2024龙岩高一下学期7月期末考试数学含解析

这是一份2024龙岩高一下学期7月期末考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了8B， 莱昂哈德·欧拉等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2B. C. D. 1
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. iB. 1C. D.
3. 某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则m与所成角和n与所成的角相等
5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. 6.8B. 6.9C. 7D. 7.2
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知点Q是单位圆内接正十二边形边上任意一点，设，则a的值可以为（ ）
A 22.5B. 23.5C. 24.5D. 25.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：
若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于之间
10. 莱昂哈德·欧拉（LenhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直
B. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
C. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若虚数i是方程的一个根，则______.
13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.
14. 空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.
（1）请直接写出和的数值；
（2）求；
（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.
（i）若，求证：四边形为等腰梯形；
（ii）若，求的取值范围.
19. 如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角大小为，二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）若，且.
（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值.品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲/kg
560
580
570
590
600
乙/kg
550
600
580
580
590
龙岩市2023～2024学年第二学期期末高一教学质量检查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形侧面积公式计算即可.
【详解】设圆锥底面半径为r,
则，解得，
故选：B.
2. 若复数，则的虚部为（ ）
A. iB. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部.
【详解】，，
所以的虚部为.
故选：C
3. 某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解.
【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择，
从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为.
故选：B.
4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则m与所成的角和n与所成的角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D.
【详解】A：若，则，故A正确；
B：若，则，故B正确；
C：若，则或相交，故C错误；
D：若，由线线平行的性质知时，与所成的角相等，
当时，由面面平行的性质知与所成的角相等，故D正确.
故选：C
5. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为（ ）
A. 6.8B. 6.9C. 7D. 7.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.
【详解】男生30人，女生20人,则抽取的时候分层比为．则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这10人答对题目的平均数为.
所以这10人答对题目的方差为.
故选：A．
6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，则，即可求解.
【详解】由题意知，，又，
所以，得，
由余弦定理得，
所以，得.
故选：C
7. 已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可．
【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点.
连接，则，过于.四边形为矩形．
由于,则，则.
由切线的性质知道.
则.
，．
代入计算可得，.
故选：D.

8. 已知点Q是单位圆内接正十二边形边上的任意一点，设，则a的值可以为（ ）
A. 22.5B. 23.5C. 24.5D. 25.5
【答案】B
【解析】
【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设，然后表示出，化简得，不妨设在上，表示出线段的方程，则表示出，利用二次函数的性质可求出其范围，从而可求出的范围，进而可求得答案.
详解】如图建立平面直角坐标系，则，
，
设，则
，
，
，
，
所以，
由正十二边形的对称性，不妨设在上，
因为，所以，
所以为，即，
所以，
因为对称轴为，
所以的最小值为，
最大值为，
所以，
所以，
即，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：
若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于之间
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据方差，极差等概念即可求解.
【详解】A. ，，所以,故A正确；
B. ,
,
所以，故B正确；
C. 甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，甲种水稻产量的极差小于乙种水稻产量的极差，故C错误；
D. ，所以为，因为,所以,,所以乙种水稻的产量有三年位于之间，故D正确.
故选：ABD
10. 莱昂哈德·欧拉（LenhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据为的重心得出，然后由，即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B．
根据为外心及向量数量积的计算公式可求出和，从而可求出的值，可判断C的正误；根据，及可判断D的正误.
【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，
根据重心的性质可知：
，D错误；
，C正确；
为的重心，，，A正确，
由于,所以,故B错误，
故选：AC．
11. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别为棱AB，CD的动点（不含端点），将菱形ABCD沿对角线BD折起，使点A不在平面BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则存在点M，N，使得MN与BC垂直
B. 对任意点M，存在点N，使得与，共面
C. 对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则一定为锐角
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，先证得平面ADF垂直于BC，再判断MN与平面ADF关系即可判断选项；B选项，利用空间向量的运算得到，即可判断选项；C选项，先求得MN与AD，BC所成的角，再由题目条件及全等知识可判断选项；D选项，依题意建立间直角坐标系，由直线AB与直线CD垂直，可得关系，后通过正负可判断选项.
【详解】A选项，由题可得此时该几何体为正四面体，取BC中点为F，
则，又平面ADF，，
则平面ADF，要使，则MN与平面ADF平行或共面，
但M，N与A，D不重合，则MN不能与平面ADF平行或共面，
则MN与BC不垂直，故A错误；
Ｂ选项，对任意点M，过M作AD平行线交BD于G，过G作BC平行线交CD于N，
则，设，
则，
则，
即对任意点M，存在点N，使得与，共面，故B正确；
C选项，对任意点M，在CD上取N，使，
作交BD于H，作交BD于L，连接LM，HN.
则为NM与AD所成角，为NM与BC所成角.
因，，则
则，，又由题可得.
则，得，
从而，则.
即对任意点M，存在点N，使得MN与AD，BC所成的角相等，故C正确；
D选项，取BD中点为O，设，.
如图以OB所在直线为ｘ轴，OC所在直线为ｙ轴建立空间直角坐标系.
则.
则，.
若，则.
则，则，
即一定为锐角，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题为折叠问题，关键要注意图形折叠前后的变化；此外，利用全等及相似知识，往往可以将复杂的立体几何问题，转化为较好处理的平面几何问题；最后，空间直角坐标系在建立时需选择合适的原点，动态的坐标系则需引入合适的参数.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若虚数i是方程的一个根，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解.
【详解】因为i是方程的一个根，
所以，即，
得，解得，
所以.
故答案为：1
13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据题意分别求得，结合独立事件的定义，可判定事件与不独立，结合计算即可求解.
【详解】由题意知，
则，且，
满足，，
所以与不独立，
所以
故答案为：
14. 空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，若，，，，空间四边形ABCD的体积为，它的外接球体积为，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意确定的中点为外接球的球心，如图，利用线面垂直的判定定理与性质可得，根据全等三角形的性质可得，则，结合棱锥的体积公式计算即可求解.
【详解】因为，
所以的中点为外接球的球心，记外接球半径为，
过作，垂足为，连接，
又平面，
所以平面，由平面，所以.
因为，所以，则，
取的中点，则.
在中，，所以，
由得，
所以的最大值为，
则的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过确定的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若的夹角为，，求在上的投影向量的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积垂直的坐标运算求参，再求模即可；
（2）先求出,再求出数量积结合投影向量公式计算即可.
【小问1详解】
因为,
所以,
所以.
【小问2详解】
因为
所以在上的投影向量为.
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在内产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
【答案】（1），平均数为99.64，上四分位数为102.14，
（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1进行求解即可；由平均数和百分位数的计算个数即可求解，
（2）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可．
【小问1详解】
，
解得；
平均数为由于数据位于的频率为，
数据位于的频率为，故上四分位数位于，
设为，则，解得，
【小问2详解】
优等品的概率为，不合格品的概率为，
合格品的概率为，
故5000件产品中，优等品的个数为，不合格品的个数为，
合格品的概率为，
故所获利润为
故不需要对该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置.
（1）请直接写出和的数值；
（2）求；
（3）用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币样本空间，并证明：.
【答案】（1），，
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的定义即可求解，
（2）的含义可知3次都向右或者3次都向左运动。即可根据相互独立事件的概率公式求解，
（3）列出样本空间，结合古典概型概率公式求两事件的概率，完成证明.
【小问1详解】
，，
【小问2详解】
表示投掷3次硬币后，质点位于位置或，
故3次都向右或者3次都向左运动，
故
【小问3详解】
掷4次硬币的样本空间为：
包含的样本点有
所以；
包含的样本点有
所以；
故，
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.
（i）若，求证：四边形为等腰梯形；
（ii）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理计算即可得解；
（2）（i）借助正弦定理计算可得为中点，从而可结合圆中等弦对等角与内错角相等，两直线平行得到，结合菱形的判定与性质即可得，即可得证；
（ii）法一：借助余弦定理可得形状，结合向量的线性运算与数量积公式及余弦函数值域即可得解.
法二：取中点，可得，从而只需计算的范围即可得解，结合圆的性质计算即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理可得，
即，
即，又、，故，
则，故；
【小问2详解】
（i）由正弦定理，则或，又，故，
则，故为外接圆直径，为中点，
又，故为等边三角形，故，
又，则，故，
又，则四边形为菱形，则，
故，故四边形为等腰梯形；
（ii）法一：由，
即，故，
又，故为等边三角形，则，
则，
故
，
由为圆上异于点的一个动点，则，
故.
法二：由，
即，故，
又，故为等边三角形，则，
取中点，连接，
则
，
由为圆上异于点的一个动点，则当、、共线时，有最大或最小值，
即，，
即，则.
【点睛】关键点点睛：最后一小问关键点在于借助平面向量的线性运算将未知的、向量转化为已知向量或变量尽量少的向量表示，如，，或取中点，则有，.
19. 如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角的大小为，二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）若，且.
（i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）（ii）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直即可求证，
（2）（i）理由等体积法求解到平面的距离为，即可求解，（ii）根据面面垂直的性质，结合二面角的几何法（垂线法）即可得为二面角的平面角，理由三角形的边角关系即可求解.
【小问1详解】
在以，，，，，为顶点的五面体中，
，，平面，
平面．又平面，故
【小问2详解】
平面．又平面，平面平面，
过作，垂足为，
由于平面平面，平面，故平面．
由，知为二面角的平面角，故，
由，可得平面，平面，故
为二面角的平面角，．
故四边形为等腰梯形，
四边形为正方形，,
则，，,
又，，
,
设到平面的距离为，
则，故,
设直线BD与平面CBE所成角为,则；
（ii）由于平面，平面，故平面平面
过作，过作，连接,
则为二面角的平面角，
理由：，平面，平面平面，
故平面，平面，故,
又，平面,
故平面,平面,故,
故为二面角的平面角，
由于，所以,,
又，故,
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲/kg
560
580
570
590
600
乙/kg
550
600
580
580
590