河南省信阳市潢川县2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份河南省信阳市潢川县2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共18页。

1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵，
∴，
∴最小的数是．
故选A．
2. 如图是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体后，几何体的左视图发生改变，则移走的小正方体是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④
答案：D
解析：解：将①或②或③移走都不会改变几何体的左视图，
移走④后几何体的左视图右边会少一个正方形
故选D
3. 2023年河南省郑洛新国家自主创新示范区（下称：自创区）主要经济指标实现稳步增长．初步核算，2023年自创区核心区实现地区生产总值约1026亿元，同比增长6.3%，高于全省增速2.2个百分点．数据“1026亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：1026亿，
故选：B．
4. 如图，在等腰三角形中，，将其沿折叠使点C与点D重合，延长至点F，至点E，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：折叠后得，
，
又，
，
四边形是菱形，
．
，
，
．
故选：
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
答案：A
解析：解：A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
6. 中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：且，
，
，
且，
．
故选C．
7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
故选：D．
8. 如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，不能形成通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：依题意，列表如下所示：
∴一共有20种等可能情况，使电路形成通路的有12种情况，不能形成通路的有8种情况，
∴不能形成通路的概率为，
故选：B．
9. 如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ）

A. 1个B. 4个C. 3个D. 2个
答案：D
解析：∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，
∴，
∴，故①不正确；
根据图象可知，当时，，故②不正确；
∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵时函数取得最小值，
∴，
∴，故④正确
故选：D．
10. 如图，在中，，，，点在边上．连接．按以下步骤作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于两点；（2）再分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）连接并延长，分别交，于两点．若，连接，则的值为（ ）

A. B. C. D. 1
答案：B
解析：解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴ ，
过点作，

则：为等腰直角三角形，
设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
答案：，答案不唯一．
12. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______．
答案：
解析：解∶∵，
∴最终得分为 (分)．
故答案为．
13. 已知二元一次方程组，则的值为______．
答案：2
解析：解：
，得
∴
故答案为：2．
14. 将半径为1、圆心角为的扇形纸片按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点，…的位置上，则点的横坐标为______．
答案：
解析：解：由题意得：，
点的横坐标为：，
点的横坐标为：，
点的横坐标为：…
∴点的横坐标为：．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为______．
答案：##
解析：解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆，
在矩形中，，，
∵，
∴所画圆是的外接圆，
∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，
∴，
连接与圆的交点即为的最短距离，
作于点H，则，
∴H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
答案：（1）；（2）
解析：解：（1）原式
．
（2）原式
17. 已知一组数据，把这组数据的每个数都减去，得到一组新数据．将这两组数据分别在图1、图2中画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数．
（1）请在两个网格图中画出相应图形；
（2）观察你画两个图形，通过计算可以发现：
①这组数据中的每个数据都减去，得到的这组新数据的平均数比原数据的平均数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变
②这组数据中的每个数据都减去，得到的一组新数据的方差______．（填“变大”“变小”或“不变”）．
（3）根据你的结论解决问题：
若一组数据的平均数为，方差为，那么数据的平均数是______，方差是______．
答案：（1）见解析 （2）①B；②不变
（3），
小问1解析：
小问2解析：
观察图形，可以发现：
①一组数据中每个数据减去一个相同的实数，得到一组新数据的平均数减少．
故答案为：B；
②一组数据中每个数据减去一个相同的实数，得到一组新数据的方差不变．
故答案为：不变；
小问3解析：
根据（2）的结论可知：
若一组数据，，，，的平均数为，方差为，那么数据的平均数是，方差是．
故答案为：，．
18. 如图，在中，．用无刻度的直尺和圆规作直线，使得直线将分割成两个等腰三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
答案：作图见解析，理由见解析
解析：解：如图，即为所求．理由如下：
直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
．
．
，
，．
．
．
和都是等腰三角形．
19. 火灾是一种常见而严重的灾害，它不仅威胁着人们的生命财产安全，还可能对社会的稳定和发展造成严重影响．在面对火灾危险时，消防车被视为消防救援的主要装备之一，它们携带着各种灭火设备和救援工具，是保护公众安全、扑灭火灾的重要力量．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一水平线上，点D，B，O在同一直线上，为云梯的液压杆，可绕着点O旋转，其中套管的长度不变，可伸缩，在某种工作状态下液压杆m，，．求的长．（参考数据：，，）
答案：
解析：解：如图，过点B作于点E．
在Rt中，，m，
（m）．
在Rt中，，（m），
（m）．
答：的长为．
20. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛距离x为，求火焰的像高y；
（3）根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
答案：（1）
（2）火焰的像高为
（3）若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是
小问1解析：
解：设，把，代入中，
解得．
y关于x的函数表达式为．
小问2解析：
把代入中，解得．
火焰的像高为．
小问3解析：
由（2）可得，当时，．
由的图象可得，当时，y随x的增大而减小，
若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是．
21. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？
答案：（1）购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元
（2）最多能买个甲种纪念品
小问1解析：
解：设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元．
根据题意，得，解得．
答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元．
小问2解析：
设购买m个甲种纪念品，则购买个乙种纪念品．
根据题意，得，
解得．
答：最多能买个甲种纪念品．
22
（1）①在图1中位似中心是点______；
②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．
①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标；
②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]．
答案：（1）①P；②位似，相似．
（2）①图见解析，点，的坐标分别为，；
②和是位似三角形，见解析．
小问1解析：
解∶①在图1中可观察得到位似中心为点P；
②根据位似的概念可知，位似多边形为特殊的相似多边形．
小问2解析：
①，如图所示．
点B的横坐标与纵坐标相等，
点B在直线上．
令，
解得，（舍去），
则点B的坐标为．
令，解得，．
点A的坐标为．
点O为位似中心，相似比为，
．
点，的坐标分别为，．
②和是位似三角形．
理由如下：
新抛物线经过点O，，，
可设新抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
经过O，，三点的抛物线的表达式为．
令，
解得，（舍去）．
即点．
同理可得，点．
．
，
和是位似三角形．
23. （1）如图1，在正方形，点E，F分别在边和上，．求证：；
（2）如图2，在矩形中，将四边形折叠，得到四边形，交于点H，点A落在边上的点E处，折痕交边于F，交边于G，连接交于点O．若，且，，求与的长．
答案：（1）见解析；（2），．
解析：（1）证明：四边形为正方形，
，．
又，
．
．
，
．
（2）解：如图，过点G作于点N，过点P向作垂线，交的延长线于点M．
由折叠可知，，．
．
，
．
．
又，
．
．
．
，
，
．
．
设，则，．
．
在Rt中，．
．．
，．
，，
．
．
，．
又，
．
．
，．九年级教材内容改编
结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心