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第33练 空间直线、平面的平行（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
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这是一份第33练 空间直线、平面的平行（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第33练空间直线平面的平行精练基础+重难点原卷版docx、第33练空间直线平面的平行精练基础+重难点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
3．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.
(1)求证：//平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
【详解】（1）
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
【详解】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积
6．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
【详解】（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．如图，和都是正方形，，，且．证明：平面.
【答案】见详解
【分析】由线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】
作交于，作交于．
连结，则，，
又，
故，
于是，且．
∴四边形为平行四边形，
故．
平面，平面，
∴平面
2．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，，分别为，的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】证明：取的中点，如图所示，连接，.
∵，分别为，的中点，∴，且.
∵四边形为平行四边形，为的中点，
∴且，∴平行且相等，
∴四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
3．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】连接交于，连接，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
4．已知四棱锥中，，取的中点M，的中点N，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接并延长，交的延长线于点E，连接，可得N为的中点，再由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接并延长，交的延长线于点E，连接.
因为∥，N为的中点，
所以N为的中点.
因为M为的中点，
所以∥.
因为平面，平面，
所以∥平面.
5．如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．证明：平面．
【答案】证明见解析
【分析】取的中点G，连接GF，AG，证明四边形AEFG为平行四边形，进而有，然后根据线面平行的判断定理即可证明.
【详解】证明：取的中点G，连接GF，AG，
因为G为的中点，F为的中点，所以且CD＝2GF，
又E为AB的中点，AB＝CD，，所以且AE＝GF，
所以四边形AEFG为平行四边形，所以，
因为平面，EF平面，
所以平面．
6．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，证明OM∥PA，即可证明PA∥平面BDM．
【详解】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，
在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，
又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以PA∥平面BDM．
7．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】证明：如图，连接．
因为，分别是，的中点，所以．
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
同理可证平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
8．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求该三棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；
（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.
【详解】（1）证明：连接，设，连接
∵是正三棱柱的侧面，
∴为矩形，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点
所以，，
故，
又平面，，
所以正三棱柱的体积
9．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，∴平面∥平面.
10．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，为圆锥底面的两条直径，为母线上一点，连接，，．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若平面，证明：为的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线得，进而可得结论；
（2）由线面平行性质定理可得，由于为中点，进而可得结论.
【详解】（1）若为的中点，由为圆锥底面的直径，有为的中点．
则在中有，
又平面，平面，
则有平面；
（2）若平面，由平面，平面平面，
有，
所以在中，，
又为的中点，则有，
则有为的中点．
11．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可；
（2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
12．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，
则有EFBM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，
所以EF平面BDD1B1．
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，
于是得EGBD，
而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG平面BDD1B1，
由（1）知EF平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，
因此，平面GEF平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF平面BDD1B1．
13．如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.
【详解】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是的中点，
所以，
因为E是AB的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥的体积为：
＝
．
14．在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与所成角大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出平面平面PCD，从而得到线面平行；
（2）作出辅助线，由余弦定理得到，找到直线与所成的角或其补角为直线与所成角，由勾股定理求出，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，
因为为中点，为的中点，
所以，，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，同理可得平面PCD，
因为，平面，
所以平面平面PCD，
因为平面MNE，
所以直线平面；
（2）连接AC，
四边形为边长为的菱形，，所以，
由余弦定理得：，
因为，为中点，所以,
因为底面，平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥AD，
所以，
，
因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，
由余弦定理得：，
故直线与所成角的大小为.
15．已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．求证：点F为中点．
【答案】证明见解析
【分析】先证明线面平行，然后利用线面平行的性质得到，结合E为中点可证结论.
【详解】在正方体中，所以；
因为平面，平面，
所以平面；
因为直线交平面于点F，
所以平面，且平面平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为点E为中点，底面是正方形，
所以F为中点.
16．点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．
【答案】证明见详解
【分析】连结，交于点，连结，可推得，进而得到平面.然后根据线面平行的性质定理可得．
【详解】证明：连结，交于点，连结.
因为四边形为平行四边形，所以是的中点.
又是中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又平面平面，平面，
所以．
17．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
18．如图，在长方体中，，.
(1)设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先取中点，连接、，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可得到答案.
【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：
因为O为中点，所以，且.
又是长方体，为中点，
所以，且，即，且，
四边形为平行四边形，所以.
又在平面内，在平面外，因此，平面.
19．如图，在正四面体中，，，，分别是，，的中点，取，的中点，，点为平面内一点
(1)求证：平面平面
(2)若平面，求线段的最小值，
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可；
（2）由面面平行确定点在线段上，再求在边上的高，即的最小值.
【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面.
（2）
由（1）知，平面平面，
∴若平面内存在一点，使平面，则在线段上，
∴线段的最小值为到直线的距离，即在边上的高，
∵，分别为，的中点，，分别为，的中点，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，分别为，的中点，∴，同理，
∴当为中点时，，此时在边上的高，取最小值，
∴线段的最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．如图：在正方体中，M为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明可证明结论；
（2）上的中点N即满足平面平面，通过证明平面结合平面可证明结论.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵为正方体，底面为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为的中点，在中，OM是的中位线，所以.
又平面，平面，∴平面；
（2）上的中点N即满足平面平面，
∵N为的中点，M为的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
由（1）知平面，
又∵，
∴平面平面.
2．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．
(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与所成角的余弦值为.
【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面；
（2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵分别为的中点，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
∴平面；
（2）因为，
所以为直线与所成角，
中，，
直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，
则，，，，
，所以为等腰三角形，则，
中，，
所以，
中，，
所以
所以与所成角的余弦值为.
3．如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接，记，连接，证明，，从而可证得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段的中点，连接，记，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由题意可知四边形是矩形，则是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
故点到平面的距离．
4．如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.
(1)设平面与平面相交于直线，求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出平面，，利用线面平行的性质可证得，利用平行线的传递型可证得结论成立；
【详解】（1）证明：因为点、分别为棱、的中点，则，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，所以，，故.
5．在四面体中，四边形是矩形，且.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明平面，即可证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，故,
由于平面,平面,
故平面,又平面,平面平面,
故,又平面,平面,
故平面.
6．在四棱柱中，，，，.
(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
(3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）直接利用空间向量线性运算可得，再根据已知关系，，进行化简可得出结果.
（2）可设，不为)，由题意可化简得到，将代入并结合题意可化简得出，即可证明出四点共面.
（3）先假设面面，根据棱柱的性质，可得出平面，进而得出，反之当，可判断出平面，平面，得出平面平面=，得出当时，直线是面和面的交线，反之不行，从而得出结果.
【详解】（1）=
==；
（2）设，不为)，
=
则，，共面且有公共点，则四点共面；
（3）假设面面，在四棱柱中，
，面，面，则平面，
又面，面面，则；
反过来，当时，因为，则，
则确定平面
则平面，
又因为平面，
所以平面平面=，
所以是直线是面和面的交线的充要条件；
所以，当时，直线是面和面的交线；
当不平行时，直线不是面和面的交线
7．如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面平面，且，棱AC与BC的中点分别为G，H.
(1)证明：平面平面FGH；
(2)求点E到平面FGH的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判断定理，转化为证明线线平行；
（2）首先根据第一问转化为点到平面的距离，再根据等体积转化求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：分别是的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，，
∴四边形为平行四边形，∴.
平面，平面，
平面FGH，
平面ABED，平面ABED，，
∴平面平面FGH.
（2）平面ABED，由（1）知平面FGH，
点E到平面FGH的距离等于点A到平面FGH的距离，设为d.
由题意得上底面面积为，下底面面积为，
设三棱台的高为，则，得.
由，得，
设CG的中点为I，连接IH，IF，∵平面平面ABC且交于AC，，
∴平面ABC，，，
，
，
∵，∴，
故点E到平面FGH的距离为.
8．如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，写出相关点坐标，求面的法向量、的坐标，判断、的位置关系，即可证结论.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
则，，
所以．
设面法向量为，则，令，则．
由于，因此，平面，
所以．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得MQ∥平面PAB，QN∥平面PAB，由面面平行的判定与性质可证得结论；
【详解】（1）在AD上取一点Q，使得，连接MQ，NQ，如图，
∵，∴MQ∥AP，又平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；
∵，，AD∥BC，
∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，
∴AB∥QN，又平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAB，又MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）平面BMN∥平面PCD证明的关键就是证明平面BMN 中的两条相交直线BM，MN平行于平面PCD，按此则结论可证.
【详解】（1）证明：连接BD，如图
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
BM∥CD，
又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
11．直四棱柱，，，，，
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）要证直线与平面平行，可以先证平面与平面平行，进而可证结论；
【详解】（1）因为是直四棱柱，所以，
又因为平面，平面，
平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面平面，
又平面，平面.
12．已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
【答案】(1)证明见解析.
【详解】（1）在正方体中，，又平面，且平面，
则平面，而交平面于点，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而为中点，
所以为的中点.
13．在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；
【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又，所以与相似，
所以，
因为为的重心，所以，
所以，所以与相似，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
14．如图在棱长为的正方体中，是上一点，且平面.
(1)求证：为的中点；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，推导出为的中点，结合中位线的性质可证得结论成立；
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，，
因为四边形为正方形，，则为的中点，
因此，为的中点.
15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD（不包含端点）上的点，，．
(1)若，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，先证明H为AD的中点，再证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；
【详解】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，
由，故，
所以，
即H为AD的中点，
此时，，且，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面；
16．如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，P为三角形的重心，Q为的中点.四边形ABCD是边长为1的正方形，且，.
(1)求异面直线BC与所成角的大小；
【答案】(1)
【分析】（1）利用异面直线的定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中求解即可；
【详解】（1）因为多面体是平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，
所以，所以为异面直线BC与所成角或其补角，
因为，Q为的中点，，所以，，
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以为等边三角形，即，
所以异面直线BC与所成角的大小.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．如图，在四棱锥中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点．
(1)求证：AN平面PBC；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取的中点，连接，证明，，从而可得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为N为PD的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
2．如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面，
连接，则M是中点，是中点，
故是的中位线，所以．
因为，所以平面四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，所以平面
同理平面，且平面平面，
所以，平面平面．
3．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为的中点，MN为过点的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证：平面PMN
(2)求三棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由解析法，建立平面直角坐标系如图所示，，转为求的最大值，
其中为弦长公式结合韦达定理求得，为到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即可.
【详解】（1）由长轴，短轴长得焦半径得，∴分别OB、的中点，
在柱体中，纵切面为矩形，连接，则，又，∴四边形为平行四边形，∴，
∵P为的中点，，∴，
∵平面PMN，平面PMN，∴平面PMN；
（2），
建立平面直角坐标系如图所示，则底面椭圆为，，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为，，联立椭圆方程可得，
则，∴.
又点到直线MN的距离.
∴.
∴.
设，对，由，∴在上单调递增，
∴，此时.
故三棱锥的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.
4．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
(1)在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由；
【答案】(1)存在，理由见解析
【分析】（1）记中点为M，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；
【详解】（1）记中点为M，连结，为正三角形，,
则，且.
因为平面平面 ，平面平面，平面ACD,
所以平面，又因为平面，
所以.
延长交于点G，则为平面与平面的交线，
因为，故，所以B为的中点，
取中点F，连结，则，因为平面 ，平面，
所以平面.
即线段上存在点F，当时，平面.
5．如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点，点在上，且为三角形的重心.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，连接并延长交于点，连接，首先说明，由重心的性质得到，即可证明，从而得证；
【详解】（1）证明：连接，因为，，所以，且，
由，得，，
则，所以.
连接并延长交于点，如图，
因为为的重心，所以.
连接，因为，所以.
又平面，平面，故平面.
6．如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.
(1)证明：∥平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，并延长交于点，连接，由重心的性质和平行线的判定，结合线面平行的判定定理可证得结论，
【详解】（1）证明：连接，并延长交于点，连接，
因为为的重心，所以，
因为，所以，
所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面；
7．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形是矩形；
【详解】（1）四边形是矩形，下面给出证明：
因为，由题意//平面//平面，
面，
所以平面//平面，又平面平面，平面平面，
所以，同理，又，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形．
取中点，连接，则．
又因为，所以，故有．
AP、A1P交于P且都在面AA1P内，所以平面又面
所以，
综上知：，即四边形是矩形．
8．已知三棱锥中，平面，，，为中点，为中点，在上，.二面角的平面角大小为.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接并延长，交于点，取的中点可得，根据为中点，可得，从而，再由线面平行的判定定理可得答案；
【详解】（1）连接并延长，交于点，取的中点，连接，
因为为中点，所以，，所以，
所以，又为中点，所以，
所以，因为，所以，
所以，可得，
因为平面，平面，所以平面；
9．如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点
【分析】（1）在取点使，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；
【详解】（1）点为线段上靠近点的三等分点，
证明如下：
如图，
在取点，连接，,使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
10．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.
(1)证明:平面;
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面垂直的性质定理可得,根据线面平行的判定定理即可得平面,根据及线面平行的判定定理即可得平面,根据及面面平行的判定定理即可得平面平面,再根据面面平行的性质定理即可证明;
【详解】（1）证明:因为平面,
平面,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为底面为矩形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为,
且平面,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面;
刷真题 明导向
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
3．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.
(1)求证：//平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
【详解】（1）
连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，
由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，
又平面，平面，于是//平面.
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
【详解】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积
6．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
【详解】（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
【A组 在基础中考查功底】
一、解答题
1．如图，和都是正方形，，，且．证明：平面.
【答案】见详解
【分析】由线面平行的判定定理即可证明结论.
【详解】
作交于，作交于．
连结，则，，
又，
故，
于是，且．
∴四边形为平行四边形，
故．
平面，平面，
∴平面
2．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，，分别为，的中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】取的中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】证明：取的中点，如图所示，连接，.
∵，分别为，的中点，∴，且.
∵四边形为平行四边形，为的中点，
∴且，∴平行且相等，
∴四边形为平行四边形，∴.
又平面，平面，
∴平面.
【点睛】本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.
3．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【分析】连接交于，连接，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
4．已知四棱锥中，，取的中点M，的中点N，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】如图，连接并延长，交的延长线于点E，连接，可得N为的中点，再由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可证得结论
【详解】证明：如图，连接并延长，交的延长线于点E，连接.
因为∥，N为的中点，
所以N为的中点.
因为M为的中点，
所以∥.
因为平面，平面，
所以∥平面.
5．如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．证明：平面．
【答案】证明见解析
【分析】取的中点G，连接GF，AG，证明四边形AEFG为平行四边形，进而有，然后根据线面平行的判断定理即可证明.
【详解】证明：取的中点G，连接GF，AG，
因为G为的中点，F为的中点，所以且CD＝2GF，
又E为AB的中点，AB＝CD，，所以且AE＝GF，
所以四边形AEFG为平行四边形，所以，
因为平面，EF平面，
所以平面．
6．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM．
【答案】证明见解析
【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，证明OM∥PA，即可证明PA∥平面BDM．
【详解】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，
在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，
又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以PA∥平面BDM．
7．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】证明：如图，连接．
因为，分别是，的中点，所以．
因为∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
同理可证平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
8．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求该三棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；
（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.
【详解】（1）证明：连接，设，连接
∵是正三棱柱的侧面，
∴为矩形，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点
所以，，
故，
又平面，，
所以正三棱柱的体积
9．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，∴平面∥平面.
10．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，，为圆锥底面的两条直径，为母线上一点，连接，，．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若平面，证明：为的中点．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线得，进而可得结论；
（2）由线面平行性质定理可得，由于为中点，进而可得结论.
【详解】（1）若为的中点，由为圆锥底面的直径，有为的中点．
则在中有，
又平面，平面，
则有平面；
（2）若平面，由平面，平面平面，
有，
所以在中，，
又为的中点，则有，
则有为的中点．
11．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可；
（2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
12．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF平面BDD1B1；
(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF平面BDD1B1．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；
（2）根据面面平行的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，
则有EFBM，
又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，
所以EF平面BDD1B1．
（2）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图，
而E是BC的中点，
于是得EGBD，
而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，
从而得EG平面BDD1B1，
由（1）知EF平面BDD1B1，
EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，
因此，平面GEF平面BDD1B1，所以当G是DC的中点时，平面GEF平面BDD1B1．
13．如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.
【详解】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是的中点，
所以，
因为E是AB的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥的体积为：
＝
．
14．在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与所成角大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出平面平面PCD，从而得到线面平行；
（2）作出辅助线，由余弦定理得到，找到直线与所成的角或其补角为直线与所成角，由勾股定理求出，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，
因为为中点，为的中点，
所以，，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，同理可得平面PCD，
因为，平面，
所以平面平面PCD，
因为平面MNE，
所以直线平面；
（2）连接AC，
四边形为边长为的菱形，，所以，
由余弦定理得：，
因为，为中点，所以,
因为底面，平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥AD，
所以，
，
因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，
由余弦定理得：，
故直线与所成角的大小为.
15．已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．求证：点F为中点．
【答案】证明见解析
【分析】先证明线面平行，然后利用线面平行的性质得到，结合E为中点可证结论.
【详解】在正方体中，所以；
因为平面，平面，
所以平面；
因为直线交平面于点F，
所以平面，且平面平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为点E为中点，底面是正方形，
所以F为中点.
16．点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．
【答案】证明见详解
【分析】连结，交于点，连结，可推得，进而得到平面.然后根据线面平行的性质定理可得．
【详解】证明：连结，交于点，连结.
因为四边形为平行四边形，所以是的中点.
又是中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又平面平面，平面，
所以．
17．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
18．如图，在长方体中，，.
(1)设O、E分别为和AB中点，求证：OE平行于平面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先取中点，连接、，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可得到答案.
【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：
因为O为中点，所以，且.
又是长方体，为中点，
所以，且，即，且，
四边形为平行四边形，所以.
又在平面内，在平面外，因此，平面.
19．如图，在正四面体中，，，，分别是，，的中点，取，的中点，，点为平面内一点
(1)求证：平面平面
(2)若平面，求线段的最小值，
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明线面平行，再由面面平行判定定理证明面面平行即可；
（2）由面面平行确定点在线段上，再求在边上的高，即的最小值.
【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面，
又∵，平面，平面，
∴平面平面.
（2）
由（1）知，平面平面，
∴若平面内存在一点，使平面，则在线段上，
∴线段的最小值为到直线的距离，即在边上的高，
∵，分别为，的中点，，分别为，的中点，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，分别为，的中点，∴，同理，
∴当为中点时，，此时在边上的高，取最小值，
∴线段的最小值.
【B组 在综合中考查能力】
一、解答题
1．如图：在正方体中，M为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明可证明结论；
（2）上的中点N即满足平面平面，通过证明平面结合平面可证明结论.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵为正方体，底面为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为的中点，在中，OM是的中位线，所以.
又平面，平面，∴平面；
（2）上的中点N即满足平面平面，
∵N为的中点，M为的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
由（1）知平面，
又∵，
∴平面平面.
2．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．
(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与所成角的余弦值为.
【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面；
（2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵分别为的中点，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
∴平面；
（2）因为，
所以为直线与所成角，
中，，
直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，
则，，，，
，所以为等腰三角形，则，
中，，
所以，
中，，
所以
所以与所成角的余弦值为.
3．如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接，记，连接，证明，，从而可证得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段的中点，连接，记，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由题意可知四边形是矩形，则是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
故点到平面的距离．
4．如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.
(1)设平面与平面相交于直线，求证：；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出平面，，利用线面平行的性质可证得，利用平行线的传递型可证得结论成立；
【详解】（1）证明：因为点、分别为棱、的中点，则，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，所以，，故.
5．在四面体中，四边形是矩形，且.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明平面，即可证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，故,
由于平面,平面,
故平面,又平面,平面平面,
故,又平面,平面,
故平面.
6．在四棱柱中，，，，.
(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
(3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）直接利用空间向量线性运算可得，再根据已知关系，，进行化简可得出结果.
（2）可设，不为)，由题意可化简得到，将代入并结合题意可化简得出，即可证明出四点共面.
（3）先假设面面，根据棱柱的性质，可得出平面，进而得出，反之当，可判断出平面，平面，得出平面平面=，得出当时，直线是面和面的交线，反之不行，从而得出结果.
【详解】（1）=
==；
（2）设，不为)，
=
则，，共面且有公共点，则四点共面；
（3）假设面面，在四棱柱中，
，面，面，则平面，
又面，面面，则；
反过来，当时，因为，则，
则确定平面
则平面，
又因为平面，
所以平面平面=，
所以是直线是面和面的交线的充要条件；
所以，当时，直线是面和面的交线；
当不平行时，直线不是面和面的交线
7．如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为等边三角形，平面平面，且，棱AC与BC的中点分别为G，H.
(1)证明：平面平面FGH；
(2)求点E到平面FGH的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面平行的判断定理，转化为证明线线平行；
（2）首先根据第一问转化为点到平面的距离，再根据等体积转化求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：分别是的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，，
∴四边形为平行四边形，∴.
平面，平面，
平面FGH，
平面ABED，平面ABED，，
∴平面平面FGH.
（2）平面ABED，由（1）知平面FGH，
点E到平面FGH的距离等于点A到平面FGH的距离，设为d.
由题意得上底面面积为，下底面面积为，
设三棱台的高为，则，得.
由，得，
设CG的中点为I，连接IH，IF，∵平面平面ABC且交于AC，，
∴平面ABC，，，
，
，
∵，∴，
故点E到平面FGH的距离为.
8．如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，写出相关点坐标，求面的法向量、的坐标，判断、的位置关系，即可证结论.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
则，，
所以．
设面法向量为，则，令，则．
由于，因此，平面，
所以．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得MQ∥平面PAB，QN∥平面PAB，由面面平行的判定与性质可证得结论；
【详解】（1）在AD上取一点Q，使得，连接MQ，NQ，如图，
∵，∴MQ∥AP，又平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；
∵，，AD∥BC，
∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，
∴AB∥QN，又平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAB，又MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）平面BMN∥平面PCD证明的关键就是证明平面BMN 中的两条相交直线BM，MN平行于平面PCD，按此则结论可证.
【详解】（1）证明：连接BD，如图
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
BM∥CD，
又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
11．直四棱柱，，，，，
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）要证直线与平面平行，可以先证平面与平面平行，进而可证结论；
【详解】（1）因为是直四棱柱，所以，
又因为平面，平面，
平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面平面，
又平面，平面.
12．已知正方体，点为中点，直线交平面于点.
(1)证明：点为的中点；
【答案】(1)证明见解析.
【详解】（1）在正方体中，，又平面，且平面，
则平面，而交平面于点，即平面，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，而为中点，
所以为的中点.
13．在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；
【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又，所以与相似，
所以，
因为为的重心，所以，
所以，所以与相似，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
14．如图在棱长为的正方体中，是上一点，且平面.
(1)求证：为的中点；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，推导出为的中点，结合中位线的性质可证得结论成立；
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，，
因为四边形为正方形，，则为的中点，
因此，为的中点.
15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD（不包含端点）上的点，，．
(1)若，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，先证明H为AD的中点，再证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；
【详解】（1）延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，
由，故，
所以，
即H为AD的中点，
此时，，且，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
所以平面；
16．如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，P为三角形的重心，Q为的中点.四边形ABCD是边长为1的正方形，且，.
(1)求异面直线BC与所成角的大小；
【答案】(1)
【分析】（1）利用异面直线的定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中求解即可；
【详解】（1）因为多面体是平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，
所以，所以为异面直线BC与所成角或其补角，
因为，Q为的中点，，所以，，
因为四边形ABCD是边长为1的正方形，所以为等边三角形，即，
所以异面直线BC与所成角的大小.
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．如图，在四棱锥中，PA面ABCD，ABCD，且CD=2，AB=1，BC=，PA=1，ABBC，N为PD的中点．
(1)求证：AN平面PBC；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取的中点，连接，证明，，从而可得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为N为PD的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
又因平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
2．如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：若，则平面、平面为同一个平面，
连接，则M是中点，是中点，
故是的中位线，所以．
因为，所以平面四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，所以平面
同理平面，且平面平面，
所以，平面平面．
3．把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为的中点，MN为过点的下底面的一条动弦（不与AB重合）.
(1)求证：平面PMN
(2)求三棱锥的体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由解析法，建立平面直角坐标系如图所示，，转为求的最大值，
其中为弦长公式结合韦达定理求得，为到直线MN的距离由点线距离公式求得. 最后讨论最值即可.
【详解】（1）由长轴，短轴长得焦半径得，∴分别OB、的中点，
在柱体中，纵切面为矩形，连接，则，又，∴四边形为平行四边形，∴，
∵P为的中点，，∴，
∵平面PMN，平面PMN，∴平面PMN；
（2），
建立平面直角坐标系如图所示，则底面椭圆为，，
由题意知，直线MN的斜率不为0，设为，，联立椭圆方程可得，
则，∴.
又点到直线MN的距离.
∴.
∴.
设，对，由，∴在上单调递增，
∴，此时.
故三棱锥的体积的最大值为2.
【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.
4．如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，.
(1)在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由；
【答案】(1)存在，理由见解析
【分析】（1）记中点为M，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；
【详解】（1）记中点为M，连结，为正三角形，,
则，且.
因为平面平面 ，平面平面，平面ACD,
所以平面，又因为平面，
所以.
延长交于点G，则为平面与平面的交线，
因为，故，所以B为的中点，
取中点F，连结，则，因为平面 ，平面，
所以平面.
即线段上存在点F，当时，平面.
5．如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点，点在上，且为三角形的重心.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，连接并延长交于点，连接，首先说明，由重心的性质得到，即可证明，从而得证；
【详解】（1）证明：连接，因为，，所以，且，
由，得，，
则，所以.
连接并延长交于点，如图，
因为为的重心，所以.
连接，因为，所以.
又平面，平面，故平面.
6．如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.
(1)证明：∥平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，并延长交于点，连接，由重心的性质和平行线的判定，结合线面平行的判定定理可证得结论，
【详解】（1）证明：连接，并延长交于点，连接，
因为为的重心，所以，
因为，所以，
所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面；
7．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
【分析】（1）首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形是矩形；
【详解】（1）四边形是矩形，下面给出证明：
因为，由题意//平面//平面，
面，
所以平面//平面，又平面平面，平面平面，
所以，同理，又，
所以，同理，
所以四边形是平行四边形．
取中点，连接，则．
又因为，所以，故有．
AP、A1P交于P且都在面AA1P内，所以平面又面
所以，
综上知：，即四边形是矩形．
8．已知三棱锥中，平面，，，为中点，为中点，在上，.二面角的平面角大小为.
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接并延长，交于点，取的中点可得，根据为中点，可得，从而，再由线面平行的判定定理可得答案；
【详解】（1）连接并延长，交于点，取的中点，连接，
因为为中点，所以，，所以，
所以，又为中点，所以，
所以，因为，所以，
所以，可得，
因为平面，平面，所以平面；
9．如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点
【分析】（1）在取点使，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；
【详解】（1）点为线段上靠近点的三等分点，
证明如下：
如图，
在取点，连接，,使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
10．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.
(1)证明:平面;
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据线面垂直的性质定理可得,根据线面平行的判定定理即可得平面,根据及线面平行的判定定理即可得平面,根据及面面平行的判定定理即可得平面平面,再根据面面平行的性质定理即可证明;
【详解】（1）证明:因为平面,
平面,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为底面为矩形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面,
因为,
且平面,平面,
所以平面平面,
又因为平面,
所以平面;
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