详解】原式
，
当，时，
原式.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
24、（1）点A为旋转中心；（1）旋转了90°或170°；（3）四边形ABCD的面积为15cm1．
【分析】（1）根据图形确定旋转中心即可；
（1）对应边AE、AF的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答；
（3）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△BAE的面积等于△DAF的面积，从而得到四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，然后求解即可．
【详解】（1）由图可知，点A为旋转中心；
（1）在四边形ABCD中，∠BAD=90°，所以，旋转了90°或170°；
（3）由旋转性质知，AE=AF，∠F=∠AEB=∠AEC=∠C=90°
∴四边形AECF是正方形，
∵△BEA旋转后能与△DFA重合，
∴△BEA≌△DFA，
∴S△BEA=S△DFA，
∴四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积，
∵AE=5cm，
∴四边形ABCD的面积=51=15cm1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质．
25、（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由详见解析；（3）.
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到CG＝BF＝13，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可.
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴，
故答案为BD＝CE，BD⊥CE；
（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∵△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴DE2＝CE2+CD2，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴，
∴2AD2＝BD2+CD2；
（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，
则△FAG是等腰直角三角形，
∴∠AFG＝45°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠GFC＝90°，
同理得：△BAF≌△CAG，
∴CG＝BF＝13，
Rt△CGF中，∵CF＝5，
∴FG＝12，
∵△FAG是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
26、，
【分析】作CD⊥AB于D．在Rt△BDC求出CD、BD，在Rt△ACD中求出AD、AC即可解决问题.
【详解】解：
如图，过点作于点，
在中，
，，
，
在中，
，∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．