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§5.3 向量的数量积 课件-2025高考数学一轮复习
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这是一份§5.3 向量的数量积 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，向量的夹角，∠AOB，a·b，b·a，a·λb，a·c＋b·c，λa·b，x1x2＋y1y2，设a与b的夹角为θ等内容，欢迎下载使用。
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
2.向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫作向量a与b的数量积，记作 .
3.向量数量积的几何意义
4.向量数量积的运算律(1)a·b＝ .(2)(λa)·b＝ ＝ ＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
1.向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .( )(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
3.(2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为 ，则(2a＋b)·a等于A.12 B.4 C.3 D.1
因为|b|＝2|a|＝2，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a与b的夹角为120°.
题型一 平面向量数量积的基本运算
以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(2,0)，D(1,2)，
因为AB＝2，且四边形ABCD为平行四边形，
题型二 平面向量数量积的应用
方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，
即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
方法二 设c＝a－b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
命题点2 向量的夹角例3 (2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为
因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，
设a与a－b的夹角为θ，
命题点3 向量的垂直例4 (2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1
因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.
解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)，
(1)求平面向量的模的方法
②几何法：利用向量的几何意义.(2)求平面向量的夹角的方法
②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
跟踪训练2 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝ ，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为A.45° B.135° C.60° D.120°
根据题意，设a与b的夹角为θ，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2.
又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线，
题型三 平面向量的实际应用
例6 (多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.
2.(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于A.－6 B.－5 C.5 D.6
由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
3.(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于A.(－3，－4) B.(4,3)C.(－4,3) D.(－4，－3)
设b＝(x，y)，∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，②
4.已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为
依题意得a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a＝(2,2)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3,1)，
A.垂心 B.内心C.重心 D.外心
即DM⊥BC，所以DM垂直且平分线段BC，因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.
二、多项选择题7.(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的可能取值是A.－2 B.2 C.4 D.8
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx＝60°，
8.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是
对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D正确.
三、填空题9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝_____________________.
(1，－1)(答案不唯一)
由题意可知a－b＝(5,5).设c＝(x，y)，则(a－b)·c＝5x＋5y＝0.取x＝1，则y＝－1，所以与a－b垂直的非零向量可以为c＝(1，－1).(答案不唯一)
10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为 ，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________ N.
依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60，所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3 600，
11.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________.
设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，
14.(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)求∠EMF的余弦值；
如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
又D，M，E三点共线，
即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，
15.(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则 的最小值为A.－1 B.－2C.1 D.2
如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，AF的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cs θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E(2,0)，O(0,0)，
16.(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是BC边上的高和中线，则 等于A.14 B.15 C.16 D.17
即[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝(1－2λ)a·b－(1－λ)a2＋λb2＝0，
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
2.向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫作向量a与b的数量积，记作 .
3.向量数量积的几何意义
4.向量数量积的运算律(1)a·b＝ .(2)(λa)·b＝ ＝ ＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
1.向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是 .( )(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.( )(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
3.(2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为 ，则(2a＋b)·a等于A.12 B.4 C.3 D.1
因为|b|＝2|a|＝2，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a与b的夹角为120°.
题型一 平面向量数量积的基本运算
以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(2,0)，D(1,2)，
因为AB＝2，且四边形ABCD为平行四边形，
题型二 平面向量数量积的应用
方法一 因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，
即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，
方法二 设c＝a－b，
由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
命题点2 向量的夹角例3 (2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为
因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，
设a与a－b的夹角为θ，
命题点3 向量的垂直例4 (2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1
因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.
解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)，
(1)求平面向量的模的方法
②几何法：利用向量的几何意义.(2)求平面向量的夹角的方法
②坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
跟踪训练2 (1)已知非零向量a，b满足|b|＝ ，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为A.45° B.135° C.60° D.120°
根据题意，设a与b的夹角为θ，
所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2.
又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.
又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线，
题型三 平面向量的实际应用
例6 (多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是
由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cs θ＝2|F1|2＋2|F1|2cs θ，
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误.
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cs θ等于
由题意知(v1＋v2)·v2＝0，
由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.
2.(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于A.－6 B.－5 C.5 D.6
由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
3.(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于A.(－3，－4) B.(4,3)C.(－4,3) D.(－4，－3)
设b＝(x，y)，∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，②
4.已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为
依题意得a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a＝(2,2)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3,1)，
A.垂心 B.内心C.重心 D.外心
即DM⊥BC，所以DM垂直且平分线段BC，因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心.
二、多项选择题7.(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的可能取值是A.－2 B.2 C.4 D.8
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx＝60°，
8.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是
对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D正确.
三、填空题9.已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝_____________________.
(1，－1)(答案不唯一)
由题意可知a－b＝(5,5).设c＝(x，y)，则(a－b)·c＝5x＋5y＝0.取x＝1，则y＝－1，所以与a－b垂直的非零向量可以为c＝(1，－1).(答案不唯一)
10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为 ，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________ N.
依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60，所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3 600，
11.(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________.
设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，
如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，
14.(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)求∠EMF的余弦值；
如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，
又D，M，E三点共线，
即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，
15.(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则 的最小值为A.－1 B.－2C.1 D.2
如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，AF的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cs θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E(2,0)，O(0,0)，
16.(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是BC边上的高和中线，则 等于A.14 B.15 C.16 D.17
即[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝(1－2λ)a·b－(1－λ)a2＋λb2＝0，
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